灵魂猜想和灵魂定理（一）

“灵魂”就是一个命名，大概就是说这个子流形继承了原来的流形的一些关键信息，也许也可以命名为“骨架”；但数学家不管，也许当初命名的数学家比较浪漫吧（我也不知道到底是谁起的这个名字）。数学里面还有 Grothendieck宇宙 呢，难不成说这就代表 Grothendieck就是造物主了？（滑稽）

一说命名，我突然想起物理里面另一个更随意的命名：夸克。大家知道夸克这个名字怎么来的么？——“不久之后，在我偶尔翻阅詹姆斯·乔伊斯所著的《芬尼根的守灵夜》时，我在“向麦克老大三呼夸克”这句中看到夸克这个词。由于“夸克”（字面上意为海鸥的叫声）很明显是要跟“麦克”及其他这样的词押韵，所以我要找个借口让它读起来像“郭克”。。。” 这就是个拟声词。。结果最后照样成了普遍使用的科学术语。。

另外说点正经的。关于灵魂定理的具体内容补充几点：

如果S是非紧完备流形M的灵魂的话，那么根据灵魂定理我们知道M微分同胚于S的法丛。这是个拓扑的结论；事实上我们有更强的结论：存在一个从M到S的Riemannian submersion。这是一个几何的（与度量结构有关）结论。这个改进应该是一个或者几个俄罗斯数学家做出的，名字我忘了；证明过程是通过一些很精细的分析做出的，还挺麻烦的。。

另外，“给定M，它的所有灵魂都是等距同构的（isometric）；M的所有灵魂的集合被称为天堂（heaven）” 这个结论是本系Croke教授在80年代带的一个中国学生在他的博士论文里做出的，天堂当然也是中国学生自己命名的——所以不要说我们学数学的没有幽默细胞了。。Croke给我们上黎曼几何课讲灵魂定理的时候提到过这个事情。不过那个中国学生毕业后没有继续做学术，去了业界。

Perelman证的那个灵魂猜想，是对上述灵魂定理的改进。好像是说取灵魂的一个切向量和一个法向量，它们张成的2平面的截面曲率为0；由此可以推出正曲率流形的灵魂是一个点。

然后关于灵魂定理的另一个重要推广是从 非紧完备流形 到 带凸边流形，乃至 Alexandrov space，当然关键假设——非负曲率 是要有的。我现在做的问题，有些地方用到了这些带边空间上的灵魂定理，能够得到一些结构性的结果。

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