复谱定理

本文拟证明下面的结论：

A 与 A* 交换，当且仅当， A 可酉相似对角化.

事实上，一个线性算子和它的伴随算子交换，我们就称它是一个正规算子（normal operator）. 同理，把方阵看成是线性变换，我们称它是一个正规矩阵（normal matrix）.

我们有著名的复谱定理（LADR，7.24），它指出下面三个叙述等价：

1. T是正规的

2. V 有由 T 的本征向量组成的规范正交基

3. T 关于 V 的某个规范正交基有对角矩阵

叙述(b)和(c)易见是等价的. 如果你注意到“酉相似对角化”其实就是在复内积空间中规范正交基相互之间的变换，你就会发现这题目实际上就是想让我们证明复谱定理.

假定(c)成立，由于T 关于 V 的某个规范正交基有对角矩阵，此时 T* 也在同一组基下有对角矩阵，故它们显然是交换的，因此(a)成立.

假定(a)成立.Schur定理（6.38）指出，总可选取某组规范正交基，使得 T 上三角化. 换句话说，总可以使得 T 酉相似上三角化. 现在假定 T 是正规的，我们说明此时 T 的矩阵实际上就是对角矩阵，从而完成证明.

假设这组规范正交基是(e₁，· · ·，eₙ) ，并设 T 的上三角矩阵为 (αᵢⱼ) . 考察

||Te₁||²＝|α₁₁|²

||T*e₁||²＝|α₁₁|²＋|α₁₂|²＋· · ·＋|α₁ₙ|²

因T 是正规的，故 ||Te₁||＝||T*e₁|| ，所以必须有 α₁₂＝· · ·＝α₁ₙ＝0 . 继续进行下去，对子空间归纳地得到结果.

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