极限序数

称α 为极限序数，当且仅当不存在一个 β 使得 β＋1＝α 。换言之，不存在 α 之前的一个序数，小于 α 的序数到 α 之间存在一个概念上的断层。

考虑到大于所有自然数的最小序数ω ，小于 ω 的序数都是自然数，而对任意 n ，n＋1 仍是一个自然数，且都小于 ω ，也就不存在一个 n ，使得 n＋1＝ω 。这就是除 0 之外的第二个极限序数。

定义上，ω 不是从 0 开始能够通过不断 ＋1 得到的，哪怕是“无限”次的 ＋1 ，ω – 1 这种数都是不存在的。就如存在和不存在的割裂对立一样，ω 与自然数之间的断层是如此的深重。

为了更好的理解这点，同样以希尔伯特旅馆为例。在希尔伯特旅馆中每天都有无限多位客人居住着，由此产生的生活垃圾自然也是无限多。而房间是给尊贵的旅客居住的，自然不可能用来堆积垃圾。所幸，只需要客户的一些轻微的帮助，旅馆本身自有一套机制处理掉那些垃圾。

垃圾清理的整个流程是这样的：每天清晨，当 1号房的客人花费一分钟的时间将他的垃圾袋交给 2号房的客人，那么 2号房的客人就会花费半分钟的时间将他持有的垃圾袋转交给下一个房号的客人，3号房的客人则依旧花费减半的时间将他持有的垃圾袋离手，转交给下一位客人，形如‬

1 1 1 1

1＋─＋─＋─＋─＋. . . . . .＝2

2 4 8 16

就这样，这个过程每进行到后面，前面的人都不再持有垃圾。而每个客人所做的都不过是在有限的时间内将有限的东西脱手出去，交给下一位。

两分钟后，所有客人都将持有的垃圾处理掉了。每天的生活垃圾就这样消失不见，仿佛一开始就不存在。直观上，它们被似乎是被送入了无限那不存在的尽头之中，被送入了不存在中。但并不存在那种地方，不存在并不是什么地方，每个客户也仅仅是将垃圾袋转交给下一个客户，而不是放置到不存在的地方。垃圾袋也不在旅馆的任何地方，或其它的任何地方，不存在并不是独立于存在的其它地方，仅仅只是不存在。

整个过程也无法逆转，因为垃圾已经不存在了，没有一个客户能从下一个客户手中接过垃圾，除非垃圾就在某个客户手中。退一百步说，即使如此，本不存在的东西存在了，也无法解释为什么凭空出现的会是一堆垃圾而不是别的什么？最多只能解释它来自于上一个房间。

有限与无限的差距，就像存在不与不存在联通那样，否则我们也不会问诸如“为什么有物存在而非一无所有”之类的问题，只是不同于存在与不存在的互不蕴含，无限同时蕴含了两者，因而即不是存在也不是不存在，姑且称之为超存在。

而在这个处理垃圾的过程中，1号房客是最轻松的，因为他不需要帮别人转交垃圾，而 2号房客的感觉只比这稍差一点，都像是拥有特权一样。但需要注意的是，每个房号都异常的接近开端，因此每个客人都有优先于几乎所有其他客人的特权。相比之后无限多的客人，前面有限的数量只能说是微不足道的少。这也是无界限的知识增长具有的特征之一：我们只是刚刚接触皮毛，并且会永远如此。不完备定理与其说是表达了理性的边界，不如说是表达了数学的无限。

事实上，在原本的希尔伯特旅馆的例子中，旅馆完全可以采用这样一种赚钱方式：向每个客户收取一百元，将奇数房客人的钱收入囊中，再将偶数房客人的钱奉还所有客户，就这样无中生有。结合上述例子就可以看出，这座旅馆拥有自由来返存在和不存在的能力，打破两者概念上的割裂断层，但并没有违背各自的定义。

在历史上，潜无穷和实无穷的观念区别就在于，本体论上是否实际存在所有的自然数或可由之刻画的实体，而不只是尚未成为现实的潜能、非实在。一旦所有的自然数都存在，我们就不得不面对一种怪异：不存在最大的自然数因而有无限多，而每个自然数均是有限的。正是这种怪异清理了每日垃圾：每个自然数都是有限的，因此都能够正常的转交出去——垃圾袋的位置从n号房移至 n＋1号房，而每个 n 均可 ＋1 ——但自然数在总体上是无限的，但并没有一个自然数能够承载这种无限，在自然数之间的交接就这样消失在自然数之中。

因此，即使这座旅馆有着ω＋1 ，ω＋2 这样的房号，从 1 号房传递下去的东西也绝不会交接给 ω 号房，更不可能传递到 ω＋ω 号房。即使将门牌的放置顺序安排为 0，ω，1，ω＋1，. . .使得 ω号房一开始就置于人们的眼中，也只会更加佐证这一点——两分钟后，不会有一个客人将物品传递回开端的 ω号房。

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