物理学场论对应一个群

量子场论中，群的概念出现在两个地方，一个是 Lorentz 群表示， 另一个是 Yang-Mills 理论。这两者所用到的群来源不同，所以分开讨论。

单粒子态和Lorentz群‬

尽管市面上QFT的教材很多，但很少有人谈及一点，这一点我们一直在用，却很难意识到，就像鱼在水中却不知有水。这一点就是：

一个粒子，在不同参考系中观察时，其本质属性不会变化。

比方说，一个电子，当我在实验室观察到它的时候，另外一个朋友在相对我运动，或者相对我以另一个角度站立，他/她仍然看到电子，尽管ta看到的电子或许速度和运动方向和我观察到的不同，但电子就是电子，ta不会看到质子。这一点虽然显而易见，但如果不成立，那么整个物理学就没有意义。试想如果我看到一辆车从我眼前经过，而另一个人在另一个参考系看到的是一匹马飞奔而过，那我们如何达成共识？科学的根基就在于人们可以在某些概念上达成共识。

在量子理论中，我们用态函数来表示我们所观测的系统，比如一个电子。这个态函数可以表示为一个线性空间中的向量。当我们选定参考系，然后观察电子时，我们就赋予了这个电子在我们这个参考系下的一个态函数，但如果我们转换参考系，我们就需要赋于这个电子在另一个参考系中的另外一个态函数。这两个态函数一般来说并不相同。另一个观点是，两个等价的惯性参考系中，应该具有相同数量的态函数。比如，参考系A能看到一个电子从左往右1km/s运动，参考系B中这种现象也应该能发生，否则我们仅仅通过观察两个参考系中电子的运动种类就可以区别这两个参考系，这和相对性原理相悖。这两种情况实际上对应于物理学家偶尔提到的“主动”和“被动”转变参考系。第一种情况，电子并未改变，改变的是我们的观察角度。第二种情况，态函数没变，但粒子变了，参考系也变了。所以我们在第二种情况下，用同一个函数表达了第二个电子。

这两种情况在QFT中常常混用导致难以理解。我们现在仅站在第一种角度考虑，即只讨论一个电子，但是参考系可以变，态函数也在变。当我们穷尽所有可能的参考系对一个电子进行全面地观测，我们也穷尽了所有可以描述这个电子的态函数。也就是说，如果我对这些态函数再进行参考系的变换，不会有新的态函数产生出来。这样的一组态函数的集合，我们称之为对应我们所考察的参考系变换的一个群表示。因为这些函数本身的映射关系表示出了这个参考系变换（群元素）的效果。它的效果可以用一个简单的表达式来描述：

坐标系变换

ф → ф'

即，我们可以通过态函数的变化来反推我们对这个电子观测进行了怎样的参考系变化。对于QFT，我们最常讨论的是Lorentz群。也就是我们在所有狭义相对论的观点下等价的惯性参考系对粒子进行观测，我们把所有参考系下观察到的函数汇总起来，就得到了这种粒子在一个惯性参考系中所有可能的态函数（得到这一点我们需要同时运用上述两种观点）。在群论的角度讲，这也就是说每种粒子的态函数都是Lorentz群的一个表示空间。因为群表示的定义就是，把群元和一个线性空间的线性变换对应起来。但需要注意的是，用群论我们只是把粒子进行了一个分类，不同类型的粒子可以是等价的群表示，比如说所有的自旋1/2的费米子都是旋量表示，但电子，夸克都遵从这种表示。所有群表示和粒子并不是一一对应，但任何粒子，如果用量子态描述，必定是一个群表示。

对于量子场论中的场，定义为作用于真空态上产生一个对应的单粒子态，因为单粒子态在坐标系变换下遵从某一个群表示的变换，对应的生成算符也按照这个群表示进行变换。而场算符必然具有某种群表示属性也极大的限制了在Lagrangian中场算符出现的形式。因为它们的组合必须要让Lagrangian具有Lorentz不变性。否则，不同参考系观察到的稳定态会不一样，得到的物理结果也会不同。换句话说，不同的参考系会看到完全不同的现象和因果。这点与我们的经验不符。

规范场和Lie群‬

学量子力学时就知道态函数ф 有一个相位不变性。即 ф → фeⁱθ⁽ˣ⁾并不改变概率分布。我们也知道电磁场有一个规范不变性，即 Aμ → Aμ＋∂μα 不会改变电磁场 E B 。然而当我们写下旋量场的Lagragian后，我们发现 Ը＝ˉψ(iγμ∂μ – m)ψ 并非相位不变，因为求导会对相位作用得到额外一项 – γμ∂μθ 。但是如果将电磁场考虑进去，我们发现

1

Ը＝–─FμνFμν＋ˉψ(iγμ∂μ – m)ψ – eˉψγμψAμ

4

这一额外项可以被吸收进Aμ 中，只要我们定义

1

Aμ → Aμ ─ ∂μθ(x) ，

e

1

这对应于一个规范变换 α＝─ θ。

e

所以这两个看似冗余的自由度，恰恰互相抵消。这个相位对应的操作数学上也对应一个群，U(1) 群。

数学上假定一个更高的相位不变性，如果由数个场组成的系统具有ψ → U(x)ψ不变, 其中

ψ＝(ψ₁，ψ₂，ψ₃，ψ₄，· · ·，ψɴ)ᵀ and

U(x) ∈ SU(N)

那么对应的Lagrangian则需要更多的类似于光子的规范场和规范不变性才能抵消掉这个SU(N) 群元相位在求导下多出来的项（需要的规范场的数量等于 SU(N) 生成元的数量）。尽管这个假定在物理上并无像 U(1) 对称性那样明显的原因，却仍然被成功地用于解释夸克等粒子行为。

尽管看上去这一切非常的神奇，就好像规范场的存在就是为了让态函数的相位不变性合理一样。但实际上逻辑可能恰恰相反。或许正因为我们描述微观世界的语言不够准确，才同时让电磁场和量子态具有了多余的自由度。其根本原因可能比我们想象的更深刻。

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