奇怪的悖论

Talk is cheap, show me the(Ω，F，ℙ) .

当你试图写出符合要求的(Ω，F，ℙ)的时候，就会发现这样的(Ω，F，ℙ)其实不存在。（你很可能会需要类似于“ℕ 或 ℝ₊ 上的均匀分布”以满足“无论其中一个的金额是多少，另一个都有

1

─

2

的概率包含两倍的金额，

1

─

2

的概率包含一半的金额”。但这些分布都是不存在的。）

指出问题的关键在于两个箱子的金额期望都不存在，但是我发现将TA的设定稍作修改，可以让两个箱子的金额期望都存在！简单地说，就是将两个箱子的金额之比由 4 换成 q(q＞0，q ≠ 1) 。为方便讨论，重新叙述如下：

游戏分为5个步骤：

1. Box A, B; (先声明两个箱子，两个箱子始终拥有固定的、不同的标签）

2. 主持人连续抛掷一枚均匀的硬币，直到出现一次正面为止。记抛掷次数为 n

3. 主持人准备两份现金，金额分别为 qⁿ 和 qⁿ⁺¹ ，并等可能地随机分配给A和B

4. 你等可能地从A和B中选取一个

5. 主持人告诉你，你选的箱子金额为 qᵐ

为了确保以上设定是良定的，须要构造一个相应的概率空间（这种简单离散设定下引入概率空间其实是多此一举，但鉴于此题的特殊性，还是显式构造一个吧）：

Ω＝ℕ₊ × {0，1} × {0，1}，其中的元素记为ω＝(ω₁，ω₂，ω₃)。ℙ{ω}＝2⁻⁽ω₁⁺²⁾。其中， ω₁ 对应主持人抛硬币的结果， ω₂，ω₃ 分别对应主持人和你选择箱子的结果。为方便记录，这里定义 ˉωᵢ＝1 – ωᵢ，i＝2，3 .

箱子A, B的金额分别是随机变量A(ω)＝qω₁＋ω₂ B(ω)＝qω₁＋ω₂

你选取的金额是随机变量C(ω)＝ω₃A＋ˉω₃B

定义你未选取的箱子的金额为ˉC(ω)＝ˉω₃A＋ω₃B

现在问题是求𝔼(ˉC|C＝qᵐ)

当m＝1 时， {C，qᵐ}＝{(1，0，1)，(1，1，0)}，则此时 ˉC 只能为 qᵐ⁺¹＝q²；

当m＞1 时， {C＝qᵐ}＝{(m，0，1)，(m，1，0)，(m – 1，1，1)，(m – 1，0，0)}，在此条件下，

1

ℙ{ˉC＝qᵐ⁺¹|C＝qᵐ}＝─，↓

3

2

ℙ{ˉC＝qᵐ⁻¹|C＝qᵐ}＝─ ←

3

q 2

𝔼(ˉC|C＝qᵐ)＝(─＋─)qᵐ

3 3q

1

若取q＝─，

4

5

易得 𝔼(C)＝𝔼(ˉC)＝─ 。

56

33

对于 m＞1 有𝔼(ˉC|C＝qᵐ)＝─ C＞C 。

12

1

而 m＝1 时显然 ˉC＝─ C＜C 。

4

所以，若不被告知C＝qᵐ，则 𝔼(C) 与 𝔼(ˉC) 均存在且相等，交换与否无所谓。若被告知 C＝qᵐ，则当m＝1时不应当交换，而当 m＞1 时应当交换（假设风险中性）。𝔼(ˉC)

容易证明，𝔼(C) 与 𝔼(ˉC) 存在且相等的充要条件是 0＜q＜2，但此时 m＝1 与 m＞1 两种条件，有且仅有1种条件应当交换（若 0＜q＜1 则 m＞1 时交换，若 1＜q＜2 则 m＝1 时交换）。使得 m＝1 或 m＞1 时都“应当交换”的 q 取值范围为 (2，＋∞)，但此时𝔼(C) 与 𝔼(ˉC) 均不存在。

综上所述：

1. C＝qᵐ确实包含有用的信息，这可能就是这个问题看起来像悖论的原因之一。

若金额的期望是有限的，时 m＝1 与 m＞1 两种条件，有且仅有一种是支持交换的。不存在既期望有限，又任何条件下都能靠交换提高期望收益的“好事”。

若不被告知所选取的金额，则交换与否无所谓。（无条件期望始终相等，在没有额外信息的情况下，不可能靠交换提高期望收益）

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