数学联邦政治世界观
超小超大

Calabi-Yau流形

代数几何都有了,这不得来点复几何?(GAGA,doge)

数学上,一个(复)n 维的Calabi-Yau流形是指一个典范丛平凡的 n 维紧致Kähler流形 M 。

Calabi-Yau流形在物理上也有至关重要的作用,它是无物质的Einstein场方程的解。在超弦理论中,6 个额外维度通过紧化形成Calabi-Yau流形,蜷缩在Planck尺度。物理中更关心一种叫做五次多项式三重态(Quintic threefold)的(复)三维Calabi-Yau流形,其中最重要的是Dwork家族,它们由一个五次齐次多项式‬

fψ=x⁵₀+x⁵₁+x⁵₂+x⁵₃+x⁵₄ – 5ψx₀x₁x₂x₃x₄

在 4 维复射影空间 ℂℙ⁴ 中定义, ψ 是个复参数,且不是 5 次单位根。在超弦理论中,不同五次多项式三重态都会给出一个不同的宇宙,每一个宇宙都有一套独特的基本粒子和相互作用。这种流形的拓扑不变量和几何不变量都有明确的物理意义,例如其Euler数(可以理解为孔的个数)就是基本粒子的世代数。就目前而言,我们已经发现我们的宇宙中的基本粒子有 3 代,因此描述我们的宇宙的Calabi-Yau流形应该有 3 个孔,但这样的流形可能多达 10⁵⁰⁰ 个,这给寻找它带来了极大困难。

Calabi-Yan流形的二维切片.gif

Calabi-Yan流形的二维切片.jpg

Calabi-Yan流形的二维切片立体模型

素纽结

我在之前的回答中有过介绍纽结的相关知识,这里照搬过来。

在数学上,一个纽结(knot)是指一个保持定向的连续嵌入γ:S¹ → ℝ³。称两个纽结γ₁,γ₂是等价的,如果存在一个同胚h:ℝ³ → ℝ³,使得 h◦γ₁=γ₂ 。

科普性地讲,一个纽结就是三维空间中一条闭合的、连续不断、不自相交的曲线(注意区分“相交”和“交叉”)。而如果两个纽结等价,则意味着我们可以在不弄断绳子的情况下,将一个纽结转化成另一个。

两个纽结还可以相加,具体操作如图,在每个扭结上剪一个口子,把断开的部分成对地连接起来,这不会引入新的交叉点。

K₁+K₂=K₁#K₂

一类重要纽结就是素纽结。称一个纽结K 是素纽结,如果它不是平凡结,并且不能写成两个非平凡结的和,即K ≠ 0₁,且若K=JL,则J=0₁或:L=0₁。

素纽结中有很多观赏性很高的图形,下面是素扭结表(第一个是平凡纽结)。

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