数学联邦政治世界观
超小超大

实分析

绪论

一个区间l 的长度定义为 l(l)=b – α ,其中 α,b 为左右端点,可以为 ±∞ 。这就是测度的一个鲜明例子,它在直觉上是“测量”集合的一种方法。除了区间的长度,我们熟知的测度还有面积,体积,等等。在有些地方会使用Jordan测度定义它们,这里不表。回到一维的情形,不仅是区间,我们还可以定义开集的长度,因为它是开区间的可数不交并集。

但是这样还不够,我们的野心促使我们试图研究更广泛集合上定义的测度,一个实数集合A 的测度一般用集函数 m(A) 表示。这个非负函数需要满足下面的条件:

(1)对区间l,m(l)=l(l);

(2)m 是平移不变的,也就是说对任意集合 E 和实数 y ,定义 E+y={x+y|x∈E} ,则 m(E+y)=m(E) ;

(3)设{Eₙ} 是彼此不交的可数集合族,则

∞ ∞

m (∪Eₙ)=∪m(Eₙ)。

ₙ₌₁ ₙ₌₁

可是很遗憾,这样的集函数是不存在的。这样我们必须减弱一些条件,比如缩小集函数的定义域。接下来的所有工作都将围绕着这件事进行。

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