数学定理

Bourgai与Szemerédi定理

按：Jean Bourgain(1954-2018)绝对属于当代最富创造力的一批数学家，在诸多领域留下不胜数的成果和洞见. 也许每个分析学工作者都会在生命的某个阶段接触Bourgain的工作或思想. 这里是一个(不定期)连载系列，记录Bourgain的数学魔法.

自1975年Szemerédi定理(准确地，Szemerédi正则性引理)诞生后，她和她广泛的变体们就成为了数学界的核心话题之一. 这类定理的哲学是“一个足够大/足够随机的集合一定会出现丰富的结构”. 今天就来介绍Bourgain在1986年对ℝ² 正密度子集的Szemerédi型定理的证明，从中可以感受到调和分析在组合学中的威力. 笔者主要参考了以下文献：

[1] J. Bourgain,A Szemerédi type theorem for sets of positive density in R^k

[2] T. Tao,Exploring the toolkit of Jean Bourgain

我们先介绍主要结果.

定理1.(Furstenberg, Katznelson, Weiss) 设可测集 A ⊂ ℝ² 有上界密度 δ＝δ(A)＞0，则存在 l₀＞0 s.t. 对任意 l≥l₀，存在 x，y∈A，|x – y|＝l . 这里上界密度

|A∩Bʀ|

δ(A)：＝lim sup ────，

ʀ→＋∞ |Bʀ|

| · | 是Lebesgue测度， Bʀ 是原点为中心， R 为半径的圆盘.

粗略地说，只要集合在平面上足够"稠密"，那么集合中所有点对的距离取遍充分大的正实数. FKW的原始证明也是基于遍历论(Furstenberg的一大贡献就是给出了Szemerédi定理的遍历论证明). 而Bourgain证明的第一步是将结论定量化(quantitative formulation)，以便硬分析工具的介入.

定理2.(Bourgain) 设可测集 B ⊂ [0，1]²，|B|≥δ＞0 . 则对 0＜t₁＜1，充分大的 J，和分划 0＜tᴊ＜tᴊ₋₁＜. . .＜t₁＜1 满足 tⱼ₊₁≤tⱼ/2 ，都存在有 1≤j≤J s.t.

lⱼ：＝∫ℝ²∫ₛ¹1ʙ(x)1ʙ(x＋tⱼω) dσ(ω)dx ≳ δ² .

首先看看定理2如何得到定理1.

2 ⇒ 1. 假设定理1不成立，则存在 0＜l₁＜l₂＜. . .＜lᴊ＜. . . s.t.

|x – y| ≠ lₖ，∀x，y∈A，k∈ℕ.

WLOG, 设有二进分解lₖ₊₁≥2lₖ . 由上界密度定义，对充分大的 J 仍存在 R＞lᴊ，|A∩Bʀ|≥δR² . 令

1

B：＝─ A ⊂ [0，1]²，tⱼ：＝lᴊ₊₁₋ⱼ/R，

R

则B 符合定理2条件，但根据假设，对任意 1≤j≤J，lⱼ ≡ 0 矛盾！因此定理2就是定理1的定量化. □

下面着手定理2的证明.

证明. 用Plancherel定理变换到频率空间上，

︿ ︿

∫ℝ²∫ₛ¹1ʙ(x)1ʙ(x＋tⱼω)dσ(ω)dx

︿

＝∫ₛ¹∫ℝ²|1ʙ(ξ)|²eⁱᵗʲω·ξ dξdσ(ω)

︿ ︿

＝∫ℝ²|1ʙ(ξ)|² σ(tⱼξ)dξ，

其中S¹ 测度 σ 的Fourier变换‬

︿

σ(ξ)：＝∫ₛ¹eⁱξ·ω dσ(ω).

接下来做标准的频率分解. 引入充分小的待定常数0＜ϵ＝ϵ(δ)＜1/2，对充分大的 J 和每个 J/2≤j≤J 考虑

Step 1. 低频项 |ξ|≤tⱼ⁻¹ϵ：此时

︿

σ(tⱼξ) ≳ 1.

另外

︿ ︿ ︿

|1ʙ(ξ) – |B| |＝|1ʙ(ξ) – 1ʙ(0)| ≲ |ξ| |B|.

由tⱼ ∼ 2⁻ʲ，取 J s.t.

ϵtⱼ⁻¹≥1，∀J/2≤j≤J，

于是存在绝对常数C (在不同式子中会变化), 对任意 J/2≤j≤J 有下界估计

︿ ︿

∫|ξ|≤tⱼ⁻¹ϵ|1ʙ(ξ)|²σ(tⱼξ) dξ

︿

≥ C ∫|ξ|≤1/2|1ʙ(ξ)|² dξ

≥ C ∫|ξ|≤1/2|B|² dξ≥C|B|².

这部分的困难在于要使C 与 ϵ 和 j，J 都无关, 这在[1][2]原文中都没有具体体现(典中典之"it is not difficult to obtain") , 于是笔者"擅自"将原来 1≤j≤J 限制为仅考虑 J/2≤j≤J , 如此并不影响后续论证.

Step 2. 高频项 |ξ|≥(ϵtⱼ)⁻¹ : 由震荡积分理论或直接计算可得

︿

|σ(ξ)| ≲ |ξ|⁻¹/², 所以有小量估计

︿ ︿

∫|ξ|≥(ϵtⱼ)⁻¹|1ᴀ(ξ)|²σ(tⱼξ) dξ ≲ ϵ¹/²|B|.

Step 3. 中间项 ϵtⱼ⁻¹＜|ξ|＜(ϵtⱼ)⁻¹ : 此时如果直接估计只能得到 ≲ |B| . 为了获得小量上界，Bourgain巧妙地运用了“二进鸽巢原理”(dyadic pigeonholing argument). 记每个二进圆环为

Dⱼ＝{ϵtⱼ⁻¹＜|ξ|＜(ϵtⱼ)⁻¹}，

则每个ξ ∈ ℝ² 至多被 O(log1/ϵ) 个 Dⱼ 覆盖. 注意上界与 ξ，J 无关，这就是二进分解的几乎正交性. 所以

J ︿ ︿

∑ ∫ϵtⱼ⁻¹＜|ξ|＜(ϵtⱼ)⁻¹ |1ᴀ(ξ)|²σ(tⱼξ) dξ

j＝J/2

1

≲ log ─ |B|.

ϵ

于是由鸽巢原理，存在J/2≤j≤J s.t.

︿ ︿

∫ϵtⱼ⁻¹＜|ξ|＜(ϵtⱼ)⁻¹ |1ᴀ(ξ)|²σ(tⱼξ) dξ ≲ J⁻¹ ↓

1

→ log ─ |B|.

ϵ

只需J＞ϵ⁻¹ log ϵ⁻¹即有小量估计 ≲ ϵ|B| 对某个 J/2≤j≤J 成立. 这里鸽巢原理帮助我们选出一个合适的尺度 tⱼ , 大大加强了原有结果.

综上，存在充分小的ϵ 以及某个 j s.t.

lⱼ≥C|B|² – ϵ¹/²|B| – ϵ|B| ≳ δ²，

Bourgain的魔法奏效了！□

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