公理化的集合论与罗素悖论的排除

这篇文章的目的是介绍《陶哲轩实分析》中给出的集合论的公理，并用这些公理简单构造了一些常见的集合的运算，最后由这些公理排除了导致罗素悖论产生的集合。

首先我们需要了解一个重要的关于蕴涵的知识。（从后面来看这个好像也没啥必要=-=）

定理1、设A 是一个命题， B 也是一个命题，那么 (A ⇒ B) ⇔ (¬B ⇒ ¬A)

证：假设A ⇒ B 为真，则若A为真则B为真，那么若B为假时，即 ¬B 为真时，A一定为假，即 ¬A 为真（否则若A为真那么根据 A ⇒ B 为真则B为真，与此时B为假矛盾），即 ¬B ⇒ ¬A 为真。

假设¬B ⇒ ¬A 为真，则若B为假则A为假，那么若A为真时，B一定为真（否则若B为假则根据 ¬B ⇒ ¬A 则A为假，与A为真矛盾），即 A ⇒ B 为真。

定理2、设A是一个假命题，B是一个命题，则A ⇒ B 一定为真。

证：根据定理1，只需证¬B ⇒ ¬A 为真，因为A恒为假，所以 ¬A 一定为真，那么若 ¬B 为真，则 A 为真（实际上两者根本没有逻辑关系，不管B是不是为真， ¬A 都一定为真），即蕴涵 ¬B ⇒ ¬A 为真，那么 A ⇒ B 为真。

数学中有很多的数学对象，我们简称对象，比如矩阵啊、方程啊、函数啊等等，第一条公理要说的是集合也是一种对象。

公理1、集合是对象

如果A是一个集合，那么A也是一个对象。

非正式的说，集合是一堆没有次序的对象，若x是这堆对象中的一个，那么称x是A中的元素，并记为x∈A ，说它是不正式的是因为它没有告诉我们什么样的一堆对象可以构成一个集合，但是关于x是A中的元素的定义是良好的。

这意味着对于两个集合A和B，问A是不是B中的元素是有意义的。

可以根据这个x是A中的元素的定义来定义集合的相等。

Def 1、集合相等

设A、B是两个集合，(A＝B)：＝(x∈A⇔x∈B)

公理2、空集

存在一个集合∅ ，被称为空集，它满足 ∀ x x∉∅ .

Def2、如果一个集合不等于空集，那么称这个集合是非空的。

结论1、设A是一个非空集合，那么存在一个对象x使得x∈A .

证明考虑反证法‬

公理3、单元素集与双元素集‬

如果a是一个对象，那么存在一个集合{α}，满足 x∈{α} ⇔ x＝α

如果a、b是两个对象，那么存在一个集合{α，b}，满足 x∈{α，b} ⇔ x＝α x＝b。

为了构造更多的集合，我们引入两集合并集公理‬

公理4、两集合并集

给定任意的两个集合A和B，存在一个集合A∪B 被称为A和B的交集，它满足：

∀ x，x∈A∪B ⇔ x∈A∨x∈B。

我们这样定义了集合上的并运算∪。

再补充一个子集的概念，它可以给集合上带来一个偏序关系。

Def2、子集

设A和B都是集合，我们称A是B的子集，记做A ⊆ B 当且仅当 对于任意的对象x，

x∈A ⇒ x∈B

集合的包含关系使得集合是偏序的，但不是全序的。

公理5、分离公理‬

设A是一个集合，对于任意的x属于A，令P(x)表示某个关于x的性质（即P(x)要么为真，要么为假），那么存在一个集合{x∈A|P(x) } 使得对于任意的对象y，

y∈{x∈A|P(x) } ⇔ y∈A P(y)。

利用这条公理可以定义交集和差集的概念，即在集合上定义∩运算和\运算。

A∩B：＝{x∈A|x∈B}

A \ B：＝{x∈A|x∉B}

可以证明 集合上的∪运算、∩运算、\运算、和集合X（X是以集合A、B、C为其子集的集合）构成布尔代数，也就是我们经常见的集合的运算律。

再引入替代公理，它可以帮助我们从一个集合做好像是函数运算一样的东西到另一个集合。

公理6、替代公理

设A是一个集合，对于任意的x属于A和任意一个对象y，假设存在一个这样的关于x和y的命题P(x,y)它满足对任意给定的x属于A，最多能找到一个对象y使得P(x,y)为真，那么存在一个集合

{y|P(x，y) x∈A }。

实际上，替代公理蕴涵了分离公理，但是用分离公理来构造这些运算显得更简单，所以Tao还是引入了分离公理，他也在习题里提供思路证明了这一点。

自然地，现在还缺少自然数这个集合（虽然也可以用纯粹集合论的概念来定义自然数，不过那样看起来繁琐）

公理7、无穷大

存在一个集合N，它的元素被称为自然数。他满足对象0在N中，且由每个自然数n∈ℵ 所指定的满足皮亚诺公理的对象 n＋＋ 也在N中。

我们先引入能够避免罗素悖论的公理。

公理9、正则公理‬

如果A是一个非空集合，那么A中至少存在一个元素x，它满足：要么x不是集合，要么x∩A＝∅ 。

直观来看它看起来好像规定了是集合的一堆无序对象要满足的条件。

假设我们引入万有分类公理，即

公理8、万有分类公理

假设对于任意的对象x，存在关于x的性质P(x),那么存在一个集合{x：P(x)为真}，使得对任意的对象y，

y∈{x：P(x) } ⇔ P(y)

实际上这个公理是非常好的，它可以推导出公理2、公理3、公理4、公理5、公理6、公理7（如果假设所有自然数都是对象），但是它却会导致一个逻辑上的矛盾，即罗素悖论。

令P(x)表示这样一个性质：

P(x) ⇔ “x x∉x”

确实有这样的集合，比如P({2,3,4})为真，因为{2,3,4}是以2 3 4为元素的集合，{2,3,4}确实不是集合{2,3,4}的元素，即{2，3，4} ∉ {2，3，4}，那么利用公理8构造这样一个集合

Ω＝{x：P(x) }＝{x：x x∉x}，

即所有不包含自身的集合构成的集合，命题 Ω∈Ω 的真假性如何？

假如Ω∈Ω 为真，那么 Ω 是一个集合且 Ω∉Ω ，矛盾

假如Ω∉Ω 为真，那么 Ω 是一个集合且 Ω∉Ω ，那么 Ω∈Ω ，矛盾

无论哪种情况，我们都同时得到了Ω∈Ω 和 Ω∉Ω 都为真，这是离奇的，因为我们的逻辑认为一个命题要么为真要么为假，不存在一个命题同时既为真又为假的情况。

我们还可以这样构造罗素悖论的集合

设Ο 是一个万有集合，即

x，x∈Ο

那么根据分离公理，

{x∈Ο|x x∉x}是一个集合，它同样导致罗素悖论。

如果我们可以排除公理8，或者我们可以排除万有集合的存在，那么我们就可以排除这俩情况构造出的导致罗素悖论的集合，巧合的是，万有集合的存在当且仅当公理8成立。

结论2、

Ο ⇔

证：设公理8成立，设P(x)为对于任意对象x，P(x)为真，则存在集合{x|P(x) } ，对于任意的对象x，P(x)都为真，所以 对于任意的对象x，x∈{x|P(x) } ，这个集合就是万有集合。

设万有集合O存在，设P(x)为某一关于x的性质，由分离公理，集合{x∈Ο|P(x) } 存在，它满足对任意对象y，

y∈{x∈Ο|P(x) } ⇔ y∈Ο P(y)

那么公理8成立。

所以只要我们能排除万有集合O的存在，就能排除这两种导致罗素悖论的集合。

我们来通过公理1和正则公理和分离公理和公理2和单元素公理来排除万有集合的存在

结论3、如果A是一个集合，那么A∉A .

证：由公理1，因为A是一个集合，则A是一个对象，那么由单元素公理，集合{A} 存在，使得对任意的对象y，

y∈{A} ⇔ y＝A。

因为{A} 只有一个元素A，且A是一个集合，由正则公理： A∩{A}＝∅

那么A∉A（否则 A∈A A∈{A}，那么 A∈A∩{A}＝∅ 而这与空集的定义矛盾）

结论4、在公理1、公理2、公理3、公理5、公理6、公理9下万有集合不存在

下面我们来排除万有集合的存在。

设万有集合O存在，即对于任意的对象y，y∈Ο

因为万有集合O是一个集合，那么由公理1，万有集合O也是一个对象

那么Ο∈Ο，这与结论3矛盾，因此万有集合不存在。

因此我们排除了那两种导致罗素悖论的集合的存在。

参考书籍：《陶哲轩实分析》陶哲轩 著 李馨 译 人民邮电出版社‬

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