格林函数法
众所周知，偏微分方程以其高维度、复杂性，一直令众多科研人员十分的烦恼。近代随着计算机的快速发展，众多诸如差分法、有限元法等数值方法的涌现使得求解复杂的微分方程变得简单。但是在计算机未得到的普及之前，聪明的数学家、物理学家们是如何求解偏微分方程的呢？本文就将基于天才数学家乔治·格林提出的格林公式介绍偏微分方程的一种解析求法——格林函数法。
1 引言
格林函数法是一种求解数学物理方程的方法，其基本思想是利用点源产生的场（即格林函数）和叠加原理来求解任意源的场。格林函数又称为源函数或影响函数，是英国人乔治·格林于1828年引入的。这种方法在物理学中尤其重要，因为物理现象通常可以用场论来描述，而场论的基础就是数学物理方程。格林函数法既可以求解齐次方程也可以求解非齐次方程，既可以求解无界区域的定解问题也可以计算有界区域的定解问题。具体步骤如下：首先，保持偏微分方程的形式不变，用一个δ函数代替偏微分方程的非齐次项，用格林函数代替原来的场；然后，根据边界条件和初始条件的不同，选用行波法、积分变换法或者分离变量法等方法求解格林函数；最后，利用格林第二公式，结合计算得到的格林函数，即可得到原偏微分方程的解。
2 格林公式及其应用
2.1 格林公式
本节中不加证明的引入第一格林公式，如下式(1)所示，式中u、v为任意函数，交换其顺序可得到式(2)：
∂υ
∭(u∇²υ)dV＝∬u ── dS – ∭(∇u · ∇υ)dV
Ω Γ ∂n Ω
(1)
∂υ
∭(υ∇²u)dV＝∬υ ── dS – ∭(∇υ · ∇u)dV
Ω Γ ∂n Ω
(2)
将式(1)和式(2)相减并整理得：
∂υ ∂u
∭(u∇²υ – υ∇²u)dV＝∬(u ── – ──)dS
Ω Γ ∂n ∂n
(3)
此式即为第二格林公式，简称格林公式。它清晰的显示了函数u、v在封闭曲面上的面积分与在区域中的体积分之间的关系。下面我们就应用该公式给出泊松方程的格林函数解法。
2.2 格林公式的应用-格林函数法
首先利用格林公式，针对泊松方程简要介绍格林函数法。我们知道泊松方程具有如下(4)的形式：
∇²u(r)＝–f(r) （4）
为了解决此问题我们引入函数G(r – r₀) ，该函数即格林函数，表达式如下：
∇²G(r – r₀)＝–δ(r – r₀) （5）
式中r₀ 为区域 Ω 内任意一点，根据δ函数的定义可知，G(r – r₀) 为在 r₀ 处的点源所产生的场。
利用格林公式(3)，并将v(r)修改为格林函数 G(r – r₀)，则可以推导得到：
∂G ∂u
∬(u ── – G ──)dS＝∭(u∇²G – G∇²u)dV
Γ ∂n ∂n Ω
＝∭(–uδ(r – r₀) – G∇²u)dV
Ω
＝–u(r₀) – ∭G∇²udV
Ω
＝–u(r₀)＋∭Gf(r)dV
Ω
（6）
整理得：
∂u(r)
u(r₀)＝∭G(r，r₀)f(r)dV＋∬[G(r，r₀) ── ↓
Ω Γ ∂n
∂G(r，r₀)
– u(r) ───── ]dS
∂n
（7）
上式表示位势在Ω 内某点的值可以表示为两个积分的和：一个是源项在 Ω 内的体积分，另一个是u和它的法向偏导数 ∂u/∂n 沿 Γ 的面积分，它们都与格林函数有关。根据点源场的相关性质，我们可以的得到格林函数满足 G(r – r₀)＝G(r₀ – r) ，这种性质被称为对易性。根据这一性质，上式(7)可以改写为：
∂u(r₀)
u(r)＝∭G(r，r₀)f(r₀)dV₀＋∬[G(r，r₀) ── ↓
Ω Γ ∂n₀
∂G(r，r₀)
– u(r) ───── ]dS
∂n₀
（8）
这就是泊松方程的基本积分公式。从以上过程可以清晰的看到，通过格林公式(3)，能够巧妙地构建出泊松方程的解u(r) 与对应格林函数 G(r – r₀) 之间的关系。
现在我们给泊松方程添加上第一类边值条件，来看看为什么这样就可以求解了呢？第一类边值条件如下：
u(r)|Γ＝φ(r) （9）
式（8）右侧第二项面积分，可根据边值条件改换为φ(r₀) ，得到式(10)：
∂u(r₀)
u(r)＝∭G(r，r₀)f(r₀)dV₀＋∬[G(r，r₀) ── ↓
Ω Γ ∂n
∂G(r，r₀)
– φ(r₀) ───── ]dS₀
∂n₀
（10）
仔细观察上式，式中的f(r₀) 、 φ(r₀) 都是已知的，若 G(r – r₀) 可以求出，那么方程右侧的第一项和第二项就可以解出，对与第二项的关于u的偏导项，根据条件无法确定，但是我们注意， G(r – r₀) 是我们用式(5)假设的函数，同样没有定解条件，若我们此时假设 G(r – r₀) 在 曲面上为零，那么一方面式(5)封闭了，另一方面式(10)也可积出，问题迎刃而解了。这真是太美妙了，一个复杂的偏微分方程竟然用下面这个简单的式子就可以计算出它的解析解了。
∂u(r，r₀)
u(r)＝∭G(r，r₀)f(r₀)dV₀ – ∬φ(r₀) ─── dS₀
Ω Γ ∂n₀
（11）
整理一下可得格林函数是下式(12)的解。
∇²G＝–δ(r – r₀)
{ （12）
G|Γ＝0
对于第二类和第三类边值条件的泊松方程问题，采用相类似的方法亦可以得到其对应的积分方程，受限于篇幅，此处不再详细论述，感兴趣的读者可以参考顾樵先生的著作《数学物理方法》。
3 结论
从上面的分析过程来看求解泊松方程的重点就转化为了求解格林函数G(r – r₀) ，它是在 r₀ 处的点源所产生的场，根据这样的定义求解格林函数是不困难的。这真是一个天才般的方法，利用格林公式将原本复杂的微分方程，通过一个点源的场函数即可解出，真是四两拨千斤啊！当然，格林函数法可解决的问题远不至于此，他在波浪力学、信号处理、凝聚态物理、地震工程等众多领域有着广泛的应用，寥寥几百字无法穷尽，还需大家日后多多学习与积累！
参考文献
[1] 顾樵, 数学物理方法[M], 2012, 北京: 科学技术出版社.
[2] 姚端正, 梁家宝, 数学物理方法(第三版)[M], 2010, 北京: 科学出版社.
[3] Pan, Ernian. Green's Functions for Geophysics: A Review[J]. Reports on Progress in Physics. 2019, 82.10: 106801.
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