哥德尔不完备定理

哥德尔不完备定理只是说（数学哲学上），自然数的标准模型𝕹＝(ℕ，0，＋，·，＜) 的所有真相不可能被任何特定的递归理论完全描述出来，包括PA和ZFC，或者什么更强的公理体系，只要公理体系是递归的，就总是有 𝕹 的真相不能被导出。

或者更直观的：过于强大的数学结构没办法用递归可枚举的方式得到。

一个平凡的非递归的理论TA＝{σ：𝕹╞ σ} ，叫做Truth Arithmetic，它就是一个完备理论，而且它包含了自然数的所有真相。但是，它不可能是递归的，也就是说 TA 不可能被公理化。我们也没办法完全了解 TA 到底包含了多少定理，因为“真”这个概念是高度不可定义的，它在很大程度上取决于你的哲学偏好。

但是，人们就应该因为这个而停止不前吗？当然不是！人们会因为一个人登不上珠穆朗玛峰而放弃登顶吗？哥德尔不完备定理中的“不可证”只是说相对于某个体系不可证，而不是完全不可证。比如，PA不能证明Con(PA) 、古德斯坦定理、增强的Ramsey定理，但这不代表他们完全不能被证明。事实上，只要我们承认 ε₀ 这个无穷序数的存在，那么上面三个命题都是可以被证明的[ZF]。

如果反过来，设想哥德尔不完备定理是错误的，那么数学会变成什么样子？情况会比想象的更糟糕，这意味着数学的真相可以完全用机械的步骤一一列举出来，人的作用将被机器完全取代，数学从此被纳入到计算机的子类中。这下真的是世界的尽头是计算机了。

正是因为理论是不完备的，我们才能声称数学是发展的，运动的，它存在于每一个数学工作者的数学实践中，并且将会得到永恒的发展。

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