直觉主义逻辑（二）

定义8（伪补，pseudo-complement）

在一个格中，c 被称为 α 对于 b 的关系伪补（relative pseudo-complement）当且仅当 c 是使得 α ⊓ c ≤ b 的最大元素。关系伪补如果存在，用 α ⇒ b 标记。我们将 α ⇒ 0 标记为 –α 。

定义9（海廷代数）

海廷代数是有最高和最低元素的分配格H，其中所有 α，b∈H 都有关系伪补 α ⇒ b 海廷代数的结构是 H＝〈H，⊔，⊓，⇒，–，0，1〉 .

定义10（海廷代数的赋值）

设H＝〈H，⊔，⊓，⇒，–，0，1〉 是一个海廷代数， H 上的一个赋值（valuation）是映射 υ：PV → H . 我们定义逻辑式 ф 的值（value） [[ф]]υ （或记为 [[ф]]ᴴυ ）如下：

[[p]]υ＝υ(p)，for p ∈ PV；

[[⊥]]υ＝0；

[[ф∨ψ]]υ＝[[ф]]υ ⊔ [[ψ]]υ；

[[ф∧ψ]]υ＝[[ф]]υ ⊓ [[ψ]]υ；

[[ф → ψ]]υ＝[[ф]]υ ⇒ [[ψ]].

在海廷代数里，我们使用下述标记：

• [[ф]]υ＝1 记为 H，υ╞ ф ；

• 对于所有 υ ，H，υ╞ ф ，记为 H╞ ф ；

• 对于所有 ф∈Γ ，H，υ╞ ф ，记为 H╞ Γ ；

• 对于所有 υ ，H，υ╞ Γ ，记为 H╞ Γ ；

• 对于所有 H，υ ，H，υ╞ Γ ，记为 ╞ Γ ；

• 对于所有 H，υ ，如果 H，υ╞ Γ 蕴含 H，υ╞ ф ，记为 Γ╞ ф （直觉主义重言式）.

海廷代数具备完全性（completeness）和健全性（soundness），即Γ ⊢ ф ⇔ Γ╞ ф 。

克里普克语义（Kripke semantics）

除了海廷代数语义之外，我们还可以为直觉主义逻辑提供可能世界语义学的诠释，即克里普克语义。

定义11（克里普克模型，Kripke model）

克里普克模型是三元组C＝〈C，≤，⊩〉 ，其中 C 是一个非空集合，其元素被称为状态（states）或可能世界（possible worlds）， ≤ 是 C 上的一个偏序， ⊩ 是 C 中的元素和命题变量之间的二元关系。 ⊩ （读如“迫使”，forces）必须满足下列单调性条件（monotonicity condition）：

c ≤ c' c ⊩ p， c' ⊩ p.

这些状态可以代表知识的状态。偏序可以视为通过获取新的知识还扩展状态，而迫使关系则可以视为在特定的知识状态下命题变量的真值。

定义12（力迫关系）

对于C＝〈C，≤，⊩〉 ，我们有

• c ⊩ ф∨ψ ⇔ c ⊩ ф c ⊩ ψ

• c ⊩ ф∧ψ ⇔ c ⊩ ф c ⊩ ψ

• c ⊩ ф → ψ ⇔ c' ≥ c c' ⊩ ф c' ⊩ ψ

• c ⊮ ⊥.

• c ⊩ ¬ф ⇔ c' ≥ c c' ⊮ ф

定理13（完全性）

Γ ⊢ ф ⇔ Γ╞ ф ⇔ Γ ⊩ ф

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