希尔伯特（三）

好了，现在最有趣的地方来了。这时候如果我们想要对这个骰子做一个观察，我们怎么办呢？我们需要让这个筛子落地。比如说我们现在拿着一个三维的笛卡尔坐标系，如果我们想要观察骰子的一面，那么很简单，我们把x-y屏幕端平，让骰子落到上面就可以了：骰子必定会有一面向上，并且哪一面向上，决定于它在落地的瞬间的方向：它虽然是概率性的，但是那个面与地面的夹角最小，它就更可能会以这个面落地 – 于是我们就可以观察这个骰子到底有几点。然而，我们的观察有很多形式，如果我们不关心这个骰子哪一面向下，而是观察它哪一条棱向下，怎么办？我们只需要报我们的坐标系旋转45°，比如说以水平的y轴向下，而另外两个屏幕个呈45°角。那么骰子落地时，就会有一条棱向上。我们就可以观察那一条棱 – 当然此时就意味着两个面向上了。同理，我们也可以观察一个角：我们只需要相应地旋转我们的坐标系就可以了。

因而，最终我们看到骰子确定的状态 – 是一个面、一条棱、还是一个角？- 完全取决于我们用这个三维坐标系以何种角度来“接”这个骰子。我们想要看一个面，我们就以一个平面来接它；我们想看一条棱，我们就用一条棱来接它；我们想看一个角，我们就用原点来接它。最终的结果，当然有概率性，但是概率却是由这个骰子落地时的角度决定的。我们观察到的一条确定的棱，可以是两个面的叠加，我们观察到的确定的角，可以是三条棱、或三个面的叠加。

在量子系统中，如果我们想观察位置，就要向位置本征态投影，如果想观察动量，就要向动量本征态投影，如果想观察能量，就向能量本征态投影。而观察的概率取决于态矢量的角度。我们观察到的确定的位置，可以是多个动量的叠加；我们观察到的确定的动量，可以是多个位置的叠加，如此等等，这和骰子的行为是何等相似！

所以说，量子态就是一个希尔伯特空间中的骰子；它按照薛定谔方程的确定演化，就是这个骰子在希尔伯特空间中的可预测旋转；它的观察过程，就是我们选取了一个角度来“接”这个骰子落地 – 不同的可观测量就是不同的角度，概率性就是骰子落地时的角度。

这么看来，波函数的叠加和坍缩，也并不神秘，不是吗？

神秘的是，这个骰子究竟是何种含义？

参考文献：

1. 事实上，复数给量子力学的形式理论带来了很多有趣的现象。有一种说法，就是说量子力学其实是一种最简单的复数域中的概率论 – 它把实数概率推广到复数中去了。这是一种很有意思的观点，但是我并不想从复数讲起。因而在本文的全文当中，我都忽略掉复数的性质，而只谈论实数波函数。但是你需要知道，这些谈论不是严谨的理论探讨，而是趣味性的科普探讨。

2. 我们已经知道，欧氏空间是这样一种集合，首先，它其间的所有矢量均满足可叠加性，严格讲是线性可叠加性。满足线性发展的空间我们可以称之为线性空间。在它其中定义了长度之后，这个集合可以称作巴拿赫空间（Banach space）。然后在在其中定义了角度，这个集合就是希尔伯特空间。而我们熟知的欧氏空间是一种特殊的希尔伯特空间：它定义在实数域中，并且有三个维度 。

3. 严格说，应该是它的实部是个正弦波，整个复函数波是在复空间旋转的复数。这一点，我们在本文加以简化，只用实部来表示。

4. 德布罗意波的一个最基本关系就是，粒子的动量与他的波长成反比，确定的波长就意味着确定的动量。

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