数学多元论（一）

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是近年来数学哲学中逐渐流行的哲学立场。

数学多元论有不同的表述，主要可分为实在论和反实在论意义上的多元论，本文关注的主要是实在论意义上的多元论。

根据这种实在论立场，任何一致的数学理论都刻画了本体论上具有相同地位的柏拉图世界，其最典型的形态是集合论中的多宇宙论（Set-theoretic Multiversism）。

与哥德尔（K. Gödel）和武丁（W. H. Woodin）等人所主张的单宇宙论（Universism）（参见 Gödel； Woodin）不同，多宇宙论者认为存在多个甚至无穷个宇宙： V1 ， V2 ， ……这些集合宇宙与传统的单宇宙V具有相同的本体论地位。

它们的存在不仅可以解释许多数学结果（如独立性问题），而且在哲学上可以解决传统的单宇宙论所面临的著名的认识论问题———贝纳塞拉夫问题。

根据单宇宙论者的观点，只存在一个唯一的柏拉图世界（或集合论宇宙V），且它们独立于我们的语言、实践和心灵意志，因此单宇宙论者无法解释我们关于V的信念的可靠性。

但对于多宇宙论者，任何一个一致的数学理论都对应着一个独立存在的柏拉图世界，数学信念的可靠性即一致性的可靠性，后者很容易解释，所以多宇宙论者可以很好地解决贝纳塞拉夫问题。

（参见Balaguer，1995； Linsky and Zalta）

多宇宙论者或多元论者可以解决贝纳塞拉夫问题是今天大多数哲学家的共识。

（参见Field， 1989； Clarke-Doane， 2020b； Warren， 2017）

本文将对这一共识提出挑战，论证多宇宙论并不能有效地解释数学一致性的可靠性，因此并不能成功地解决传统单宇宙论面临的贝纳塞拉夫问题。

在进入正式讨论之前，我们有必要先简单介绍贝纳塞拉夫问题。

一贝纳塞拉夫问题

贝纳塞拉夫问题有不同的表述，其中最典型的是贝纳塞拉夫（P. Benacerraf）的原初表述和菲尔德（H.Field）改善的表述。

（参见Benacerraf； Field， 1989）根据贝纳塞拉夫原初的表述，贝纳塞拉夫问题可以构造如下：

（1）如果柏拉图主义正确，那么我们具有关于数学对象的知识；

（2）任何合理的知识论都是因果性的；

（3）数学对象是抽象的，因此是因果惰性的（causally inert）；

（4）所以我们不具有关于数学对象的知识；

（5）所以柏拉图主义是错误的。

在过去50年里，前提（1）（2）（3）都受到了柏拉图主义者（或实在论者）的各种质疑（参见Steiner； Hale； Maddy； Linnebo），其中对前提（2）的反驳是哲学家（包括反柏拉图主义者）公认为最主要的一个反驳。

今天，大家基本上认为因果性的知识观并不适用于数学对象，甚至不像贝纳塞拉夫宣称的那样，可以作为一个合理的 “知识观”。

一个简单的例子是，因果性的知识观并不能用于未来的事件和一般的（generic）事实，但是我们确实具有关于未来和一般事实的知识。

菲尔德在一系列文章中指出，虽然因果性的知识观是错误的，但是这并不有损贝纳塞拉夫挑战的直觉。

贝纳塞拉夫问题的实质不在于、也不需要这种知识观。

他认为贝纳塞拉夫挑战的是柏拉图主义者对数学信念可靠性的解释。

具体而言，柏拉图主义者无法解释下面的可靠性断定（reliability claim）：可靠性断定：如果数学家A相信数学命题p，那么p为真。

因为柏拉图主义者承诺p与生活在物理世界的我们不存在因果关系，因此p的信念不依赖p；又因为柏拉图主义者假设p独立于心灵意志，因此p不依赖p的信念。

所以p的信念与p是（反事实）相互独立的，柏拉图主义者不能通过任何途径解释可靠性断定。

菲尔德指出，如果 “原则上解释可靠性断定是不可能的，那么这将会削弱（undermine）我们对数学实体的信念，无论我们出于何种理由相信它们” 。

可以看出，相对于贝纳塞拉夫原来的表述，菲尔德的改善具有不可比拟的优势。

① 首先，这种表述不需要设定知识的充分必要条件，因此不依赖因果性的知识观，可以避免对贝纳塞拉夫原初表述的各种反驳。

其次，在菲尔德看来，重要的问题不是信念的辩护（justification）问题，而是信念的可靠性（reliability）问题，或者信念可靠性的解释（explanation）问题。

我们允许柏拉图主义者通过直觉的方式，或者通过不可或缺论证（indispensability argument）辩护数学信念为真，但原则上他们无法解释这些信念的可靠性，这避免了将贝纳塞拉夫问题与怀疑论混为一谈。

最后，按照菲尔德上面的表述，柏拉图主义者需要解释可靠性断定，此条件句并不过度依赖某个确定的抽象实体。

只要柏拉图主义者认为p是客观的，那么她需要解释为什么数学家关于那些客观事实的信念是可靠的。

在这种意义上，菲尔德的条件句可以被一般化（generalized）： p不仅包含数学事实，它理应包含逻辑事实、模态事实和道德事实。

（参见Schechter； Lewis； Street； Enoch）

对多元论者而言，因为任何可以被一致想象的数学对象都现实存在着，只要数学家可以一致地想象数学命题p，那么p总对应着某个数学事实，因此她只需解释下述可靠性断定∗即可：可靠性断定∗：如果数学家A一致地相信（或想象）命题p，那么p为真。

但可靠性断定∗是多元论的一个基本主张，因此如果多元论正确，那么支持多元论的柏拉图主义者可以解释数学信念的可靠性。

这种主张似乎十分符合直觉，也符合集合论最近的发展，特别是与独立性问题的出现非常吻合。

但另一个想法似乎也十分直观：作为抽象的数学宇宙，无论它们的数量如何，我们关于它们的信念总需要解释，而 “一致性” 似乎太过便宜。

当然仅仅依赖直觉并不能推进哲学讨论，本文将论证多元论的 “一致性” 概念并不稳定（unstable），可靠性断定∗对于解决贝纳塞拉夫问题无济于事。

本文第二节将区分两种不同的多元论———极端多元论与相对多元论，并由此区分两种一致性。

第三节将排除极端多元论对贝纳塞拉夫问题的解决。

第四节通过构造一个坍塌论证，论证相对多元论只能通过坍塌到极端多元论才是 “一致的”，因此排除相对多元论对贝纳塞拉夫问题的解决。

第五节将考察多宇宙论可能的一条出路———代数性多元论，指出采取代数性多元论的代价是放弃多元论相对于一元论的认识论优势。

二两种数学多元论

前文已指出，数学多元论者主张任何一致的数学理论都刻画了本体论上具有相同地位的柏拉图世界。

举例来说，多元论者认为，如果理论A与理论B都刻画了我们意向中的集合，且它们都与加选择公理的策梅洛-弗兰克集合论（Zermelo-Fraenkel Set Theory +Axiom of Choice，以下简称 “ZFC”）一致，那么ZFC+A和ZFC+B都刻画了现实存在的柏拉图世界。

但根据科尔纳（P.Koellner）的观察，这种说法还相当粗糙，多元论者若要表述ZFC+A与ZFC+B都存在且具有相同的本体论地位，她只有两种选择：要么背景集合或集合论是不确定的，要么背景集合或者背景集合论是确定的。（参见Koellner， 2013）

根据这两种表述，科尔纳区分了两种多元论：极端多元论（Radical Pluralism）：不存在一个确定的背景集合 V，相对于V，存在多个不同的集合论宇宙。

相对多元论（Relative Pluralism）：存在一个确定的背景集合V，相对于V，存在多个不同的集合论宇宙。

① 在科尔纳看来， “为了避免平凡性（triviality），我们必须能够证明我们的理论是一致的” （同上， p. 5）。

而上升到元理论，是表述对象理论一致性、避免平凡性的唯一可能。

这即是说，要证明某个对象理论T的一致性，我们必须诉诸背景理论T∗的一致性，无论后者是否确定。

根据一阶理论的完全性，科尔纳的区分自然地蕴涵两种一致性的区分：极端一致性（radical consistency，以下简称 “一致性R ”）：对任何一个数学理论T， T的一致性是不确定的。

换言之， T是一致的，是因为T∗⊇T是一致的。

初始一致性（primitive consistency，以下简称 “一致性P ”）：对任何一个数学理论T， T 的一致性是确定的。

需要再次强调的是，一致性R和一致性p 分别是由一阶逻辑的完全性推导的：如果一个理论是真的，则存在满足这个理论的模型（我们需在元理论中给出这个模型的性质）；而如果存在满足这个理论的模型，则说明这个理论是一致的。

在这里我们排除不一致的理论，我们规定一个不一致的数学理论是错误的、不可欲的（undesired），譬如，素朴的集合论是错误的、不可欲的数学理论。

另外，二阶逻辑的不完全性定理告诉我们，存在许多一致的数学理论，它们没有相应的模型。

本文将不讨论这两种复杂的情况。

我们在下一节将论证一致性R不能解决（菲尔德表述的）贝纳塞拉夫问题；在第五节论述相对多元论必然会坍塌到极端多元论，一致性P必然会坍塌到一致性R ，因此相对多元论也无法解决(菲尔德表述的)贝纳塞拉夫问题。

三极端多元论与贝纳塞拉夫问题

根据第一节的分析，认识论上，极端的多元论者需要解释如下可靠性断定∗：可靠性断定∗：如果数学家A一致R 地相信（或想象）命题p，那么p为真。

而根据上一节的论述， p命题的一致性R 需要借助某个理论T的一致性R ，后者则需另一个理论T∗的一致性R ，如此以至无穷，因此这种一致性不是一个稳定的概念。

换言之，诉诸一致性R ，我们至少需要知道T∪ {p} 是一致R 的，但要知道后者的一致性R ，或者需诉诸另一个更大的理论T∗的一致性R ，或者需知道数学理论T是真的；前者会导致无穷后退，后者会使得一元论面临的贝纳塞拉夫问题重新出现。

极端的多元论者可以选择在无穷序列T1 ， ……， Tn ， ……的某个点上停下来，但除非诉诸神秘的官能，这种解释并没有缓解 “一致性R ” 的不稳定性。

极端多元论的另一个问题是， p的一致性R 对理论T的一致性R的依赖，会使信念p与事实p不能一一对应，因此我们并不能获知此命题所描述的抽象宇宙的任何信息。

举例而言，假设张三从来没有去过新疆某个小村庄，也不可能通过其他间接的方式知道那里的一切，但是她宣称自己知道那里发生的一切。

假设那个小村庄确实发生了张三所说的一切，这十分令人惊讶。

按照菲尔德的表述，张三必须解释她的信念p与事实p是如何对应的，否则一切仅仅是机缘巧合。

根据多元论者，只要张三能够一致地想象新疆的那个小山村发生的一切，那么她就会立即知道那里发生的一切，因为任何一致的理论或命题都对应着某个确定的世界。

在这里，我们注意到，即使诉诸一致性R ，多元论者也必须坚持信念p与事实p总存在某种对应，或者至少固定信念p与事实p的关系，但事实并非如此。

根据极端多元论的主张，要一致R地想象新疆小山村发生的一切，张三必须知道另一个事件的一致性R （比如美国国会在2021年3月14日发生的一切），而要知道后者，她必须诉诸更多句子的一致性R 。

因此仅仅通过想象新疆小山村发生的一切，张三固定不了这个想象对应的事实，或者至少有无穷个事实以析取的形式与此信念相对应。

假设p命题为＜新疆某山村发生的一切＞，那么信念p实际对应的事实如下： p∨q∨r∨……因此，通过一致性R概念，极端多元论并不能确定信念p与事实p发生一一对应。

这表明，可靠性断定∗很可能是错误的。

同理，我们假设李四一致R地相信某个背景理论T所刻画的宇宙V1 ，根据极端多元论，只有V1的一致性才能确定ZFC+A与ZFC+B所刻画的那些多宇宙，姑且称这些多宇宙为c0 。

因此c0 的范围取决于V1 。

但是依赖一阶公理化的表达方式，李四如果将自己限制在指称模型中，挑选出一个确定的宇宙V1是不可能的。

她必须诉诸另一个集合论所刻画的宇宙V2 ， V2 决定了包含V1 在内的那些多宇宙c1 。

c1 的范围取决于V2 。

同理， c2 的范围取决于V3 ，如此，李四不得不选择一个非良基（non well-founded）的依赖链。

这个依赖链可以通过图1 表示。

因此，极端多宇宙论面临着如下困境

①：要表述诸如ZFC与连续统假设（Continuum Hypothesis，以下简称 “CH”，即在自然数集与实数集之间不存在其他基数）的并集和其补集刻画的宇宙具有相同的本体论地位，即ZFC∪ {CH} 与ZFC∪ {¬ CH} 所刻画的宇宙具有相同的本体论地位，极端多宇宙论必须诉诸背景理论T的一致性R 。

但诉诸一致性R ，她不能确定信念p所对应的世界p，因此可靠性断定∗是错误的。

如果可靠性断定∗错误，即使将可靠性断定转移到可靠性断定∗是合法的，极端多宇宙论也并不能有效地解决贝纳塞拉夫问题。

当然多元论者还存在另一个选择———相对多元论。

这也是巴拉格尔的基本主张，在他看来，多元论者可以通过选择一致性P 而避免上述困境：

“没有什么东西可以阻止柏拉图主义者按照反柏拉图主义者那样理解一致性。

所以，也没有什么东西可以阻止他们像反柏拉图主义者那样解释一致性的知识。”

（Balaguer， 1995， p. 319）巴拉格尔这里所说的反柏拉图主义者主要是菲尔德。

根据菲尔德的唯名论主张，数学对象不存在，因此唯名论者不需要解释可靠性断定。

但是在理论的意义上，这并没有成功解释数学知识是什么以及它是如何可能的。

菲尔德将数学知识等同于经验知识+逻辑知识，而后者即是从某个数学系统的公理出发推导定理的知识，而要解释这种推理是如何可能的，菲尔德认为唯名论者只需要借助初始的模态概念，亦即初始一致性（一致性p ）。

巴拉格尔以上表述暗示了，如果唯名论者借助一致性p 解释数学知识（即逻辑知识）是如何可能的，那么多元论者也可以借助一致性p解释数学知识的可能性。

因此，对相对多元论者而言，贝纳塞拉夫问题的解决依赖如下可靠性断定的解释：：可靠性断定：：如果数学家A一致p 地相信（或想象）命题p，那么p为真。