数学多元论（完结）

对任意Π0 1 语句∀xφ(x) （其中φ(x)是一个Δ0 1 公式），存在一个自然数e使得：

（1）∀xφ(x)蕴含{σi : i∈We }=ZFC；

（2）ZFC+Con({σi : i∈We })⊢∀xφ(x)。

Wd 这里我们援引递归论中的术语，用We 表示编码为e的图灵机的定义域，或“第e个递归可枚举集”。

我们说，ZFC是一个递归可枚举的（实际上是递归的）公理集，也即存在一个自然数d使得ZFC={σi : i∈ }。

所以事实陈述中的{σi : i∈We }=ZFC实际上是We =Wd 这样一则一阶算术命题。

此外，Wd 又可以被表示为一个递归函数δ的值域：Wd ={δ(i)：i∈N}。

事实的证明假设ZFC={δ(i)：i∈N}。我们可以构造一个部分递归函数Φe

δ(n)，如果∀x＜nφ(x)，

Φₑ(n)＝{

δ(n)∧0＝1，否则。

我们先验证

（1）：如果∀xφ( ) x成立，那么We =ranΦe =ZFC。

此时，Con(We )等价于Con(ZFC)。

验证（2）：我们在ZFC中工作，如果¬∀xφ(x)，那么We 中就包含0=1。

因而，¬Con(We )。

证毕。

因此，对任何真的Π0 1 语句（例如，“ZFC+存在任意大的武丁基数是一致的”），我们都可以找到ZFC的某个编码，使得Con(ZFC)蕴含这则语句。

在弗雷格这样的实在论者看来，这并没有什么吊诡的地方， 因为它们都是真的。

科里认为，当我们证明一个数学命题的时候，重要的是我们证明了这个命题在某个公理系统中可证这一元数学事实。

一度作为ZFC形式主义②者的谢赫拉（SaharonShelah）在已知ZFC关于正则基数为指 数的幂所知甚少的情况下，提议尽可能在ZFC中证明关于奇异基数为指数的幂的取值上限，并证明了著名的不等式：2ℵω＜ℵω4 。

证明使用了谢赫拉发明的相比基数幂运算更精细的共尾可能性理论（pcftheory）， 涉及在各种超积模型中可能的共尾数。

这依赖于相当深刻的集合直观。

尽管所有在ZFC公理系统中的证明自然都会有相应的元定理作为副产品，但即使在ZFC形式主义者看来，他所证明的是一则关于集合的事实，而不是一则有穷的算术“元数学”命题。

事实上，没有人真正给出过见证ZFC⊢2ℵω＜ℵω4 的形式化证明的编码。

裘江杰在《集合论多宇宙观与形式主义》中认为形式主义能够帮助探究集合论新公理。

后者是哥德尔纲领的核心议题，也被认为是柏拉图主义面对不完全性现象的标准回应。

裘江杰写道：“为获得具有某种独立性的常规数学结果所必须的命题可能可以作为新公理的候选。这一进路是形式主义的。”[3]

对这句话可以有两种解读。

一种是，得到独立性结果这种“元数学”结果所必须的命题可以作为新公理的候选；

第二种是，要证明已知独立命题（如独立于ZF的CH）所必须的命题可以作为新公理的候选。

已知的独立性元数学结果（由一对相对一致性命题组成）往往是在弱如PRA这样的有穷主义公理系统中可证的，并不需要什么扩张了现有集合论公理系统的新公理候选。

因此，第一种解读可以排除。

关于第二种解读，来自形式主义对新公理的要求是证明目标已知独立命题所必须的命题。

笔者认为，这是不合理的。

按照哥德尔纲领对新公理的标准的讨论，集合论新公理除了必须满足符合我们关于集合概念的直合概念的直观这一内在性要求，还应该具有成果丰富性这一外在性要求，即可以加深我们关于集合论宇宙的理解。

除去丰富性要求，最“安全的”新公理无疑是将目标独立问题或其否定本身作为新公理，这恰好符合形式主义者的上述要求。

目前关于集合论新公理的主要候选理论(W.HuqhWoodin的终极L、力迫公理和内模型假设)都有远超连续统假设问题的丰富后承。

又或许形式主义者思考的对新公理的探究是类似反推数学的工作，后者试图厘清被广泛接受的数学成果所需要的最小二阶算术公理系统是什么。

由此，构造主义者可以在选择他们所认可的公理系统之前就了解他们能够保留什么以及必须放弃什么。

反推数学的一些工作的确被宣称为希尔伯特纲领的部分实现「13]。

但笔者认为这类工作意义在于为部分怀疑论者在选择可接受的极小系统时提供参考，所涉及的都是在柏拉图主义者看来显然成立的公理系统。

它与为集合论乃至全部数学寻找新公理的哥德尔纲领的志趣相去甚远。

综上，形式主义思想对探究新公理的作用十分有限。

三、集合论多宇宙观与形式主义

笔者曾在《集合论多宇宙观述评》中论证集合论多宇宙观要么就是一种形式主义，要么与集合论单一宇宙观相容[2] 。

近年来，围绕集合论多宇宙观的研究出现了更多的结果。

这让我们有理由再次审视集合论多宇宙观是如何推动有关数学实践的。

本节中，笔者尝试通过展示这些基于集合论多宇宙观的新进成果以显示形式主义的思想何以在其中缺位，相反它们的灵感仍然主要来自多宇宙观与柏拉图主义单一宇宙观的对话。

近年来，与集合论多宇宙观密切相关的成果中最引人注目的是薄葉季路在2017年证明的下述定理。

定理 （1）假设V满足ZFC，那么V的地基是强向下直的（stronglydownwarddirected）。

即对任意索引集I 和V的地基“集”{Ni }i∈I ，存在V的地基N⊂i∈I Ni 。

（2）假设集合论宇宙V中存在超巨基数（hyper-hugecardinal），那么V的地幔（mantle）就是V的地基 （ground）[14]。

其中，我们称V的一个内模型M是V的地基，当且仅当V是M的一个集合力迫扩张，也即存在一个 偏序P∈M以及一个(M，P)-泛型滤G使得，V=M[G]。

Richard Laver和Woodin-Joel D. Hamkins独立证明V的地基可以被统一地在V中参数定义。

V的地幔被定义为V的所有地基的交。

由于地基们可以被统一的参数定义，地幔也是V的一个可定义的子类。

但地幔是一个ZFC内模型或进一步是V的地基并不是一个平凡的事实。

集合论地质学（set-theoretic geology）由Gunter Fuchs、Hamkins和Jonas Reitz提出[15]，目的是研究V的地基组成的结构，它可以被看作包含V的整个泛型复宇宙（genericmultiverse）①的一段向下的锥形 （downward cone）子结构，因而也是多宇宙观框架下研究的一部分。

其中的一个重要的问题是V的地基们是否是向下直的（downwarddirect，即V的任何两个地基的交包含一个V的地基）或强向下直的。

地基是向下直的对整个泛型复宇宙是很重要的性质。

如果V的地基是向下直的，那么V地幔就是一个力迫不变的概念，即，V的任意集合力迫扩张V[G]的地基仍然是V的地基。

例如，可构成集类L和Woodin设想的终极L都是力迫不变的。

并且V的地幔也是V的内模型（V中可定义，V中传递，与V等高的ZFC模型)

事实上，V的地幔是V的最大的力迫不变的内模型。

此外，V的地幔是V所在泛型复宇宙中任何一 个宇宙的地幔，也是包含V的整个泛型复宇宙的交。

由向下直性可以证明，泛型复宇宙中的任何两个宇宙N0 ，N1 之间可以通过先取一次地基再做一次力迫扩张从而两步连接起来。

注意，我们仍然需要足够强的大基数假设，也即在上述薄葉季路的第二个定理下，才能得到V的地幔也是V的一个地基，从而属于包含V的泛型复宇宙。

薄葉季路的第二个结论来自假设V中存在足够强的大基数κ，那么V的任何地基都是通过一个＜κ的力迫得到V的。

因此，V的地幔可以通过一步集合力迫得到V。

他将这里的大基数假设进一步削弱为存在一个可扩张基数（extendiblecardinal）[16]。

每个超巨基数是可扩张基数的极限，它本身也是可扩张基数。

在整个大基数强度层谱中，可扩张基数相比超紧基数并没有强很多。

Woodin的终极L计划来自他的下述发现：对V中的存在的任何已知的大基数κ（可 能远强于超紧基数），如果N是V的一个超紧基数的弱张子模型（weakextendermodel），那么κ大基数性 质相对于N是绝对的。

因此，如果我们能找到一个包含超紧基数的具有精细结构的类似L的弱张子模型（终极L），那么它也兼容任何V中存在的大基数。

由此，假设V=终极L在大基数层谱上不会损失任何解释力强度。

注意，薄葉季路的结果表明，如果存在可扩张基数κ，那么κ以上的大基数在整个泛型复宇宙中（相对地幔）是绝对的（无法通过Lévy力迫坍塌κ及以上的基数）。

地幔的这个性质与上述终极L的性质相呼应。

加之，地幔本身是最大的力迫不变的（作为一种类似L的性质，Woodin要求终极L也是力 迫不变的）内模型，无怪乎Woodin为这一结果欢呼并声称：“任何V=终极L的公理候选都蕴含V就是泛型复宇宙的那个极小元② 。”[17]

需要注意的是，根据Fuchs等人的证明[15]，任何一个ZFC模型可以是某 个ZFC模型的地幔。

所以假设V=V的地幔并不能直接带来多少有价值的推论，这与V=终极L仍然相去甚远。

另一个值得注意的有关多宇宙观的进展来自Hamkins等人关于集合论潜在主义系统的模态逻辑刻画。

Hamkins和Benedikt Löwe曾证明了ZFC可证的力迫扩张关系的模态逻辑理论恰好是S4.2[18]。

然 而，Hamkins主张的多宇宙观远不止由力迫法生成的泛型复宇宙。

Hamkins和Woodin定义了一个普遍有穷集（universal finite set）{x：φ(x)}。

φ是一个集合论Σ2 公式，ZFC可证它定义的集合是有穷的[19]。

而如果它在某个可数ZFC模型M中定义了一个有穷集合y∈M，那么对任何有穷z∈M都存在M的一个顶扩张N使得{x∈N|φN(x) }=z。

这里，我们称N是M的一个顶扩张（top-extension），当且仅当M是N的子模型，并且每个N∖M中的元素在N中冯诺依曼层谱上的秩（rank）都在M中的每个序数之上。

利用普遍有 穷集在诸顶扩张中可以被任意扩张，可以构造一系列“铁路开关”（railwayswitches）。

即一系列集合论语句σ，使得◇□σ和◇□¬σ都成立，同时□σ和□¬σ都尚未成立。

这里◇σ在某个集合论模型上成立，当且仅当存在它的一个满足σ的顶扩张。

这些“铁路开关”的存在导致.2公式◇□σ→□◇σ无法成立。

由 此可以证明由可数集合论模型在顶扩张关系下生成的潜在系统（potentialismsystem，也是整个集合论复宇宙的一个子结构）的模态理论恰好是S4，也即任何一个潜在系统模态理论的下界。

薄葉季路的结果同时被作为单一宇宙观代表的Woodin以及作为多宇宙观代表的Hamkins喝彩。

前者将其看作是一个非常强烈的信号，指示存在着典范的集合论宇宙，它同时具有力迫不变性和保持对大基数的解释力这两条良好的性质。

后者将其视作对集合论复宇宙研究的一个典范成果，它大幅推进 了我们对ZFC泛型复宇宙结构的理解，同时他又没有削减这个复宇宙的丰富性（任何ZFC模型都可以是地幔）。

Hamkins关于基于顶扩张的潜在系统模态性质的研究与他关于其他集合论复宇宙子结构的研究一样，意在展示复宇宙的丰富性与复杂性。

为了维持实在论的立场同时摆脱传统单一宇宙观的统领， 集合论多宇宙观的拥护者总试图通过展示复宇宙的丰富性来揭示人们关于“集合”的概念是不清晰的， 甚至并不存在“真正的集合概念”。

可见，有关集合论多宇宙观的研究仍然紧密围绕着这些经典的本体论问题。

在其中，来自形式主义的启发、助探和事后的解释是缺位的。

作者：杨睿之

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