数学

Ω-逻辑与猜想

无穷或无限，来自于拉丁文的“infinitas”，即“没有边界”的意思。其数学符号为∞。

它在科学、神学、哲学、数学和日常生活中有着不同的概念。

通常使用这个词的时候并不涉及它的更加技术层面的定义。

在神学方面，根据书面记载无穷这个符号最早被用于某些秘密宗教，通常代表人类中的神性，而书写此符号时两圆的不对等代表人神间的差距，例如神学家邓斯·司各脱（Duns Scotus）的著作中，上帝的无限能量是运用在无约束上，而不是运用在无限量上。

在哲学方面，无穷可以归因于空间和时间。

在神学和哲学两方面，无穷又作为无限，很多文章都探讨过无限、绝对、上帝和芝诺悖论等的问题。

在数学方面，无穷与下述的主题或概念相关：数学的极限、阿列夫数、集合论中的类、戴德金无限集合、罗素悖论、超实数、射影几何、扩展的实数轴以及绝对无限。

在一些主题或概念中，无穷被认为是一个超越边界而增加的概念，而不是一个数。[1]

摘要在[12]中，Hugh Woodin介绍了Ω-逻辑，一种方法集合宇宙中的真理，灵感来自最近在大基数中的工作。

对Ω-逻辑出现在[13，14，1，15，16，17]中。

在这个本文给出了关于Ω-逻辑，相对到已发表的文献，导致Ω-逻辑和Ω-猜想。

介绍现代集合论中的一个结果族，称为绝对性结果，表明某些大基数的存在意味着真理强制不能改变某些句子的值

1.另一个家庭结果表明，大基数意味着某些可定义的实数集满足某些正则性性质，这反过来意味着满足其他大型基数性质的模型。

第一种类型的结果提出一种逻辑，在这种逻辑中，如果语句在每个强制扩展。

经过一些技术修改，这是Woodin的Ω-逻辑，最早出现在[12]中。

第二种类型的结果表明在Ω-思维方式Woodin提出了这样一个表征success被称为Ω-猜想关于Ω-思维方式以及Ω-猜想已经发表[1，13，14，15，16，17]。

给我们简要讨论的技术背景Ω-逻辑，并证明这方面的基本定理。

本文假定了集合论的基本知识，包括可构造性和强迫性。

所有未定义的概念都可以在[4]中找到。

1.1.准备工作给定V中的一个完整布尔代数B，我们可以通过对序数类on的递归来定义布尔值模型V B：

V0B=∅VλB=[β＜λ VβB，如果λ是极限序数VαB+1=｛f:X→ B|X⊆VαB}，然后，V B=Sα∈在VαB上。

V B的元素被称为B名称。

每一个V的元素x有一个标准的B名称x，归纳定义为：∅=∅，和x：{y：y∈x}→ ｛1B｝。

对于每个x∈VB，设ρ（x）=min{α∈On|x∈VαB+1} ，中x的秩V B。

给定参数为VB的集合论语言的一个公式，如果其布尔值为1B。

V B²iff[[ξ]]B=1B，其中[[·]]B由对（ρ（x），ρ（y））上的归纳定义，在正则序数对的良好排序以及公式的复杂性（参见[4]）。

VB可以被认为是通过迭代B值幂集而构造的活动模由[[x=y]]B=1给出的等价关系，VαB为精确地说，在布尔值模型VB的意义上的Vα（参见[4]）：

1.1号提案。

对于每个序数α和每个完全布尔代数B、 VαB lect（Vα)V B即对于每个x∈VB，（y∈VαB[[x=y]]B=1）iff[[x∈Vα]]B＝1B。

推论1.2。

对于每个序数α和每个完全布尔代数B，VαB²ξiff V B²“VᲓ。符号：i） 如果P是偏序，那么我们写V对于V B，其中B=r.o.（P）是P的正则开完备（参见[4]）。ii）给定M是集合论的模型，我们将为（Vα）M和MαB写Mα对于（VαB）M=（Vα）MB。

iii）Sent表示的是集合论。iv）在集合论语言中，TŞ{ξ}将始终是一组句子，通常扩展ZF C。v） 我们将为可数传递∈-模型写c.t.m。vi）我们将为完全布尔代数编写c.B.a。vii）对于A⊆R，我们将L（A，R）写成L（{A}ŞR），最小的传递性ZF的模型，包含所有序数、A和所有实数。

像往常一样，实数将是Baire空间的一个元素N=（ωω，τ），其中τ是乘积拓扑，离散拓扑在ω上。

因此实数的集合R是从ω到ω的所有函数的集合。

自始至终在这篇论文中，我们经常用一般滤波器来代替布尔值滤波器模型。

每一种谈话方式都可以在另一种方式中被常规地重新解释。

设P是一个强迫概念。

我们说*x是实数的一个简单P名称数字，如果：i） *x的元素具有以下形式(（n，m)，p），其中p∈p和n，m∈ω，使得p°p▪x（n） =m。ii）对于所有n∈ω，{p∈p|∃m使得(（n，m)，p）∈▪x}是最大值P。

对于任何强迫概念P和对于实数的所有P-名称τ，存在一个简单的P-名称*x，使得°Pτ=*x。

因此，任何P-通用滤波器用同样的方法解释这两个名字。

设WF:={x∈ωω|Ex是成立的}，其中给定x∈Ωω，Ex:={（n，m）∈ω×ω|x（Γω和ω之间。

回想一下W F是一个完全的π11.设置（请参见[4]）。

设T是一个理论，其模型自然包含Peano的子模型N算术T的模型M是ω-模型，如果NM是标准的，即同构于ω。

在这种情况下，我们自然地用它的同构来识别M复制M0，其中NM0为ω。

Woodin在20世纪80年代推出的“固定塔强制”将用来证明关于Ω-逻辑：

定义1.3。

（参见[6]）（固定塔强制）i） 一套δ=∅是平稳的，如果对于任何函数F:[Şa]＜ω→ ∪a、 那里存在b∈a使得F“[b]＜ω⊆b。

ii）给定一个强不可访问基数κ，我们定义了平稳Tower Forcing概念：其条件集κ={a∈Vκ：a是平稳的}，并且该顺序由以下定义：a≤b iffŞb⊆õa和{ZŞ（Şb）|Z∈a}\8838b。

事实1.4。

给定γ＜δ是强不可及的，a=Pω1（Vγ）∈P＜δ。

证明：给定F:[Vγ]＜ω→ Vγ，设x∈[Vγ]＜ω，并设：A0=x，An+1=AnŞ{F（y）：y∈[An]＜ω}设b=S n∈ωAn。

因此，b∈Pω1（Vγ）和F“[b]＜ω⊆b。

回想一下Woodin基数的大基数概念：

定义1.5。（[10]）

基数δ是Woodin基数，如果对于每个函数f:δ→ δ存在κ＜δ与f“κ⊆κ，并且存在一个初等嵌入j:V→ M具有临界点κ，使得Vj（f）（κ）⊆M。

定理1.6。（参见[6]）

假设δ是Woodin基数，并且G⊆P＜δ是一个V型一般滤波器。

那么在V[G]中存在一个初等嵌入j:V→ M、 M传递，使得V[G]²M＜δ⊆M和j（δ）=δ。

此外，对于所有的a∈P＜δ，a∈G iff j“Şa∈j（a）。

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