强大数定律与弱大数定律

大数定律是现代概率理论中重要的理论，也是连接概率理论与统计理论的重要桥梁。数学中以“定律”命名的理论不多，通常与实际应用有紧密联系。

大数定律描述了这样一种现象：对于一个随机变量序列{Xₙ} （可以理解为无数个样本），它的前 n 项平均值

X₁＋X₂＋· · ·＋Xₙ

Aₙ＝───────

n

对于满足若干条件的{Xₙ}，当随机变量数量 n 非常大时，它们的平均值将极有可能趋于定值 μ

Aₙ → μ

这个定值μ 通常是 Xᵢ 数学期望。

按收敛方式不同，大数定律分为强大数定律和弱大数定律。

强大数定律

当随机变量序列的长度为无穷大时，它们的平均值必然趋于定值。我们称这样的随机变量序列符合强大数定律。用数学语言来说就是

P{lim Aₙ – μ＝0}＝1

n→∞

其中Aₙ 是随机变量序列的前 n 项平均值（见前面）。

弱大数定律

当随机变量的序列的长度为无穷大时，它们的平均值逼近定值的概率为将趋近于1。称这样的随机变量序列符合弱大数定律。用数学语言表述为

∀ε＞0：lim P{|Aₙ – μ|＜ε}＝1

n→∞

区别和联系

强大数定律是容易理解的，它类似于数列极限的定义。而弱大数定律相对来说不容易理解，而且乍一看似乎跟强大数定律没有什么区别。实际上，这里面涉及到对极限的理解。当我们说一个数列的极限为1时，只是说这个数列无限逼近于1，而不能保证数列等于1。例如数列

1

αₙ＝1 – ─，

n

它的极限为1，但他的每一项都不等于1。再如

1 nπ

bₙ＝1＋─ sin ─，

n 2

它的极限为1，也确实存在无穷多个等于1的项，但是我们找不到一个 N ，使得 bɴ 以后的每一项全部为1。

再回到弱大数定律，弱大数定律告诉我们，当随机变量的数量n 趋于无穷大时，它们的平均数 Aₙ 逼近定值 μ 的概率趋近于1，但不一定等于1。也就是说，当 n 非常大时， Aₙ 极有可能逼近于 μ ，但也不能保证 Aₙ必然逼近于 μ 。

而强大数定律就不一样了。强大数定律的概率P没有被包裹在极限符号里面，即不是

lim P{. . .}＝1

. . .

而是 P{. . .}＝1 ，也就是“Aₙ 必定趋近于 μ ”。

如果能理解上面的话，也就能理解如果一个随机变量序列符合强大数定律，那么他一定也符合弱大数定律。因为当P{. . .}＝1的时候，那么

lim P{. . .}＝1当然也就成立。

. . .

下面在于几个图象来更形象的表示弱大数定律与强大数定律的区别。

• 强大数定律： Aₙ 趋近于 μ

• 弱大数定律：不能保证 Aₙ 趋近于 μ ，但随着 n 的增大， Aₙ 趋近于 μ 的概率将增大。也就是说Aₙ 偏离 μ的次数将越来越少，但无法保证它不偏离 μ 。

大数定律的一般化定义

满足大数定律的随机变量序列除了可以趋近于定值以外，还可以趋近于另一随机变量

设有随机变量序列{Xₙ} 和随机变量 Y ，

(1) 称{Xₙ} 依概率收敛于 Y 当且仅当

∀ε＞0：lim P{ω∈Ω：|Xₙ(ω) – Y(ω)|＜ε}＝1 n→∞

(2) 称{Xₙ} 以概率 1 收敛于 Y 当且仅当

P{ω∈Ω：lim Xₙ(ω) – Y(ω)＝0}＝1

n→∞

若P{Y＝μ}＝1 ，则为最常见的情况。

P.S. 林德伯格-莱维中心极限定理

设{Xₙ} 各项独立同分布，且具有有限的数学期望 μ 和标准差 σ ， Aₙ 是它的前n项平均值。另设

Aₙ – μ

Yₙ＝───

σ

─

√n

则当n → ∞ 时， Yₙ的概率分布将无限接近标准正态分布 N(0，1²) 。用数学语言描述之

lim Fʏₙ(x)＝Φ(x)

n→∞

即

Aₙ – μ

lim P{── ≤ x}＝Φ(x)

n→∞ σ

─

√n

中心极限定理看似复杂，其实也很容易理解。实际上E[An]=μ，D[An]=σ²/√n。所以这一定理的本质就是——独立同分布且期望和方差分别存在的样本，其平均值服从正态分布。

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