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卡罗需-库恩-塔克 KKT

KKT 条件的背景 ▹

KKT 条件的组成部分 ▹

卡罗需-库恩-塔克条件(Karush-Kuhn-Tucker conditions,简称 KKT 条件)是优化理论中的一组必要条件,广泛应用于约束优化问题,尤其是在非线性规划中。KKT 条件是拉格朗日乘数法的推广,适用于具有不等式约束的优化问题。

KKT 条件的背景

在优化问题中,我们通常希望最小化一个目标函数f(x) ,同时满足一些约束条件。一般形式如下:

minimizef(x)

gᵢ(x) ≤ 0,i=1,. . .,m(不等式约束)

hⱼ(x)=0,j=1,. . .,p(等式约束)

其中,gᵢ(x) 是不等式约束, hⱼ 是等式约束。

KKT 条件的组成部分

对于上述优化问题,KKT 条件包括以下几个部分:

1. 可行性条件:

• 约束条件必须满足: gᵢ(x*) ≤ 0,hⱼ(x*)=0

2. 拉格朗日函数:

• 定义拉格朗日函数:

ₘ ₚ

L(x,λ,ν)=f(x)+∑λᵢgᵢ(x)+∑νⱼhⱼ(x)

ᵢ₌₁ ⱼ₌₁

• 其中 λi​ 是与不等式约束相关的拉格朗日乘数,νj​ 是与等式约束相关的拉格朗日乘数。

3.梯度条件:

• 在最优点 x* 处,拉格朗日函数的梯度必须为零: ∇ₓL(x*,λ*,ν*)=0

4.互补松弛条件:

• 对于每个不等式约束,乘数和约束的乘积必须为零: λᵢgᵢ(x*)=0,∀i

这意味着如果某个约束是紧的(即 gᵢ(x*)=0 ),则相应的拉格朗日乘数 λᵢ 可以是正的;如果约束不紧(即 gᵢ(x*)<0 ),则 λᵢ 必须为零。

5.拉格朗日乘数的非负性:

• 对于所有的不等式约束,拉格朗日乘数必须非负: λᵢ>0,∀i

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