代数学

摘自《数学史辞典新编》 杜瑞芝 主编 [P482]

代数学（algebra）数学中最重要的、基础的分支之一。代数学的历史悠久，它随着人类生活的提高，生产技术的进步，科学和数学本身的需要而产生和发展。在这个过程中，代数学的研究对象和研究方法发生了重大的变化。代数学可分为初等代数学和抽象代数学两部分。初等代数学是更古老的算术的推广和发展，而抽象代数学则是在初等代数学的基础上产生和发展起来的。

代数学的西文名称algebra来源于9世纪阿拉伯数学家花拉子米的重要著作的名称。该著作名为“al-Kitab al-Mukhtasar fihisab al-Jabr wa'l-mugabala”，原意是“还原与对消计算概要”。这本书传到欧洲后，简译为algebra，这就是代数学西文名称的来源。清初曾传入中国两卷无作者的代数学书，被译为《阿尔热巴拉新法》，后改译为《代数学》（李善兰译，1853）。

初等代数学是指19世纪上半叶以前的方程理论，主要研究某一方程（组）是否可解，怎样求出方程所有的根（包括近似根）以及方程的根所具有的各种性质等。

代数之前已有算术，算术是解决日常生活中的各种计算问题，即整数与分数的四则运算。代数与算术不同，主要区别在于代数要引入未知数，根据问题的条件列方程，然后解方程求未知数的值。这一类数学问题，早在古埃及的数学纸草书（约公元前1800年）中就有了启示，书中将未知数称为“堆”（一堆东西），并以象形文字表示。古巴比伦人也知道某些二次方程的解法，在汉穆拉比时代（公元前18世纪）的泥板中，就载有二次方程问题，甚至还有相当于三次方程的问题。数学史家们曾为此发生过热烈争论：在什么意义下能把巴比伦数学看成是代数学？

古希腊时代，几何学明显地从数学中分离出来，并在希腊科学中占统治地位，其威力之大，以至于纯算术的或代数的问题都被转译为几何语言：将量解释为长度，两个量之积解释为矩形、面积等。现代数学中保留的称二次幂为“平方”，三次幂为“立方”，就是来源于此。古希腊时期流传至今的与代数有关的著作只有丢番图的《算术》。这是一部完全脱离几何形式的代数学著作，其中系统地研究了不定方程的理论，创造出高达6阶和多达10个未知数的不定方程和不定方程组，给出二元一次不定方程的一般解法。因此，丢番图被认为是不定分析的创始人。他还创立了一套缩写符号和应用负数之例，这在古代是绝无仅有的。《算术》中的问题构思精巧，解题方法极多，解题技巧高超，但最大的缺点是没有建立解方程的一般方法。

公元4世纪以后，希腊数学开始衰微，但印度和中东地区的数学却获得了相当可观的发展。印度人对代数学做出了重大贡献。他们用缩写文字和一些记号来描述运算。这套符号虽然不多，并且运算起来往往显得笨拙，但还是比丢番图的缩写代数先进得多，这已足使印度代数几乎称得上是符号代数，他们的工作预示了新数学的发展方向。6－7世纪的印度数学家主要研究不定方程的解法，他们建立了自己的独特方法。阿耶波多首先建立了一次不定方程（丢番图方程）求解的所谓“库塔卡法”（“库塔卡”原意是“扩散”或“研细”），其实质是通过欧几里得辗转相除法的计算程序，接近于连分数的算法。这种算法后来由婆罗摩笈多和12世纪的婆什迦罗所发展。其雏形“更相减损术”早在中国《九章算术》里就已出现，后来到秦九韶“大衍求一术”更加完善。在婆罗摩笈多的著作中，还给出了二次方程x²＋px－q＝0的一个根的公式

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x=─ (√p²＋4p – q)

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及某些不定方程的通解的一般形式。印度代数的另一成就就是引进了负数，印度人对负数的应用最早见于婆罗摩笈多的著作。在他的《婆罗摩历算书》中称正数为“财产”，负数为“债务”，并给出了正负数与零的四则运算法则。

在古代，只有希腊几何学从数学中分离出来，算术与代数在很长时期内都是交错在一起的。人们只能从中归纳出具有代数特点的问题，作为代数学的历史痕迹。代数学发展成为一门独立的数学分支应归功于中世纪的阿拉伯人。阿拉伯数学家系统地研究了二次方程的解法，早期的代表作是花拉子米的《代数学》（约820年）。这部著作提供了代数学这门学科的名称，花拉子米以两种变形规则的名称来为自己的书命名，从而体现了代数学的真髓。《代数学》用十分简单的例题讲述了解方程的一般原理，系统地讨论了一般二次方程的解法。他讲述的解法程序相当于给出了一元二次方程的求根公式，他还指出了其解法的普遍性。他已经知道二次方程有两个根，但他只取正根。花拉子米之后，又有多位数学家继承和发展了他的工作。代数学作为解方程的学说，在11世纪阿拉伯数学家奥马·海亚姆的《代数学》中达到了新的高度。他明确地把代数学定义为解方程的科学，还特别创造了用圆锥曲线解三次方程的几何方法。他的工作使代数与几何的联系更加密切。可惜的是，在1851年以前，欧洲人并不了解奥马·海亚姆的这种解析几何方法，花拉子米的《代数学》传到欧洲后，作为标准课本流行了几百年，而奥马·海亚姆关于“代数学是解方程的科学”的观念一直保持到19世纪末。

中国古代在代数学方面有光辉的成就。在古代数学名著《九章算术》（公元1世纪）中，记载了用算筹解一次联立方程组的一般方法。所采用的“正负术”中给出了负数的概念，建立了正、负数的运算法则。中国古代把开各次方和解二次以上的方程，统称为“开方”。在《周髀算经》和赵爽注以及《九章算术》和刘徽注中已经有完整的开平方法和开立方法。在二次方程x²＋ax＝A的数值解法和求根公式这两方面也有一定的成就。唐初王孝通的《辑古算经》的大部分内容是求三次方程的正根，还发展了三次方程的数值解法。宋元时期，中国数学家对高次方程的研究取得更加辉煌的成就。北宋数学家贾宪提出了著名的“开方作法本源图”（即贾宪三角）和增乘开方法，并用来解决二项方程近似根求法。南宋秦九韶在他的《数书九章》中把增乘开方法运用于高次方程，他将自己的方法称为“正负开方术”，给出了求解高次代数方程的完整的数值算法，做出了具有世界意义的重大贡献。除了“正负开方术”外，秦九韶还创立了“大衍总数术”，即一次同余式的一般解法。这两项贡献使得宋代算书在中世纪世界数学史上占有突出的地位。金、元之际数学家李冶研究列一元方程的方法，创立“天元术”，其方法与现代代数中的列方程法相类似。元代数学家朱世杰在他的《四元玉鉴》中又把这种方法方法推广到多元高次方程组，详细地给出了列多元高次方程组的方法，创立“四元术”。天元术和四元术都是用专门的记号来表示未知数，从而列方程、解方程。中国数学家为代数学的发展做出了新的贡献。

在中世纪的欧洲，对代数学有较大贡献的是意大利数学家斐波拉契。他的《算盘书》（1202）是这一时期最重要的数学著作，这部著作系统地向欧洲人介绍了阿拉伯的算术和代数，还汇编了一些源自古代印度、中国和希腊的数学问题，内容包括二次和三次方程以及不定方程的解法。所有这些对改变欧洲数学的面貌产生了很大影响。1228年的《算盘书》修订版还载有一个有趣的“兔子繁殖问题”（见斐波拉契兔子问题），导致有名的斐波拉契级数的研究，后人发现这个级数有许多重要而有趣的性质，至今仍有人在研究，美国人在20世纪60年代初还创办《斐波拉契季刊》，专门刊登这方面的新发现。

二次方程的求根公式在花拉子米时代就已经得到，他的代数学著作被译成拉丁文后在欧洲流传了几百年。但三次、四次方程的求根公式，直到15世纪末还没有被发现。16世纪上半叶，意大利的几位数学家突破了这个难题。首先发现某种三次方程解法的是费罗，而另一位数学家塔尔塔利亚也宣称自己得到了同类方程的解法，由此引起了400多年前的一场著名的数学竞赛，其结果是塔尔塔利亚获胜。但是他的方法却由另一位意大利数学家卡尔达诺抢先在其著作《大术》（1545）中公布，为此还引发一场风波。三次方程的求根公式最终以“卡尔达诺公式”流传下来。四次方程的一般解法由卡尔达诺的学生费拉里得到。

在出现普遍适用的代数符号之前，代数方程理论的发展是缓慢的、曲折的。花拉子米的《代数学》完全用文字叙述，使用起来很不方便。丢番图和印度数学家都使用过一些缩写文字和记号，但很不系统，没有被后人采纳。在12世纪以后欧洲的代数学文献中陆续出现过一些简写法，包括一些运算的表示，如用

─ ─

P和M表示“加”和“减”等。到15世纪末，开始使用现代形式的符号“＋”和“－”来代替过去流行的用繁琐语言表示数学运算。接着又有了幂及根式的符号，并出现了括号。到16世纪末期，意大利数学家邦贝利引进了虚数，稍晚的荷兰数学家吉拉德（A.Girard,1593－1632）推断：对于n次多项式方程，如果把不可能的（复数）根考虑在内，并包括重根，则应有n个根。这就是著名的“代数基本定理”，但他没有给出证明。

符号代数学的最终确立是由法国数学家韦达完成的。他的《分析术入门》被西方数学史家推崇为第一部符号代数学。在该书中，他自觉地、系统地运用字母代替数字，用辅音字母表示已知数，用元音字母表示未知数。韦达还明确指出代数与算术的区别，前者是“类的算术”（施行于事物的类和形式的运算），后者是“数的运算”。于是代数学更带有普遍性，形式更抽象，应用更广泛。在稍后的工作里，韦达改进了三次、四次方程的解法。他还对二次和三次方程建立了方程的根与系数之间的关系，即现在被称为韦达定理的结果。后来笛卡尔改进了韦达创造的符号系统，用a，b，c，…表示已知量，x，y，z，…表示未知量。当代所使用的大多数代数符号到17世纪中叶已基本确立。

17－18世纪中期，代数学被理解为在代数符号上进行计算的科学，用来研究与解方程有关的问题。这个时期最好的教科书之一是欧拉的《代数学入门》（1770），其内容包括整数、分数和小数、方根、对数、一次到四次代数方程、级数、牛顿二项式和丢番图分析等，是对16世纪中期发展起来的符号代数学的系统总结。

18世纪对代数学的研究时常要服从分析学的需要，许多人甚至把分析看作代数的延伸。其实这一时期代数学的发展为19世纪的革命性变化奠定了基础。高斯研究了复数及其运算的几何表示，给出代数基本定理的第一个证明（1799）。法国数学家拉格朗日、旺德蒙德和意大利数学家鲁菲尼等研究五次以上代数方程的解法，发现根的有理函数与根置换对方程性质的深刻影响，开始认识到五次以上的代数方程用根式求解的不可能性。

在19世纪，代数学领域发生了革命性的变革。首先是挪威数学家阿贝尔证明了（1824－1826）五次以上的一般代数方程不可能用根式求解，并实质上引进了域和在给定域中不可约多项式这两个概念。紧接着（1832），法国数学家伽罗瓦对于高次方程是否能用根式求解问题给出更加彻底的解答。他引进了置换群的正规子群、数域的扩域、群的同构等概念，证明了由方程的根的某些置换所构成的群（即伽罗瓦群）的可解性是方程根式可解的充分必要条件。伽罗瓦的工作并没有立即为人们所了解和接受，直到1870年才由法国数学家若尔当在他的著作《置换与代数方程》中给出第一个全面而清晰的阐述，他还补充了自己的新成果，这边著作大大地推进了置换群论的研究。

几乎与伽罗瓦的工作同时，英国数学家皮科克发表了他的《代数通论》（1830），其中对代数运算基本法则进行研究，试图建立一门更一般的代数，它仅是符号及其满足的某些运算法则的科学。英国数学家德·摩根和布尔在这方面也做出了重要尝试。前者指出，代数学应该是一系列“运算”，而这种运算可以建立在由任何符号（不一定是数字）构成的集合上，并根据一定的公设来进行。后者则利用代数语言使逻辑推理更加简洁清晰，从而建立逻辑代数。他们的工作预示了抽象代数学的产生。在布尔的工作的影响下，英国数学家凯莱和西尔韦斯特共同创立了代数型理论，奠定了关于代数不变量理论的基础。这项工作也是引向抽象代数学建立的动力。

另一项引起代数学变革的工作来自英国数学家哈密顿和德国数学家格拉斯曼。前者在1843年构造出第一个不满足乘法交换律的数学对象——四元数。四元数的发现是继伽罗瓦提出群的概念后，19世纪代数学最重大的事件，它是推广平面复数系统结构的产物（见《四元数讲义》）。1844年，也就是哈密顿宣布发现四元数的第二年，格拉斯曼独立地得到更一般地具有n个分量的超复数理论。格拉斯曼的《线性扩张论》中涉及的是n维向量空间。他所说的“扩张的量”就是一种有n个分量的超复数。由于他的叙述抽象难懂并且语言晦涩，所以当时这本书影响不大。直到1862年，他的理论的独创性才逐渐为人所知。

1801年，高斯发表了《算术研究》，其中关于复整数理论的研究不仅开辟了数论研究的新方向，也是代数数论研究的开端。由于对费马大定理的研究，德国数学家库默尔引进了“理想数”概念（1845－1847），在此基础上，戴德金发展了理想理论。这项工作不仅对代数数论的发展有着重要影响，而且开辟了抽象代数发展的道路。

自19世纪初以来，引起代数学的变革并最终导致抽象代数学产生的工作还可以列举一些，这些工作大致可分属于群论、代数数论和线性代数这三个主要方面。到19世纪末，数学家们从许多分散出现的具体研究对象抽象出它们的共同特征来进行公理化研究，完成了来自上述三个方面工作的综合，代数学终于从方程理论转向代数运算的研究。近代德国学派对这一步综合的工作起了主要作用。自19世纪末戴德金和希尔伯特的工作开始，在韦伯的2卷集《代数教程》（1895－1896）的影响下，施泰尼茨于1911年发表了重要论文《域的代数理论》，对抽象代数学的建立贡献很大。20世纪20年代以来，以A.E.诺特和E.阿廷以及他们的同事、学生们为中心，抽象代数学得到空前的发展。通常将A.E.诺特1921年发表的《环中的理想论》看作是现代抽象代数学的开端。在这篇论文中，A.E.诺特用公理化方法发展了一般理想论，奠定了抽象交换环理论的基础。她还以全新的、统一的纯粹概念，利用前人几十年积累起来的成果，逐步地建立了非交换代数及其表示理论。而她于1932年与布饶尔、哈塞合作证明的所谓“代数主定理”，被称为代数学发展史上的一个重大转折。荷兰数学家范德瓦尔登根据A.E.诺特和E.阿廷的讲稿写成《近世代数学》（1930－1931），用透彻的公理化形式综合了当时抽象代数学各方面的工作，对于抽象代数学的传播和发展起了巨大的推动作用。

抽象代数学是以研究数字、文字和更一般元素的代数运算的规律和由这些运算适合的公理而定义的各种代数结构的性质为其中心问题的。因此，抽象代数的研究具有极大的一般性并能演绎出无比丰富的内容。代数结构的研究对现代数学的发展影响深远。法国布尔巴基学派正是受抽象代数思想的启示提出了一般的数学结构观点。这种观点使公理化方法更上一层楼，它导致了对数学中更一般的抽象结构的研究。例如，在1933－1938年，经过G.D.伯克霍夫、冯·诺伊曼、坎托罗维奇和斯通等人的工作，格论确定了在代数学中的地位。而自20世纪40年代中期起，作为线性代数的推广的模论得到进一步的发展并产生深刻的影响。泛代数、同调代数，特别是1945年麦克莱恩和艾伦伯格提出的具有高度抽象的数学系统——范畴等抽象代数学的新分支陆续建立和发展起来。

在中国，抽象代数学的研究始于20世纪30年代。中国数学家已在许多方面取得了有意义的和重要的成果。曾炯之于1929年春天作为留学生来的哥丁根，成为A.E.诺特学派的成员之一。他在A.E.诺特的指导下以论文《函数域上的代数》获得哲学博士学位，文中包含了当时抽象代数前沿领域的重要结果——著名的哈塞－布饶尔－诺特定理的推广，后以“曾定理”著称。后又于1936年发表论文《拟代数封闭域的层次论》，提出了著名的“曾层次”，后被S.朗（A.Lang）重新获得，其工作影响深远。此外，华罗庚、周炜良和张禾瑞等不仅是把抽象代数学引入中国的播种人，而且他们本人的研究成果也很突出。

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