形式主义与多宇宙观（三）

三、集合论多宇宙观与形式主义

笔者曾在《集合论多宇宙观述评》中论证集合论多宇宙观要么就是一种形式主义，要么与集合论单一宇宙观相容[2]。

近年来，围绕集合论多宇宙观的研究出现了更多的结果。

这让我们有理由再次审视集合论多宇宙观是如何推动有关数学实践的。

本节中，笔者尝试通过展示这些基于集合论多宇宙观的新进成果以显示形式主义的思想何以在其中缺位，相反它们的灵感仍然主要来自多宇宙观与柏拉图主义单一宇宙观的对话。

近年来，与集合论多宇宙观密切相关的成果中最引人注目的是薄葉季路在2017年证明的下述定理。

定理

（1）假设 V 满足 ZFC，那么 V 的地基是强向下直的（strongly downward directed）。

即对任意索引集 I 和V的地基“集”{Ni}i∈I，存在V的地基N⊂i∈INi。

（2）假设集合论宇宙 V 中存在超巨基数（hyper-huge cardinal），那么 V 的地幔（mantle）就是 V 的地基（ground）[14]。

其中，我们称 V的一个内模型 M 是 V的地基，当且仅当 V是 M 的一个集合力迫扩张，也即存在一个偏序 P∈M 以及一个(M, P)-泛型滤 G 使得，V=M[G]。

Richard Laver 和 Woodin-Joel D. Hamkins 独立证明了 V的地基可以被统一地在 V中参数定义。

V的地幔被定义为 V的所有地基的交。

由于地基们可以被统一的参数定义，地幔也是 V的一个可定义的子类。

但地幔是一个 ZFC内模型或进一步是 V的地基并不是一个平凡的事实。

集合论地质学（set-theoretic geology）由 Gunter Fuchs、Hamkins 和 Jonas Reitz 提出[15]，目的是研究V的地基组成的结构，它可以被看作包含V的整个泛型复宇宙（generic multiverse）①的一段向下的锥形（downward cone）子结构，因而也是多宇宙观框架下研究的一部分。

其中的一个重要的问题是V的地基们是否是向下直的（downward direct，即V的任何两个地基的交包含一个V的地基）或强向下直的。

地基是向下直的对整个泛型复宇宙是很重要的性质。

如果 V的地基是向下直的，那么 V地幔就是一个力迫不变的概念，即，V的任意集合力迫扩张V[G]的地基仍然是V的地基。

例如，可构成集类L和Woodin设想的终极L都是力迫不变的。

并且V的地幔也是V的内模型（V中可定义，V中传递，与V等高的ZFC模型）。

事实上，V的地幔是V的最大的力迫不变的内模型。

此外，V的地幔是V所在泛型复宇宙中任何一个宇宙的地幔，也是包含V的整个泛型复宇宙的交。

由向下直性可以证明，泛型复宇宙中的任何两个宇宙N0，N1之间可以通过先取一次地基再做一次力迫扩张从而两步连接起来。

注意，我们仍然需要足够强的大基数假设，也即在上述薄葉季路的第二个定理下，才能得到 V的地幔也是V的一个地基，从而属于包含V的泛型复宇宙。

薄葉季路的第二个结论来自假设V中存在足够强的大基数 κ，那么 V的任何地基都是通过一个＜κ的力迫得到 V的。

因此，V的地幔可以通过一步集合力迫得到 V。

他将这里的大基数假设进一步削弱为存在一个可扩张基数（extendible cardinal）[16]。

每个超巨基数是可扩张基数的极限，它本身也是可扩张基数。

在整个大基数强度层谱中，可扩张基数相比超紧基数并没有强很多。

Woodin的终极L计划来自他的下述发现：对V中的存在的任何已知的大基数κ（可能远强于超紧基数），如果N是V的一个超紧基数的弱张子模型（weak extender model），那么κ大基数性质相对于 N是绝对的。

因此，如果我们能找到一个包含超紧基数的具有精细结构的类似 L的弱张子模型（终极L），那么它也兼容任何V中存在的大基数。

由此，假设V=终极L在大基数层谱上不会损失任何解释力强度。

注意，薄葉季路的结果表明，如果存在可扩张基数κ，那么κ以上的大基数在整个泛型复宇宙中（相对地幔）是绝对的（无法通过Lévy力迫坍塌κ及以上的基数）。

地幔的这个性质与上述终极L的性质相呼应。

加之，地幔本身是最大的力迫不变的（作为一种类似L的性质，Woodin要求终极L也是力迫不变的）内模型，无怪乎 Woodin 为这一结果欢呼并声称：“任何 V=终极 L 的公理候选都蕴含 V 就是泛型复宇宙的那个极小元②。”[17]需要注意的是，根据 Fuchs 等人的证明[15]，任何一个 ZFC 模型可以是某个 ZFC 模型的地幔。

所以假设 V=V 的地幔并不能直接带来多少有价值的推论，这与 V=终极 L 仍然相去甚远。

另一个值得注意的有关多宇宙观的进展来自Hamkins等人关于集合论潜在主义系统的模态逻辑刻画。

Hamkins 和 Benedikt Löwe 曾证明了 ZFC 可证的力迫扩张关系的模态逻辑理论恰好是 S4.2[18]。

然而，Hamkins主张的多宇宙观远不止由力迫法生成的泛型复宇宙。

Hamkins和 Woodin定义了一个普遍有穷集（universal finite set）{x: φ(x)}。

φ是一个集合论Σ2公式，ZFC可证它定义的集合是有穷的[19]。

而如果它在某个可数ZFC模型M中定义了一个有穷集合y∈M，那么对任何有穷z∈M都存在M的一个顶扩张N 使得

{x∈N│φᴺ(x)}＝z。

这里，我们称 N 是 M 的一个顶扩张（top-extension），当且仅当 M 是 N 的子模型，并且每个 N∖M 中的元素在 N中冯诺依曼层谱上的秩（rank）都在 M 中的每个序数之上。

利用普遍有穷集在诸顶扩张中可以被任意扩张，可以构造一系列“铁路开关”（railway switches）。

即一系列集合论语句 σ，使得◇□σ和◇□¬σ都成立，同时□σ和□¬σ都尚未成立。

这里◇σ在某个集合论模型上成立，当且仅当存在它的一个满足σ的顶扩张。

这些“铁路开关”的存在导致.

2公式◇□σ→□◇σ无法成立。

由此可以证明由可数集合论模型在顶扩张关系下生成的潜在系统（potentialism system，也是整个集合论复宇宙的一个子结构）的模态理论恰好是S4，也即任何一个潜在系统模态理论的下界。

薄葉季路的结果同时被作为单一宇宙观代表的 Woodin 以及作为多宇宙观代表的 Hamkins 喝彩。

前者将其看作是一个非常强烈的信号，指示存在着典范的集合论宇宙，它同时具有力迫不变性和保持对大基数的解释力这两条良好的性质。

后者将其视作对集合论复宇宙研究的一个典范成果，它大幅推进了我们对ZFC泛型复宇宙结构的理解，同时他又没有削减这个复宇宙的丰富性（任何ZFC模型都可以是地幔）。

Hamkins关于基于顶扩张的潜在系统模态性质的研究与他关于其他集合论复宇宙子结构的研究一样，意在展示复宇宙的丰富性与复杂性。

为了维持实在论的立场同时摆脱传统单一宇宙观的统领，集合论多宇宙观的拥护者总试图通过展示复宇宙的丰富性来揭示人们关于“集合”的概念是不清晰的，甚至并不存在“真正的集合概念”。

可见，有关集合论多宇宙观的研究仍然紧密围绕着这些经典的本体论问题。

在其中，来自形式主义的启发、助探和事后的解释是缺位的。

① 认为集合论（甚至一般数学工作）就是在ZFC这个公理系统中做证明，科恩（Paul Cohen）是其代表。基于这个立场，他认为他关于连续统假设独立性的证明已经终结了连续统假设问题，即它和它的否定都不可证。

② 一般定义泛型复宇宙为一个集合论宇宙组成的类，它可以由其中任何一个集合论宇宙通过在取力迫扩张和地基下封闭得到。

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