ABC猜想

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兩位數學家發現了他們所說的一個震驚數學界近六年的證明的核心漏洞。

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艾麗卡·克拉瑞奇 特約通訊員 2018 年 9 月 20 日

今天在網路上發布的一份報告中, 彼得舒爾茨 波恩和雅各布斯蒂克斯大學 法蘭克福歌德大學的教授描述了史蒂克斯所說的猛獁象內部的“嚴重的、無法修復的差距” 系列 的 文件作者： 望月新一京都大學數學家，以才華洋溢而聞名。望月新一的論文於 2012 年發佈在網路上，據說證明了abc猜想，這是數論中影響最深遠的問題之一。

儘管有多個 會議致力於解釋望月新一的證明，但數論學家們一直在努力理解其基本思想。他的系列論文總共超過 500 頁，寫作風格令人費解，並參考瞭望月新一之前的 500 頁左右的工作，創造了數學家 布萊恩·康拉德 (Brian Conrad)的作品。史丹佛大學的教授 稱“一種無限倒退的感覺。”

Ivan Fesenko寫道，12 到 18 名深入研究該證明的數學家相信該證明是正確的諾丁漢大學在一封電子郵件中表示。但康拉德 評論說，只有「望月軌道」中的數學家才能保證證明的正確性去年 12 月的部落格討論中。 “沒有人願意私下表示他們相信證據已經完成。”

儘管如此， 弗蘭克卡萊加里寫道芝加哥大學 12 月的 部落格文章，“數學家非常不願意聲稱望月新一的論點有問題，因為他們無法指出任何明確的錯誤。”

現在情況已經改變了。在他們的報告中，Scholze 和 Stix 認為，望月新一四篇論文中的第三篇論文中「推論 3.12」證明末尾附近的一系列推理存在根本缺陷。這個推論是望月新一提出的abc證明的核心。

「我認為abc猜想仍然開放，」舒爾茨說。 “任何人都有機會證明這一點。”

Scholze 和 Stix 的結論不僅基於他們自己對論文的研究，還基於他們對望月新一及其同事 星宇一郎進行的為期一周的訪問三月在京都大學討論證明。舒爾茨說，那次訪問極大地幫助了他將他和史蒂克斯的反對意見提煉到本質。他們在報告中寫道，兩人「得出的結論是沒有證據」。

但這次會議得出了一個奇怪的令人不滿意的結論：望月新一無法讓舒爾茨和史蒂克斯相信他的論點是正確的，但他們也無法讓他相信這是不合理的。望月新一現已在他的網站上發布了 Scholze 和 Stix 的報告，以及 他自己的幾份反駁報告（開啟一個新分頁）。 （望月和星沒有回應本文的評論請求。）

在反駁中，望月新一將舒爾茨和史蒂克斯的批評歸因於對他的工作的「某些根本誤解」。他寫道，他們的「消極立場」​​並不意味著他的理論有任何缺陷。

正如望月新一的高聲譽讓數學家們將他的工作視為對abc猜想的認真嘗試一樣，舒爾茨和斯蒂克斯的地位也保證了數學家們會關注他們所說的內容。儘管年僅 30 歲，Scholze 已迅速躋身其領域的頂峰。八月，他被授予數學最高榮譽 菲爾茲獎。同時，史蒂克斯是望月新一特定研究領域的專家，該領域稱為阿貝爾幾何。

「彼得和雅各是非常細心和深思熟慮的數學家，」康拉德說。 “他們的任何擔憂……絕對值得消除。”

癥結所在

康拉德 稱之為abc猜想 （開啟一個新分頁）「數論中最傑出的猜想之一」從可以想像到的最簡單的方程式之一開始：a + b = c。三個數字a、b和c應該是正整數，並且它們不允許共享任何公共質因數 - 因此，例如，我們可以考慮等式 8 + 9 = 17，或 5 + 16 = 21，但6 + 9 = 15不行，因為6、9 和15 都能被3 整除。

給定這樣一個方程，我們可以查看除三個數字中任意一個的所有素數 - 例如，對於方程 5 + 16 = 21，我們的素數是 5、2、3 和 7。原方程式中的任何數字都大得多的數字。相較之下，對於質數為 5、3 和 2 的方程式 5 + 27 = 32，素數乘積為 30——比原方程式中的 32 小。這個乘積如此之小，是因為 27 和 32 只有很小的質因數（分別為 3 和 2），需要重複多次才能產生它們。

如果您開始嘗試其他abc三元組，您會發現第二種情況極為罕見。例如，在a和b介於 1 和 100 之間的 3,044 個不同的三元組中，只有 7 個三元組的素數乘積小於c。 abc猜想首次提出於 20 世紀 80 年代，它體現了這種三元組幾乎不會發生的直覺。

更具體地說，回到 5 + 27 = 32 的例子，32 比 30 大，但隻大了一點。它小於 30 2、或 30 1.5、甚至 30 1.02，約為 32.11。 abc猜想表示，如果您選擇任何大於 1 的指數，則只有有限多個abc三元組，其中c大於您選擇的指數的質因數的乘積。

「abc猜想是關於乘法和加法的一個非常基本的陳述，」 Minhyong Kim說牛津大學的。他說，在這種陳述中，“你感覺自己正在揭示某種你以前從未見過的關於數字系統的非常基本的結構。”

a + b = c方程式的簡單性意味著許多其他問題都受到該猜想的影響。例如，費馬大定理是關於x n + y n = z n形式的方程，而加泰隆尼亞猜想則表示 8 和 9 是唯一兩個連續的完美冪（因為 8 = 2 3和 9 = 3 2） ，是關於方程式x m + 1 = y n。abc猜想（以某些形式）將為這兩個定理提供新的證明，並解決許多相關的開放性問題。

多里安·戈德菲爾德（Dorian Goldfeld）認為，這個猜想“似乎總是位於已知與未知的邊界上” （開啟一個新分頁）哥倫比亞大學的教授 寫道（開啟一個新分頁）。

abc猜想的證明所產生的大量後果讓數論學家相信證明這個猜想可能非常困難。因此，當 2012 年望月新一提出證明的消息傳開時，許多數論學家熱情地投入他的工作——結果卻因不熟悉的語言和不尋常的表述而受阻。定義足足有好幾頁，後面是定理，定理的陳述同樣很長，但其證明本質上只是說，「這直接從定義中得出」。

卡萊加里寫道：「每次我聽到專家（私下）對望月新一的論文進行分析時，這份報告都令人不安地熟悉：一大片瑣碎的瑣事，隨之而來的是不合理結論的巨大懸崖。 （開啟一個新分頁）在他十二月的博客文章中。

舒爾茨是該報的早期讀者之一。他以快速而深入地吸收數學的能力而聞名，比許多數論學家走得更遠，在四篇主要論文發表後不久就完成了他所謂的「粗讀」。舒爾茨對冗長的定理及其簡短的證明感到困惑，他認為這些定理有效但缺乏實質內容。在中間的兩篇論文中，他 後來寫道（開啟一個新分頁），“似乎很少發生。”

然後 Scholze 在第三篇論文中提出了推論 3.12。數學家通常使用「推論」一詞來表示一個定理，該定理是先前更重要的定理的次要結果。但就望月推論 3.12 而言，數學家們一致認為它是abc證明的核心。卡萊加里 寫道，如果沒有它，“根本就沒有證據” （開啟一個新分頁）。 “這是關鍵的一步。”

我認為abc猜想仍然是開放的。任何人都有機會證明這一點。

彼得舒爾茨這個推論是中間兩篇論文中唯一證明長度超過幾行的定理──足有九頁紙。當舒茲通讀它們時，他已經完全無法理解其中的邏輯了。

當時年僅 24 歲的 Scholze 認為這個證明是有缺陷的。但他基本上不參與有關論文的討論，除非被直接詢問他的想法。畢竟，他認為，也許其他數學家會在這篇論文中發現他錯過的重要想法。又或許，他們最終會得出和他一樣的結論。他認為，無論如何，數學界肯定能夠解決問題。

埃舍爾的樓梯

同時，其他數學家正努力應對寫得密密麻麻的論文。許多人對2015 年底在牛津大學召開的 專門討論望月新一工作的會議寄予厚望。但康拉德在一份 報告中寫道，當望月新一的幾位親密同事試圖描述證明的關鍵思想時，「一團迷霧」似乎籠罩著聽眾。 （開啟一個新分頁）會議結束後不久。 「那些理解這項工作的人需要更成功地與算術幾何學家溝通它的運作原理，」他寫道。

在康拉德發文後的幾天內，他收到了三位不同數學家（其中一位是舒爾茨）主動發來的電子郵件，所有這些都講述了同一個故事：他們能夠閱讀和理解論文，直到觸及特定部分。 「對這些人中的每一個人來說，困擾他們的證明都是 3.12，」康拉德 後來寫道（開啟一個新分頁）。

Kim 從另一位數學家 Teruhisa Koshikawa 那裡聽到了對推論 3.12 的類似擔憂（開啟一個新分頁），目前就讀於京都大學。斯蒂克斯也同樣陷入了困惑。漸漸地，各種數論學家意識到這個推論是一個癥結所在，但尚不清楚這個論證是否有漏洞，或者望月新一隻是需要更好地解釋他的推理。

然後，在 2017 年底，謠言四起，稱望月新一的論文已被接受發表，令許多數論學家感到震驚。望月新一人是涉案期刊 《數學科學研究所刊物》的主編 （開啟一個新分頁） ，卡萊加里稱之為「糟糕的光學效果」的安排 （開啟一個新分頁）」（儘管編輯們在這種情況下通常會迴避）。但對許多數論學家來說，更令人擔憂的是，這些論文對他們來說仍然很難閱讀。

「沒有一個聲稱理解這些論點的專家能夠成功地向任何（很多）仍然感到困惑的專家解釋它們，」 馬修·埃默頓

芝加哥大學的教授 寫道

卡萊加里寫了一篇 博文譴責這種情況是“一場徹底的災難”，著名數論學家齊聲讚歎。卡萊加里寫道：“我們現在確實遇到了一種荒謬的情況，ABC 在京都是一個定理，但在其他地方卻是一個猜想。”

PRIMS 很快就回應了媒體詢問，並發表聲明稱這些論文實際上並未被接受。然而，在此之前，舒爾茨決定公開陳述一段時間以來他私下對數論學家所說的話。他認為，圍繞證明的整個討論變得「過於社會學」。 “每個人都在談論這感覺就像這不是一個證明，但實際上沒有人說，’實際上在這一點上沒有人理解這個證明。’”

因此，Scholze 在 Calegari 部落格文章下面的評論部分寫道，他「完全無法遵循推論 3.12 證明中圖 3.8 之後的邏輯」。他補充說，數學家“確實聲稱理解了證明，但不願意承認還必須說更多。”

森重文（開啟一個新分頁）望月新一在京都大學的同事、菲爾茲獎得主寫信給舒爾茨，表示願意為他和望月新一的會面提供便利。 Scholze 又聯繫了 Stix，三月份，兩人前往京都與望月新一和 Hoshi 討論黏性證明。

望月新一對abc猜想的方法將問題轉化為關於 橢圓曲線的問題，橢圓曲線是一種特殊類型的有兩個變數x和y的三次方程式。這種翻譯在望月新一的工作之前就廣為人知，它很簡單——將每個abc方程式與橢圓曲線相關聯，該曲線的圖形在a、b和原點處與x軸相交——但它允許數學家利用橢圓曲線的豐富結構，它將數論與幾何、微積分和其他學科連結起來。 （同樣的翻譯是 Andrew Wiles 1994 年證明的核心 （開啟一個新分頁）費馬大定理。

沒有一個聲稱理解這些論點的專家成功地向任何（很多）仍然感到困惑的專家解釋這些論點。

馬修埃默頓然後， abc猜想可以歸結為證明與橢圓曲線相關的兩個量之間存在一定的不等式。望月新一的工作將這種不平等轉化為另一種形式，史蒂克斯說，這可以被認為是比較兩組的體積。推論 3.12 是望月新一提出這個新不等式的證明的地方，如果這個證明成立，將證明abc猜想。

正如 Scholze 和 Stix 所描述的，證明涉及將兩個集合的體積視為存在於實數的兩個不同副本中，然後將其表示為由六個不同實數副本組成的圓的一部分以及映射這解釋了每個副本如何與其沿圓的鄰居相關。 Stix 說，為了追蹤各組體積之間的關係，有必要了解一個副本中的體積測量值與其他副本中的測量值之間的關係。

斯蒂克斯說：“如果兩件事存在不等式，但量尺因你無法控制的因素而縮小，那麼你就無法控制不等式的實際含義。”

舒爾茨和史蒂克斯認為，正是在爭論的這個關鍵點上，事情出了問題。在望月新一的繪圖中，量尺在局部上是相互相容的。但史蒂克斯說，當你繞一圈時，你最終會得到一根量尺，它看起來與你繞另一條路時不同。他說，這種情況類似於埃舍爾著名的螺旋樓梯，它不斷攀爬，最後卻不知何故到達了起點以下。

Scholze 和 Stix 斷言，體積測量中的這種不相容性意味著由此產生的不平等是錯誤的量。他們說，如果你調整一些東西，使體積測量在全球範圍內兼容，那麼不平等就變得毫無意義。

基蘭·凱拉迪亞 (Kiran Kedlaya)表示，舒爾茨和斯蒂克斯“找到了一種方法，該論證不可能成立” （開啟一個新分頁）加州大學聖地牙哥分校的數學家，曾深入研究望月新一的論文。 「因此，如果這個論點要正確，它就必須做一些不同的事情，並且做一些比 Scholze 和 Stix 所描述的更微妙的事情」。

望月新一認為，證明的作用正是更微妙的東西。他寫道，舒爾茨和史蒂克斯錯誤地對本應被視為不同的數學對象進行武斷的識別。他寫道，當他向同事們講述舒爾茨和史蒂克斯反對的本質時，他的描述「引起了非常一致的反應，他們感到非常驚訝，甚至難以置信（有時還伴隨著陣陣笑聲！ ），竟然會發生如此明顯錯誤的誤解。

數學家現在必須吸收 Scholze 和 Stix 的論點以及望月新一的回應。但舒爾茨希望，與望月新一最初系列論文的情況相比，這不應該是一個漫長的過程，因為他和史蒂克斯的反對要點並不是高度技術性的。他說，其他數論學家「完全能夠理解我們本週與望月新一進行的討論」。

望月新一的看法截然不同。在他看來，舒爾茨和斯蒂克斯的批評源於“缺乏足夠的時間來深入思考正在討論的數學”，或許還伴隨著“對思考熟悉的數學對象的新方式感到深深的不適或陌生」。

Kim 說，已經對望月新一的abc證明表示懷疑的數學家很可能會認為 Scholze 和 Stix 的報告已經結束了。其他人會想親自研究這些新報告，金正恩本人已經開始了這項活動。 「我認為我無法完全避免在做出決定之前更仔細地檢查自己的需​​求，」他在一封電子郵件中寫道。

在過去的幾年裡，許多數論學家已經放棄了理解望月新一論文的努力。但如果望月新一或其追隨者能夠對為什麼Scholze 和Stix 的圖片過於簡單化（假設是這樣）提供徹底、連貫的解釋，「這可能會對緩解一些疲勞大有幫助，也許會讓人們更願意去看再次陷入這件事，」凱德拉亞說。

同時，Scholze 表示：“我認為，在望月新一做出一些非常實質性的修改並更好地解釋這一關鍵步驟之前，這不應被視為證明。”他個人表示，“我並沒有真正看到一個關鍵想法可以讓我們更接近abc猜想的證明。”

金說，無論這次討論的最終結果如何，望月新一論點的具體部分的明確應該會導致更加清晰。 「雅各和彼得所做的事情是對社區的重要服務，」他說。 “無論發生什麼，我非常有信心這些報告將取得一定的進展。”

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