数学

弱莱因哈特基数（Weak Reinhardt cardinal）：

弱莱因哈特基数是指存在非平凡初等嵌入j：Vₐ₊₁→Vₐ₊₁，a是任意序数

相比莱因哈特基数要求存在非平凡初等嵌入j：V→V（其中V是整个集合论的宇宙），弱莱因哈特基数所涉及的映射是作用于集合论宇宙V的一个片段j：Vₐ₊₁，所以其条件相对宽松一些

莱因哈特基数（Reinhardt cardinal）：

§₁：莱因哈特基数是一个非平凡初等嵌入j：V→V的临界点，V是整个集合论的宇宙，该映射保持集合论中的所有一阶逻辑公式的真值，并且存在一个最小的序数κ使得j（κ）＞κ，这个κ就是莱因哈特基数

§₂：反射论证j：V→M的强度会随着M的扩张而不断增强，所以在M为V时（即j：V→V）推出存在一个最小的序数κ使得j（κ）＞κ，会产生这种情况下最强大的基数，即莱因哈特基数

强莱因哈特基数（Strong Reinhardt cardinal）：

如果一个基数κ满足以下条件，就被称为强莱因哈特基数：κ是一个非平凡初等嵌入j：V→V的临界点，V是整个集合论的宇宙；并且对于我们期望的任意大的序数λ，都有j（κ）＞λ，也就是说，这个嵌入所映射的κ的像可以任意大

超级莱因哈特基数（Super Reinhardt cardinal）：

§₁：对于一个基数κ，如果它是初等嵌入j：V→V的临界点，并且对于任意的序数a，都存在一个非平凡的初等嵌入j使得 crit（j）＝κ，j（κ）＞a且j⁺（a）＝a（其中j⁺（a）＝∪＿a∈Ord，j（a∩Vₐ）），那么κ就是一个超级莱因哈特基数

§₂：如果一个基数κ使得对于任意的基数函数F，都存在一个非平凡初等嵌入j：V→M，其中M是一个内模型M，并且 大于j（κ）＞F（κ）或crit（j）＝κ时，那么κ可以被认为是超级莱因哈特基数

§₃：基数κ被称为超级莱因哈特基数，如果对于任意序数α，都存在一个非主超滤U在Pκ(α)上，使得j_U(κ)＞α，其中j_U是U产生的初等嵌入

§₄：a为序数，如果存在一个非平凡初等嵌入序列jₐ：V→M，使得对于每个α，crit（jₐ）＝κ（κ是该序列的共同临界点），并且jₐ（κ）＝κ，同时序列具有一些特殊的性质，如单调性等，那么基数κ被称为超级莱茵哈特基数‬

库恩（Kunen）在1971 年证明了在选择公理成立的情况下，上述的莱因哈特基数基数是不存在的，换言之就是不兼容

这些定义明确地引用了适当的类j，在标准ZF中，类的形式为{x|Φ(x,a)}对于某些集合a和公式Φ

在Suzuki中表明没有这样的类是基本嵌入j ：V→V还有其他已知不一致的莱因哈特基数公式

一是新增功能符号j用集合论的语言，连同公理说明j是的基本嵌入V，以及所有涉及的公式的分离和收集公理j；二是使用类理论，如NBG或KM，它们承认在上述意义上不需要定义的类，又或是有一个公理主张存在被称为莱因哈特基数的基数

莱茵哈特基数太大了，在处理如此巨大的基数时传统的逻辑和推理方法可能不再完全适用导致了不一致性（它下面一个命题可以又为真又为假，也就是可以同时举起自己举不起来的石头），因此又被称为1＝0

莱茵哈特基数的存在完全能让V≠终极L，但终极L否定了它

弱莱因哈特基数，莱因哈特基数，强莱因哈特基数，超级莱因哈特基数之间的关系主要也就强弱关系了

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