哲学（三）

值得注意的是，列出的属性正是数学重要分支的基本公理，称为点集拓扑[Abramsky 1987，Vickers 1986]。拓扑空间由称为开放式或邻里的集合的集合来定义，这些集合满足了可验证的假设的公理特性（在任意联合和有限分离的情况下闭合，空心集和整个空间都是打开的）。开放式集合的设置理论补充称为闭合集，因此可驳斥的假设与封闭的集合完全对应。发明了点集拓扑，以支持一种普遍的功能分析，而没有数字（更确切地说，没有距离）。令人惊讶的是，拓扑的基础公理在经验假设的特性方面具有确切的认识论解释，这些假设允许确定性验证或伪造。学习理论的当前数学发展通常始于将基本概念作为一种满足所列属性的可验证假设。这种方法有两个优点。

学习理论可以借鉴现代数学最发达的分支之一的丰富概念和结果[Kelly 1996； Baltag等。 2015年，De Brecht和Yamamoto 2008]。

将证据项目概念适应应用程序上下文的灵活性使得将一般理论应用于不同领域变得更加容易。例如，考虑获得一定数量兴趣的精确度量的问题（例如，物理学的光速）。我们可以将基本的可验证假设集为围绕数量真实值的开放间隔（工会）[Baltag等。 2015年，Monist，Genin和Kelly 2017]。另一个示例是下面第6节中涵盖的统计验证性概念。

为了具体，本条目描述了基本可验证的假设是有限循环序列的实例。我们将以一种仅假设列出的公理属性以使其易于应用于其他设置的方式来描述定义和结果。

3.3查询限制的可识别性

一个基本结果描述了方法可以可靠地找到正确的假设的条件

H

共同排斥的假设共同涵盖了与询问者的背景假设一致的所有可能性。学习者

H

h将有限的观察序列映射到假设

H

H.例如，在新的归纳之谜中，自然投影是假设集的学习者

H

H包括“所有祖母绿都是绿色”，

H

1

=

H1 =“所有祖母绿都是grue（1）”，

H

2

=

H2 =“所有祖母绿都是grue（2）等等。在所有关键时期

t

t。学习者可靠地识别或简单地识别了一个正确的假设

H

h如果对于每个完整的数据序列，则以下所有内容：如果

H

H来自

H

h是数据序列正确的假设，然后存在有限数量的观测值，以便学习者猜想正确的假设

H

H对于任何与数据序列一致的进一步观察结果。概括方法和自然投影规则是可靠学习者的假设集的示例。

定理。有一个学习者可靠地识别出正确的假设

H

h当且仅当每个假设

H

h是可反驳假设的有限或可计数分歧。

有关证明，请参见Kelly [1996，ch。 3.3]。

例子。插图，让我们回到带有两个替代假设的鸟类学示例：（1）几乎有限的许多天鹅都是白色的，（2）几乎有限的许多天鹅都是黑色的。如我们所见，从长远来看，这两个假设中的哪一个是正确的。因此，通过表征定理，两个假设中的每个假设都必须是可驳回的经验主张的脱节。要看到这确实是如此，请注意，“除了有限的天鹅都是白色的，所有的天鹅在逻辑上等同于脱节

最多只有1天的天鹅是黑色的，或者最多有2天的天鹅是黑色的……或最多

n

n天鹅是黑色的……或……

同样，“几乎有限的许多天鹅都是黑色的”。析出中的每一个索赔都是可以反驳的。例如，以“最多3天鹅为黑色”的说法。如果这是错误的，将发现3个以上的黑天鹅，此时，该主张是最终伪造的。下图说明了如何将可识别的假设构成为可采用假设的析取。



图5 [图5的扩展描述是在补充中。]

特征定理意味着我们可以将一种可靠的方法视为采用了可反驳的原始假设的内部加强版本。如上示例所示，该定理并不意味着增强的假设是相互排斥的（例如，“最多3天鹅是黑色的”与“最多只有2只天鹅为黑色”。）。最近由于Baltag，Gierasimczuk和Smets [2015]引起的替代表征定理提供了一种替代性结构分析，其中可识别的假设分解为相互排斥的组件，如下所示。

一个假设

H

如果h相当于可验证和可反驳的假设（给定背景知识）的结合：h是可验证的：

H

=

（

V

h =（v和

右

）

r）在哪里

V

V是可验证的，R可排除。例如，“恰好2天的天鹅是黑色”的假设是可以验证的，因为它等同于可验证的假设“至少2只天鹅”的结合，并且“最多2个天鹅”是白色的。 “ VerireFutable”一词是由于[Genin and Kelly 2015]造成的；它表明，当一个可验证的假设为真时，有一些初始条件，此后可以反驳该假设，也就是说，如果该假设是错误的，则该假设将被数据伪造。 Baltag等。请参阅可局部关闭的可VerireFutable假设。他们为可靠学习建立以下特征定理[Baltag等。 2015]。

定理。有一个学习者可靠地识别出正确的假设

H

h当且仅当每个假设

H

h等于相互排斥的可互联假设的有限或可计数分解。

由于可VerireFut的假设是相互排斥的，因此它们构成了有效的精制假设空间，其成员正是原始假设之一。表征定理需要在不丧失学习能力的情况下，归纳方法可以将原始假设空间转变为可验证的假设空间。下图说明了分解为可验证的假设。



图6 [图6的扩展描述是在补充中。]

几点将有助于解释表征定理的重要性。

可靠方法的结构。表征定理告诉我们，可靠方法的结构是如何使所研究假设的结构调整的。例如，提到的定理在可测证性和可检验性之间建立了联系，但是比幼稚的波普尔式设想更受衰减：不必直接检验的假设是可直接伪造的；相反，必须有一些方法来加强每个假设，以产生可数量的可排除的“亚类型”。我们可以将这些可驳回的亚类型视为主要假设可能是正确的方式。 （例如，“除了有限的许多天鹅都是白色”的一种方式是，如果有10个黑天鹅；另一种是如果最多有100只黑天鹅等）。加强原始假设，使其在经验上可以抗拒与Lakatos方法论的精神相匹配，在该方法中，一般的科学范式用辅助假设表达了一般的科学范式，以定义可检验的可检验（即可伪造）主张。

进口背景假设。表征结果在可解决的问题和无法解决的问题之间提出了一条界限。背景知识降低了问题的感应复杂性；有了足够的背景知识，问题就跨越了无法解决的和可解决方案之间的阈值。在许多经验询问的领域中，关键背景假设是那些使可靠的查询可行的假设。 （Kuhn [1970]提出了有关“范式”中背景假设的重要性的相关观点。

语言不变性。学习理论特征定理涉及凯利所说的各种观察序列的“时间纠缠” [Kelly 2000]。最终，他们取决于给定证据，背景假设和经验主张之间的关系。由于逻辑上的需要不取决于我们用来构架证据和假设的语言，因此由特征定理确定的经验问题的归纳复杂性是语言不变的。

4。短期长期：可靠和稳定的信念

长期以来对与真理的融合的批评是询问的目的是，虽然很好，但这种目标与短期中的任何疯狂行为一致[Salmon 1991]。例如，我们在新的归纳之谜中看到，可靠的投影规则可以猜想，无论发现多少绿色祖母绿，下一个祖母绿都会是蓝色的，只要最终“所有祖母绿都是绿色”的规则项目。一种反应是，如果均值末端分析考虑了除了长期融合之外的其他认知目的，那么它可以为短期内的猜想提供强有力的指导。

为了说明这一点，让我们返回到Goodmanian的归纳之谜。自柏拉图以来，哲学家就考虑了这样一个观念，即稳定的真实信念比不稳定的真正信仰更好，而诸如Sklar [1975]之类的认识论学家提倡类似的“认识论保守主义”原则。库恩告诉我们，范式辩论中保守主义的主要原因是改变科学信念的成本[Kuhn 1970]。本着这种精神，学习理论家已经检查了方法，以最大程度地减少他们在最终猜想下定居之前改变理论的次数[Putnam 1965，Kelly 1996，Jain 1999]。据说这种方法可以最大程度地减少思维变化。

4.1示例：新的归纳之谜

事实证明，新的诱因是一个很好的例证。考虑自然投影规则（猜想所有祖母绿均为绿色祖母绿样品）。如果所有祖母绿都是绿色的，则该规则永远不会改变其猜想。如果所有祖母绿都很酸

（

t

）

（t）在一些关键时间

t

T，然后自然投影规则放弃了其猜想的“所有祖母绿都是绿色的”

t

t - 一种思维变化 - 此后正确地投影了“所有祖母绿都很痛苦

（

t

）

（t）”。值得注意的是，规则要投影而不是绿色的规则也不做。例如，考虑一条猜想，即观察到一个绿色祖母绿后所有祖母绿都被刺耳（3）。如果观察到另外两个绿色的祖母绿，则该规则的猜想是伪造的，最终必须改变主意，例如猜想所有祖母绿都是绿色的（假设继续找到绿色祖母绿）。但是那时，可能会出现蓝色的祖母绿，迫使第二种想法改变。可以推广该论点，以表明最大程度地减少思维变化的目的只允许在所有绿色祖母绿的样本上投射绿色谓词[Schulte 1999]。我们在第1.2节中看到了自然投影规则如何最多一次改变思想。下图说明了在典型的情况下，不自然的投影规则可能必须两次或更多。



图7 [图7的扩展描述是在补充中。]

4.2更多示例

同样的推理也适用于所有乌鸦是否都是黑色的问题。猜想所有乌鸦在观察到只有黑色乌鸦的样本后，所有乌鸦都是黑人的大胆概括，最多可以改变思维：如果确实所有的乌鸦都是黑色的，那么概括的化合物就永远不会改变其主意。而且，如果有一个非黑人乌鸦，驳斥场合有一个想法改变，但之后问题就解决了。

将其与相反的方法形成鲜明对比，该方法断言在观察到所有黑色样本后存在非黑乌鸦。如果仅继续观察黑色乌鸦，相反的方法必须最终改变主意，并断言“所有乌鸦都是黑人”，否则它无法实现正确的概括。但是在那时，可能会出现一个非黑乌鸦，迫使第二种想法改变。因此，稳定信念的目的对方法在短期内构想的强烈限制对此问题进行了限制：仅观察黑色乌鸦，选项是“所有乌鸦都是黑色的”或“没有意见”，但没有一个非黑乌鸦”。

在《保护法》问题中，第2.1节中描述的限制性方法是唯一使思想变化最小化的方法。回想一下，限制性方法采用了一套保护法，这些法律排除了尽可能多的未观察到的反应。可以证明，如果有

n

n观察到反应的已知基本颗粒，此方法最多需要

n

n的想法改变。 （标准模型中的基本粒子数量在

n

=

200

）

。

n = 200）。

对于学习因果图，第2.2节中描述的方法的以下变体最大程度地减少了思维变化的数量。

假设我们已经观察到一组感兴趣的变量之间的一组相关性或关联。

如果有独特的因果图可以解释与最小数量直接因果链接的观察到的相关性，请选择此图。

如果有多个因果图解释了观察到的与最小数量的直接因果链接的相关性，请输出“尚无意见”（或猜想最小边缘图的分离）。

这个示例说明，有时将思想变化最小化需要预扣信念。直观地，当数据对数​​据有两个或更多简单的解释时，就会发生这种情况，询问者必须等到进一步的观察到这些可能性之间的决定。跳到一个简单的结论之一可能会导致不必要的思想变化，以防另一种同样简单的解释是正确的。在这种情况下，一方面，实现稳定信念的目标是在实现稳定信念的目标之间进行了权衡，并迅速对另一方面的信念定居[Schulte 1999]。我们讨论了下一节关于简单性的简单和稳定信念之间的联系。

4.3回归思想变化

Genin和Kelly [2015]通过区分不同种类的思维变化来完善思维变化方法。

放弃一个真正的假设，支持一个假假设。这是不良的回归思维变化。

放弃一个虚假的假设，支持一个真实的假设。这是一个理想的进步思维变化。

放弃一个虚假的假设，支持另一个假假设。

下表说明了新的归纳之谜和乌鸦示例中的这些区别。 Genin和Kelly研究了归纳方法应最大程度地减少回归思维变化的数量的原则，即，新证据的次数导致方法放弃了一个真正的假设，而不是假设假设。回归思想变化的观念是认知失败的标志，这与认识论中的悠久传统相匹配。知识的贬低性理论（请参阅下面的其他互联网资源部分中的链接）认为，为了使代理人的真实信念算作知识，这是不可原谅的，因为接受进一步的命题不应导致代理人使她的信念abanon abanon 。翻译成思想语言的变化，这意味着，只有在没有进一步的证据会导致她改变思想并采用替代性的错误猜想的情况下，询问者的真实猜想才能将其视为知识。柏拉图的梅诺生动地传达了这一点。

现在，这是一个真实观点的本质的例证：虽然他们遵守我们，但它们是美丽而富有成果的，但是他们逃脱了人类的灵魂，并且不会长时间，因此它们的价值不多……。但是，当它们被束缚时，首先，它们具有知识的本质。而且，第二，他们在持久。

真正的假设“所有祖母绿都是绿色的”，“有一个非黑乌鸦”

猜想0“所有祖母绿都是grue（1）”“有一个非黑乌鸦”

观察1绿色翡翠黑乌鸦

猜想1“所有祖母绿都是grue（2）”伪造false“所有乌鸦都是黑色”

观察2绿色翡翠白乌鸦

猜想2“所有祖母绿都是绿色”的假至真实“有一个非黑乌鸦”假到真实

说明回归和进步的思想变化

虽然将回归思维变化最小化是一个比避免思维变化更重要的认识论目标，但它会导致归纳学习的狭窄较弱。同时，任何遵循的限制都具有更大的规范性力量。上表说明了新的归纳之谜和乌鸦问题的两个原理之间的差异。在新的归纳之谜中，如果仅观察到绿色祖母绿，投影规则可能会继续投射任何数量可怕的谓词而不会产生回归性的思维变化：它只是放弃了一个错误的可怕谓词，为另一个错误的可怕谓词。因此，即使是不自然的投影规则也会发生0回归思维变化，只要它们从未放弃一旦采用的“全绿色假设”。

对于所有乌鸦是否都是黑色的问题，最大程度地减少回归思维变化的后果是不同的。再次考虑一种相反的方法，即观察到黑人样本后，有一个非黑乌鸦。如表中所示，并在上面讨论过，相反的方法最终必须改变其假设，因为看到更多的黑色乌鸦猜想所有乌鸦都是黑色的，然后在观察白乌鸦后，回到了真正的初始假设，认为有一个非黑乌鸦。因此，在最坏情况下，相反的方法至少发生了一种回归思维的改变。另一方面，断言所有乌鸦在观察黑人样本后才宣称所有乌鸦的概括方法只有在观察到非黑乌鸦时才会改变其猜想---渐进的思想从虚假假设变为真实假设。因此，避免回归思维的原则改变了相反的方法的概括方法。

如该示例所示，回归思维变化与猜想的循环有关。这是因为一个可靠的方法在采用假方法后必须最终返回一个真实的假设，因此回归思维变化至少会导致一个循环真正的猜想 - 构想猜想 - 真实性猜想。因此，在无周期学习的标题[Genin and Kelly 2015]的标题下研究了避免回归思维变化的方法或最小化掉头[Carlucci等。 2005]。 Genin和Kelly [2015，2019]提供了一个总体结果，该结果阐明了避免回归思维变化和猜测周期的一般方法学进口（第5.4节中进行了描述）。它们的结果属于一个定理家庭，在避免思维变化和Ockham的剃须刀之间建立了惊人的联系，我们在下一节中进行了讨论。

5. 简单、稳定的信念和奥卡姆剃刀

关于归纳推理和科学方法的一个强烈直觉是，我们应该更喜欢简单的假设而不是复杂的假设；请参阅有关简单性的条目。统计学家、计算机科学家和其他关注从观察中学习的研究人员广泛使用了对简单性的偏好来解决实际的归纳问题 [Domingos 1999]。从基础的角度来看，简单性是有问题的，至少有两个原因。

论证问题：为什么要采用简单的假设？一个明显的答案是世界是简单的，因此复杂的理论是错误的。然而，世界是简单的先验主张是极具争议的——请参阅关于简单性的条目。从学习理论的角度来看，驳回复杂的假设会损害归纳方法的可靠性。在凯利的比喻中，固定偏差就像一块停了的手表：当手表指向正确的时间时，我们可能会碰巧使用它，但手表并不是一个可靠的计时工具[Kelly 2007a，2010]。

描述问题：认识论者担心简单性并不是假设的客观特征，而是“取决于呈现方式”，正如诺齐克所说。古德曼之谜就说明了这一点。如果用蓝绿色术语进行概括，“所有祖母绿都是绿色”似乎比“所有祖母绿首先是绿色，然后是蓝色”更简单。但在 grue-bleen 语言中，“所有祖母绿都是 grue”似乎比“所有祖母绿首先都是 grue，然后是 bleen”更简单。

学习理论家最近一直致力于应用手段-目的认识论来发展一种简单性与归纳法之间联系的理论，以解决这些问题[Kelly 2010，Harman and Kulkarni 2007，Luo and Schulte 2006，Steel 2009]。事实证明，一个富有成效的视角是检验假设空间的结构与相应归纳问题的思维变化复杂性之间的关系。基本思想是，虽然简单性并不与真理有先验的联系，但选择简单的假设可以帮助探究者更有效地发现真理，避免思想改变。凯利的道路比喻说明了这个想法。考虑两条到达目的地的路线，一条通过直路高速公路，另一条通过小路。两条路线最终都通向同一点，但后面的道路需要更多的曲折[Kelly 2007a，2010]。

这个想法的形式化采用奥卡姆定理的形式：该定理表明（在适当的限制下）归纳方法对于给定问题尽可能有效地找到真相，当且仅当该方法是奥卡姆方法时，即，它选择与数据一致的最简单的假设。奥卡姆定理为奥卡姆归纳剃刀作为实现认知目标的手段提供了理由。

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