一阶模型理论（二）

4. 三个有用的结构

施工是建造结构的过程。我们已经在上面的定理中看到了几种构造：例如省略类型构造和初始模型构造。这里还有另外三个。

4.1 产品和减量产品

如果 A 和 B 是 L 结构，我们可以如下形成它们的乘积 C = A × B。 C 的元素是有序对 (a,b)，其中 a 是 A 的元素，b 是 B 的元素。谓词符号被解释为“逐点”，即，例如

(a,b) 在 PC 中当且仅当 a 在 PA 中并且 b 在 PB 中。

结构A和B称为A×B的因子。同样，我们可以形成任意数量结构的乘积。如果乘积的所有因子都是相同的结构 A，则该乘积称为 A 的幂。费弗曼-沃特定理告诉我们如何从乘积因子的完整理论推导出乘积的完整理论。

这种结构有一些变体。我们可以在乘积C的域上定义一个等价关系，然后取一个结构D，其元素是等价类；谓词符号在 D 中被解释，以使从 dom(C) 到 dom(D) 的自然映射成为同态。在这种情况下，结构 D 称为 C 因子的约化积。如果所有因子都等于 A，则它是 A 的约化幂；否则，它是 A 的约化幂。在这种情况下，从 A 到 D 的对角映射是将每个元素 a 转换为该元素的等价类 (a,a,…) 得到的。

假设我们使用集合 I 来索引产品 C 中的因子。 I 上的超滤器是 I 的子集的集合 U，具有以下属性

如果集合 X 和 Y 在 U 中，那么它们的交集 X ∩ Y 也在 U 中；

如果 X 在 U 中且 X ⊆ Y ⊆ I 则 Y 在 U 中；

对于 I 的每个子集 X，X 及其补集 I \ X 中的一个正好在 U 中。

如果我们在 I 上有一个超滤器 U，那么我们可以通过使 C 的两个元素等价来构造 C 的约简乘积，当且仅当它们相等的索引集是超滤器 U 中的一个集合。这确实是一个C 域上的等价关系，所得约化积称为 C 因子的超乘积。如果 C 是 A 的幂，则该超乘积称为 A 的超幂，有时写作 U-prod A。一个称为 Łoś 定理的定理描述了超乘积中哪些句子是正确的。其最有用的结果如下：

如果 U 是超滤器，则从 A 到 U-prod A 的对角线映射是基本嵌入。

如果超滤器 U 是非主性的，即不包含有限集，那么对角映射不在 U-prod A 的域上，并且事实上 U-prod A 通常比 A 大得多。所以我们有一种构造大的方法基本扩展。选择公理保证每个无限集上都有许多非主超滤器。超幂是处理集合论中大基数的重要工具（参见集合论条目）。

萨哈伦·谢拉 (Saharon Shelah) 的一个值得注意的（但在实践中并不是很有用）定理告诉我们，一对结构 A 和 B 本质上是等价的，当且仅当它们具有彼此同构的超能力。

4.2 饱和度

假设 A 是 L 结构，X 是 A 的一组元素，B 是 A 的基本扩展，b，c 是 B 的两个元素。则 b 和 c 被称为在 X 上具有相同的类型，如果对于每个L 和 X 的每个 n 元组 d 的公式 φ(v1,…,vn+1)，

B ⊨ φ[b,d] ⇔ B ⊨ φ[c,d]。

我们说 A 是饱和的，如果每当 X 是 A 的一组元素，基数小于 A 的元素，并且 B 是 A 的任何基本扩展时，我们总是有 B 的每个元素在 X 上与某些元素具有相同的类型元素已存在于 A 中。

这个相当沉重的定义并没有说明饱和结构有多么有用。如果每个结构都有一个饱和的基本扩展，模型理论的许多结果将更容易证明。不幸的是，饱和基本扩张的存在取决于周围集合宇宙的特征。有一些技术方法可以解决这个障碍，例如弱化饱和概念。我们有两种主要方法来构造具有一定饱和度的基本扩展。一种是通过超能力，使用巧妙构造的超滤器。另一种是通过基本链的并集，概括我们为向上 Löwenheim-Skolem 定理给出的证明。

实数域 R 的部分饱和初等扩张的存在是亚伯拉罕·罗宾逊非标准分析背后的主要技术事实。有关这方面的更多信息，请参阅模型理论条目的第 4 节。尽管模型理论提供了非标准分析的第一步，但这一分析分支很快就成为一门独立的学科，并且它与今天的一阶模型理论的联系相当薄弱。

4.3 Ehrenfeucht-Mostowski 模型

令 A 为 L 结构，X 为 A 的元素集合，且 < X 的线性排序（不一定可由一阶公式定义）。如果对于每个自然数 n，并且 A 的所有元素 a1,…,an,b 1,…,b n 使得 a1 < … < an 且 b1 < … <，则 (X,<) 是 A 中不可辨别的序列bn，将每个ai 到相应bi 的映射是一个基本映射。如果 T 是一个具有无限模型的理论，那么 T 的模型就是不可辨别序列的 Skolem 壳（参见经典逻辑条目）。这些模型被称为 Ehrenfeucht-Mostowski 模型，以 20 世纪 50 年代中期首次进行此构建的两位波兰模型理论家的名字命名。这些模型往往与饱和相反。我们可以安排元素集合中的很少类型在它们的元素中表示。不同集合论模型之间的一些重要区别可以用这些模型中难以辨别的序列来表达；请参阅集合论条目。

5. 三个成功项目

每个健康的数学分支都需要一系列问题，这些问题对其研究人员构成严峻的挑战。最后，我们简要介绍了二十世纪下半叶推动一阶模型理论向前发展的一些研究项目。参考书目中的 Marcja 和 Toffalori 的书提供了有关这些程序的更多信息。除此之外，还有其他当前的计划；例如，请参阅 Yuri Ershov 编辑的手册，该手册是关于递归构建结构时的模型理论。

5.1.类别和分类

1904 年，奥斯瓦尔德·凡勃伦 (Oswald Veblen) 将一种理论描述为绝对的，如果它只有一个模型达到同构，即它有一个模型并且它的所有模型都彼此同构。 （这个名字是约翰·杜威向他建议的，他还为其他理论建议了“析取”这个名字。这对术语来自传统逻辑，作为句子类型的名称。）令人沮丧的消息是，不存在绝对的第一-具有无限模型的有序理论；我们可以从向上的 Löwenheim-Skolem 定理立刻看出这一点。事实上，如果 T 是具有无限模型的一阶理论，那么我们可以在 T 中期望的最强类别性是，对于某些无限基数 κ，T 恰好具有一个基数 κ 模型，直至同构。 T 的这种性质称为 κ-类别。

现在有一个启发式原则，很多人都在使用，尽管它似乎没有简单的表述。我们建议“少即是美”。该原理说，如果一阶理论 T 限制其模型（特定基数）彼此相似，这只能是因为 T 的模型很少有不规则性和不对称性。因此，应该对这些模型有良好的结构描述。从古典数学的角度来看，应该期望它们是“良好的结构”。作为第一步，人们很容易从向下和向下的löwenheim-skolems中看到，如果对于某些κ对于t语言中的公式数量至少与公式的数量一样大，则t必须是一个完整的理论。从现在开始，T是具有无限模型的完整理论。为简单起见，我们将假设T的语言是可数的。

1954年，耶尔兹（Jerzy）宣布，他只能找到κ类别的三种理论示例。即：

如果对于每个无限的基本κ，则完全分类。一个典型的例子是有限场上无限维矢量空间的完整理论。

如果κ不可数，则t是无效的（但不是完全分类的），如果它是κ类别的。从本质上讲，奥洛斯能找到的唯一一个例子是代数封闭领域的完整理论。这是斯坦尼茨的著名定理无关紧要的。

如果当κ可计数时，则t是分类的（但不是无效的），如果κ类别是κ类别的。一个典型的例子是没有第一个或最后一个元素的密集线性排序的完整理论。这是Cantor的著名定理的次数分类。

问除了这三个外，还有其他可能性。 （当然，大多数完整的理论对于任何κ都不是κ类别。）

这个问题的问题是研究的巨大刺激，并于1965年提出了迈克尔·莫利（Michael Morley）的经典论文，该论文表明，奥洛斯的三种可能性实际上是唯一的。莫利分析的一个核心思想是，一个不可估量的分类理论的模型具有最少的元素类型。这直接导致了模型理论的分支称为稳定理论，该理论研究了元素类型数量有限的理论。这些理论具有出色的属性，即在任何线性订购中，每个模型中的每个无限序列均可在其任何模型中不可分辨出来。因此，这些序列是对矢量空间碱基的一种概括。威廉·马什（William Marsh），约翰·鲍德温（John Baldwin）和阿利斯泰尔·拉克兰（Alistair Lachlan）的后来作品对莫利的作品隐含了另一个想法，是，在任何一个不可估量的分类理论的模型中，都有一个核心核心（称为强烈的核心），它带有依赖关系遵守与矢量空间中线性依赖性相似的定律。就这种依赖关系而言，一个人可以定义模型的维度，并且核心外部模型的保留与核心密切相关，以至于尺寸将模型确定为同构。

撒哈拉·谢拉（Saharon Shelah）以巨大的机智和精力发展了莫利的想法。他的主要目的是通过证明理论t之间存在明确的分界线来扩展“少数是美丽”的想法。在分界线的一侧是具有良好结构属性的理论，迫使某种的非同构模型的数量给定基数很小。另一方面，每个理论都有（例如）两种相同基数的模型，这些模型不是同构，但很难区分。 Shelah为这项研究创造了名称分类理论。下面列出的Lascar的文字是整个程序的优雅介绍，从o者到Shelah。同时，谢拉本人将其扩展到了一阶逻辑。即使在一阶情况下，谢拉（Shelah）也必须发明新的设定理论技术（例如适当的强迫）来执行他的建筑。

分类理论具有两个相关的基本不同的目的：通过某些相对简单的组合不变性对理论的模型进行分类（或表明这种分类是不可能的）模型。借助第二版的分类理论，谢拉（Shelah）放弃了“非同构模型”的字幕，以强调项目的更广泛的目标。通常，如果一类理论在基本不变性方面以及相对于该理论的公式的某些绝对条件，可以将其视为理论上的分类。例如，根据定义，如果有一些红衣主教κ≥| l |，则语言L中的理论t是稳定的。因此，对于最多κt的每种t模型m，M上的1型t型数量最多为κ。同等地，如果没有公式相对于T的顺序属性，那么Theole T是稳定的。也就是说，没有l形式φ（x; y）（x和y可以是变量的元素），以便对于每个自然数字n与T是一致的，有A1，…，AN； b1，…，bn，以便在i≤j的情况下φ（ai，bj）固定。

5.2.几何模型理论

几何模型理论从迈克尔·莫利（Michael Morley）的1965年论文中发展出来，但与谢拉（Shelah）的作品不同（尽管今天它定期使用Shelah在其分类计划中开发的技术工具）。莫利（Morley）表明，无论结构的完整理论如何，莫利（Morley）的模型具有无数分类理论的结构特性。因此，谈论不可估量的分类结构，意味着不可估量的分类理论的模型。 （同样是完全分类的结构。）西伯利亚独立的鲍里斯·齐伯（Boris Zilber）和美国的格雷格·切林（Greg Cherlin）注意到，在不亚写的分类结构中可以定义的任何无限群都必须具有许多共同特征，这些特征与代数几何学所研究的代数群体共有。特别是Zilber表明，代数几何形状的许多方法都将其推广到模型理论案例。他的秘密武器是Bezout的《几何学定理》，他用来指导他解决非常困难的模型理论问题的解决方案。例如，他的定理认为，没有完全分类理论可以通过有限数量的公理可以公理。 （从某种意义上说，这是秘密的，它指导了他的直觉，但从未明确出现在他的结果中。）Zilber还注意到上面的第一个和第二个例子之间的重要区别。也就是说，在矢量空间中，子空间（即在线性依赖性下关闭的子集）形成模块化晶格；但是代数闭合场的代数闭合子集形成了一个不是模块化的晶格。

部分原因是西伯利亚与西方之间的通信困难，Zilber的这些结果花了一些时间来消化，在某种程度上必须在西方重新发现它们。但是，当信息最终通过时，结果是模型理论的新分支，该分支已被称为几何模型理论。该程序广泛地根据（a）哪些群体或字段在模型理论的条目中概述的意义上可以解释哪些群体或字段，并且（b）结构是否具有“模块化几何形状”；然后使用此分类来解决模型理论和几何形状中的问题。从1980年代中期开始，这项研究的领导者就是Ehud Hrushovski。在1990年代初期，使用与Zilber的联合作品，Hrushovski在所有特征上都为几何Mordell-Lang猜想提供了模型理论证明（第一个完整的证明）。这是经典二磷几何形状中的一个猜想。 Boustcaren（编辑）1998致力于Hrushovski的证明和模型理论的必要背景。 （a）和（b）都是Hrushovski的论点的基础。

5.3. O最小程度

在此处描述的三个程序中，这是最古老的，因为它源于塔斯基对真实数字领域的完整理论的描述（他通过消除量词的方法证明了这一点）。在给出此描述的过程中，Tarski表明，每个一阶公式φ（x）可能具有参数，可以通过与表单x＜s或表单x＜s的公式的某些布尔组合完全相同。 t＜x其中s，t是常数项命名参数。另一种说法是

一组公式可以定义的一组元素都是一个有限的开放间隔结合，并带有命名端点，以及一组有限的元素。

据说具有该特性的线性有序结构是O-Wimimal。 （这个名字的想法是，O-最初是一种“强最小值”的类似物，其形式对于带有线性订购的结构有意义，从而订购了“ O-”。）

1982年，Lou van den Dries表明，实数是O-Minimal的事实，提供了有关可定义的较高维度集的大量有用信息，例如真实平面的可定义子集的家族。此后不久，朱莉娅·奈特（Julia Knight），阿南德·皮莱（Anand Pillay）和查尔斯·斯坦霍恩（Charles Steinhorn结构。这些结果导致了模型理论和功能理论之间的领域活动。模型理论和功能理论中的几个旧问题得到了解决。亚历克斯·威尔基（Alex Wilkie）表明，具有指示符号的实数领域是o最低的，并且具有模型完整的完整理论，从而给出了塔斯基（Tarski）是否允许消除量词的旧问题的积极答案，尽管他的方法是远离塔斯基（Tarski）的句法分析很远。 （在这种情况下，我们需要记住模型完成和消除量词之间的区别；请参见上面的第2节。该特定理论是否具有量化器消除更加困难，并且与数字理论的深层猜想密切相关被称为Schanuel的猜想；请参阅MacIntyre和Wilkie的论文。在数学上可以处理）。 Van Den Dries敦促O-Winimal结构为开发Alexander Grothendieck的“驯服拓扑”计划提供了一个良好的环境。

2006年，乔纳森·皮拉（Jonathan Pila）和亚历克斯·威尔基（Alex Wilkie）表明，提供了仅使用多项式不等式定义的子集，在实地的O最低膨胀中可以定义的RN子集的子集几乎没有合理点。随后，遵循Pila和Umberto Zannier首次采用的策略来谴责Manin-Mumford的猜想，许多作者都使用了这种O-Wimimal Counter Therorem来解决Diophantine几何形状中的一些重要开放问题。

Kobi Peterzil和Sergei Starchenko已经开发了O-Winimal复合物分析理论。与经典分析的经典方法一样，人们可以将复数解释为一组有序的真实数字对，并由涉及其真实和虚构部分的通常规则定义的添加和乘法。在该领域的结果中，它们的代数定理断言，如果CN的子集是复杂的分析性（这意味着它是关闭的，并且通过有限的许多复杂分析功能消失而在局部定义），并且可以在某些O-Minimal扩展中确定在实际领域中，必须是代数，这是由多项式方程式消失所定义的，是最引人注目的结果，并且在研究功能性超越和均质动力学的研究中是强烈的后果。

这三个程序都生成了用于证明，构造和分类的新技术。正如我们应该期望的那样，研究人员探索了每种技术的应用范围。结果之一是出现了几个有用的一阶理论类别，这些理论与三个程序之一有关。例如，谢拉（Shelah）分类理论的一个核心工具是他的分叉概念，这是对早期代数依赖关系概念的深远概括。简单理论的类别是由以下事实定义的：叉子具有某些良好的特性，而玫瑰色的理论类别的特征是存在着一个良好的独立概念，这是由于进一步的叉状概括为þ-forking。几何模型理论中揭示了一些简单理论的自然例子，而O最小结构的完整理论是玫瑰色理论的例子。其他类别的理论是通过增加晦涩难懂的缩写来表示的，例如在NSOP1的类别（“不是更强的秩序属性，一个”）理论中，已经隔离了这些理论，这些理论是孤立的，其中某些稳定理论的某些看似特征的特征以修改的形式持续存在。例如，上述NSOP1的上述NSOP1是由缺乏某个树的配置来定义的，但也以“ Kim-Intepentence”的名义具有良好的独立性理论的特征。与这些技术进步的同时，一阶模型理论继续与数量理论，功能分析和纯数学和甚至应用数学的其他分支中的问题更加紧密相关。

在谢拉（Shelah）的分类理论计划中，通过分裂线条播放了中央rol。也就是说，所有理论的类别应分为具有某些属性的人，而这些理论的阶级应分为那两个类别，这两个类别应该是真实的，因为这些阶级应承认不同字符的各种定义。例如，可以以许多面部不同的方式描述稳定理论的类别，例如，每种类型都是可定义的理论某些无限的基础κ至少与每个大小κ模型的语言一样大，只有κ多于许多1型。这些分类理论类中的许多是通过禁止某些组合构型的存在来定义的。例如，依赖性或nip类（对于“不是独立性”）的理论是通过说没有公式φ（x，y）来定义的。 （bs）在且仅当Shelah隔离独立性vladimir vapnik和Alexey时，当b序列由自然数的子集索引，以便m⊧φ（ai，bs）在同一时间。 Chervonenkis在机器学习理论中发现了相同的概念。此后，NIP的模型理论分析的后果是在神经网络，极端组合，差异隐私理论和机器学习理论的理论中得出的。

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