弗雷格-希尔伯特之争（一）

一、简介

2.希尔伯特的几何基础

2.1 概要

2.2 策略的新颖性

3.弗雷格——背景和最初的差异

4. 更深层次的分歧

5. 挥之不去的问题

六、结论

参考书目

主要来源

二手资料

学术工具

其他互联网资源

相关条目

一、简介

1899 年 6 月，在哥廷根举行的新高斯-韦伯纪念碑安装仪式上，大卫·希尔伯特发表了关于几何基础的演讲。同年晚些时候，托伊布纳以“Grundlagen der Geometrie”（“几何基础”）为题出版了这篇文章，它是现代数学和逻辑发展的分水岭。尽管该书的主题是几何学，但其持久的影响更广泛地涉及公理在数学理论中的作用，以及对一致性和独立性等元理论问题的系统处理。通过提出丰富的一致性和独立性论证，希尔伯特在这里展示了公理“结构”方法的力量，并为很快成为我们自己的当代形式系统模型理论方法奠定了基础。 （有关希尔伯特处理公理的历史背景，请参阅 Hallett 2012 和十九世纪几何；有关希尔伯特的工作在模型理论发展中的作用，请参阅模型理论和 Eder & Schiemer 2018。）

希尔伯特的演讲和专着引起了他同时代的戈特洛布·弗雷格的强烈反应，他发现希尔伯特对公理的理解，以及他对一致性和独立性论证的方法，实际上是不可理解的，至少是严重缺陷的。弗雷格的反应首先体现在他从 1899 年 12 月到 1900 年 9 月与希尔伯特的通信中，随后在 1903 年和 1906 年发表的两套论文（均题为“论几何基础”）中。希尔伯特从未被弗雷格的批评所感动， 1900年后没有回应。弗雷格则从未相信希尔伯特方法的可靠性，并且直到最后都认为后者的一致性和独立性证明存在致命缺陷。 [1]

在两位数学家之间的哲学辩论中，我们看到了两种截然不同的理解数学理论本质及其合理性的方式之间的冲突。如下详述，对希尔伯特一致性和独立性证明的成功的意见分歧是在以下基本问题上意见的重大分歧的结果：如何理解数学理论的内容，成功的公理化包含什么，最后，当人们询问一组公理的一致性或给定数学陈述与其他数学陈述的独立性时，数学理论的“真理”实际上就是人们真正要问的内容。

接下来，我们简要回顾一下《几何基础》中希尔伯特的技术，详细介绍弗雷格对此的各种批评，最后概述引起差异的总体逻辑概念。

2.希尔伯特的几何基础

2.1 概要

希尔伯特在几何基础（以下简称“FG”）中的工作主要包括为欧几里得几何提出一套清晰而精确的公理，并详细证明这些公理之间的关系以及这些公理与一些基本原理的关系。几何定理。特别是，希尔伯特证明了公理的各个子群的一致性，许多公理与其他公理的独立性，以及重要定理与公理的特定子群的可证明性和独立性的各种关系。其中包括欧几里德几何整套公理的一致性以及平行公理与其他欧几里德公理的独立性的新演示。

这里所讨论的“独立性”概念是不可证明性的：说一个给定的陈述独立于一组陈述，就是说它不能从它们中证明。一致性也可以从可证明性的角度来理解：说一组陈述是一致的，就是说不能从中证明任何矛盾。因此，一致性和独立性这两个概念是可以相互定义的：如果任意选择的矛盾独立于一组陈述，则该集合是一致的；如果集合 C 是独立的，则陈述 S 独立于集合 C。

C

∪

～

S

C∪∼S 一致。

希尔伯特在FG中的一致性证明都是相对一致性的证明，也就是说，在每种情况下，一组几何公理AX的一致性都被简化为熟悉的背景理论B的一致性，证明如果B是，则AX是一致的。希尔伯特采用的重要技术是对 AX 中出现的几何术语进行重新解释，使得 AX 的成员在重新解释后表达 B 的定理。例如，希尔伯特的第一个一致性证明解释了术语“点”、“线” ”和“位于”分别代表有序实数对的特定集合、实数比率的集合以及这些对和比率之间的代数定义的关系；在这种重新解释下，所讨论的几何句子表达了实数背景理论的定理。

这种重新解释策略保证了相对一致性，可以通过以下推理看出：如果集合 AX 不一致，那么就会有一个矛盾的证明。但是，由于当以希尔伯特的方式重新解释术语“点”、“线”等时，该证明仍将是证明（并且矛盾将仍然是矛盾），这意味着从所得定理集可以证明矛盾B 的结果。因此 B 本身是不一致的。

独立性也以完全相同的方式得到证明。为了证明陈述 I 独立于一组陈述 AX（相对于 B 的一致性），人们以这样一种方式解释相关的几何术语：AX 的成员按解释表达 B 的定理，而 I 表达B 定理的否定。也就是说，I 与 AX 的独立性（相对于 B 的一致性）通过证明以下的一致性来证明

斧头

∪

{

～

我

}

AX∪{∼I} 相对于 B。

使用解释来证明一致性的总体想法在 FG 中并不新颖；类似的策略最近已在各个数学学校中应用，以显示算术和阶级理论以及几何中的一致性和独立性。 [2]该技术也有早期使用几何模型来证明非欧几里得几何一致性的先例。 [3] 然而，希尔伯特在 FG 中的工作在该技术的清晰度和系统应用方面带来了重大进步，并且对通过重新解释证明一致性和独立性所涉及的元理论推理的本质进行了有影响力的解释。一旦希尔伯特的技术应用于完全形式化语言的句子，这种发展是在 FG 之后的三十年里分阶段进行的，我们基本上获得了对模型的现代理解，其今天在一致性和独立性演示中的使用仅在细节上有所不同来自希尔伯特技术。[4]

希尔伯特的中心思想再次强调，不是关注点和线等特定的几何概念，而是关注公理所说的这些概念之间存在的逻辑关系。例如，平行公理与其他欧几里得公理的独立性问题，完全与这些公理所展示的逻辑结构有关，而与我们谈论的是几何点和线，还是某种几何图形无关。完全是其他主题。正如希尔伯特所说，

显然，每一种理论都只是概念及其相互之间必要关系的脚手架或图式，并且可以以人们喜欢的任何方式来思考基本要素。如果在谈到我的观点时，我想到了某种事物系统，例如系统：爱、法律、扫烟囱……然后假设我所有的公理都是这些事物之间的关系，那么我的命题，例如毕达哥拉斯定理，就是对于这些事情也有效。换句话说：任何理论总是可以应用于无限多个基本元素系统。 （1899 年 12 月 29 日给弗雷格的信，摘自弗雷格 [省略号希尔伯特或弗雷格]，《弗雷格 [PMC]：40》）

那么，FG 中的几何术语本质上可以通过两种重要方式充当占位符。首先，FG 的公理和定理被理解为可重新解释的句子，其中重新解释只是将新内容分配给几何术语。第二个是证明——一组逻辑上从前提到结论的句子——完全不依赖于这些简单术语的内容，因此通过重新解释保留了其作为证明的地位。

当句子以这种方式被视为包含可重新解释术语的目标集合时，一组句子可以被视为提供某种类型的定义，这种定义通常被称为“隐式定义”。具体来说：包含 n 个可重新解释术语的句子集合 AX 隐式定义了 n 位置关系

右

斧头

RAX 只持有那些 n 元组，当它们分别作为 AX 可重新解释术语的解释时，使 AX 的成员为真。 （例如：如果 AX 是集合{至少有两个点；每个点至少位于两条直线上}，那么

右

斧头

RAX 是任何三元组都成立的关系

⟨

磷

,

洛

,

L

⟩

⟨P,LO,L⟩ 使得 P 至少有两个成员，L 至少有两个成员，LO 是 P 的每个成员与 L 的至少两个成员之间存在的关系。）定义的关系只是抽象结构，或者正如希尔伯特所说的“脚手架”，由任何此类 n 元组共享。 [5]

当一组句子提供了关系的隐式定义时，人们可以询问该关系（以及推而广之，这组句子本身）是否可满足。也就是说，我们可以问是否存在一个n元组，当它作为句子中相关术语的解释时，将使每个句子为真。 FG 中的每个希尔伯特一致性证明都提供了一个满足相关定义关系的 n 元组，因此提供了该关系可满足性的证明。通过上面给出的推理，这个意义上的可满足性足以保证一致性。[6]

简而言之，我们现在可以重新描述希尔伯特的技术，如下：给定一组句子 AX，希尔伯特诉诸背景理论 B 来构造 AX 的几何术语的解释，在该解释下 AX 的成员表达 B 的定理。这种解释是，假设B的一致性，满足关系的n元组

右

斧头

RAX 由 AX 定义。它的存在证明了

右

斧头

RAX 以及 AX 相对于 B 的一致性。类似地，集合中的每个成员的解释

斧头

∪

{

～

我

}

AX∪{∼I} 表示 B 的定理，证明如果 B 一致，则 I 与 AX 无关。

2.2 策略的新颖性

正如我们所看到的，希尔伯特策略的两个关键特征是（i）将公理理解为可重新解释的句子，以及（ii）将可证明性理解为对数学术语的含义不敏感。通过与 19 世纪中叶之前的主流数学观点的比较，特别是与证明和概念分析之间的联系的观点的比较，可以看出这种方法的新颖性。在几何学中，至少从普罗克洛斯时代到 18 世纪末，对欧几里得平行假设的可证明性的研究涉及对直线概念进行详细分析的尝试，其目标是发现一对直线的直线度之间的概念联系。线和渐近方法的不可能性。例如，莱布尼茨提出了许多将直线概念简化为更简单概念的策略，作为他证明平行假设的复杂尝试的一部分（参见 DeRisi 2016，特别是第 4 章）。我们在达朗贝尔的评论中看到了这个概念的重要性（以及几个世纪以来试图证明平行线假设的失败所带来的挫败）：“直线的定义和性质，以及平行线的定义和性质因此，人们可能会说，这是几何元素的陷阱，是几何元素的丑闻”（D'Alembert 1767，第 206-7 页，De Risi 2016 年引述，第 57n 页）。出于我们的目的，这里需要注意的要点是概念分析在解决可证明性问题中的作用。在与莱布尼茨及其同时代人相关的几何研究中，“直线”一词不仅是一个可重新解释的符号，而且是一个可重新解释的符号。事实上，它代表一种特定类型的几何实体，与空间直觉和其他几何基本概念具有明确的概念联系，这一事实对于涉及该术语的句子所表达的主张的可证明性问题至关重要。对于剩余的几何项也是如此。核心思想是，句子之间（或句子所表达的主张之间）的逻辑联系不仅凭借句子本身的表面结构，而且还凭借概念联系，有时通过概念分析揭示并通过定义表达，各个几何术语的内容之间。在几何之外，我们在 19 世纪集合论和实分析的发展中看到了类似的模式，其中等基数和连续函数等概念的概念澄清在基本定理的证明中发挥了核心作用。 （参见有关集合论的早期发展、连续性和无穷小以及 Bernard Bolzano 的条目。）正如弗雷格在 1914 年提出的一般观点：

在科学的发展过程中，确实可能会发生这样的情况：人们在很长一段时间内使用一个词、一个符号、一种表达方式，给人的印象是它的含义很简单，直到人们成功地将其分析成更简单的逻辑成分。通过这样的分析，我们可能希望减少公理的数量；因为只要该成分未经分析，就不可能证明包含复杂成分的真理；但是，如果进行了分析，就有可能从分析要素出现的事实中证明这一点。 [数学中的逻辑手稿；弗雷格[PW]209]

希尔伯特著作中所例证的对公理和可证明性的新理解有效地将概念分析问题与严格证明问题分开。当希尔伯特询问给定的几何句子 S 是否可以从几何公理的集合 AX 中证明时，这不是一个可以通过提供相关几何术语表达的概念的概念分析来回答的问题。相反，这是一个关于我们可以称之为 AX 中 S 的“形式”可证明性的问题，其中形式证明对几何（或其他数学）术语的内容没有吸引力。这种对单个术语内容的可证明性（以及因此的一致性和独立性）的漠不关心，不仅导致了通过重新解释来证明一致性和独立性，而且导致了有关可证明性、一致性和独立性问题的精确性的显着提高。如何最好地理解和分析几何概念的问题虽然对于如何呈现给定理论（即使用哪些术语和句子）的决策仍然很重要，但严格来说，现在在可证明性问题中不起作用。

我们在 FG 中看到的对公理作为可重新解释的句子的新理解不仅是由于这种概念所允许的精度的提高，而且也是由于在许多数学家的工作中出现的数学理论的新概念。 19世纪末。 （参见数学中的结构主义入门，以及 Dedekind 1888；Peano 1889；Huntington 1902；Veblen 1904；Awodey 和 Reck 2002。）也许在 Richard Dedekind（1888，1890）的著作中表达得最清楚，这个想法是，数学理论并不描述特定的对象集合（例如，空间中的数字或线条），而是描述可以由不同有序集合实例化的抽象结构。这种对数学理论内容的观点，现在通常被称为“结构主义”观点，与这样的观点密切相关：如上所述，理论的各个术语是可以呈现任何句法允许的内容的占位符。根据结构主义的观点，由如此理解的公理集合隐式定义的抽象结构类型是如此公理化的数学理论的主题。那么，与早期的莱布尼茨观点不同，新的结构主义观点自然而然地把一个句子从其他句子的可证明性理解为这些句子表达的抽象关系，当它们的几何术语是可重新解释的占位符时。有了这样理解可证明性，相对一致性和独立性就可以通过希尔伯特的重新解释策略直接证明。

我们可以总结 19 世纪末许多作者的工作中发现的重要创新，但最明显的是希尔伯特的《几何基础》，如下：首先是对严格可证明性的理解，从而理解一致性独立性，即独立于目标（例如几何）术语的含义。这使得通过重新解释技术来证明相对一致性和独立性成为可能。第二个是对数学理论及其公理的理解，其特征不是特定的对象集合，而是可多重实例化的抽象结构。后者的创新对于重新解释策略在证明一致性和独立性方面的有效性并不是至关重要的，但正是一种理解数学理论的方式使得第一个创新，因此重新解释策略变得特别自然。

3.弗雷格——背景和最初的差异

弗雷格对数学理论的看法在很多方面与上面概述的古老传统相似。对于弗雷格来说，数学理论有一个特定的主题：数论是关于自然数的；几何学是关于空间中的图形；等等。弗雷格认为，我们在数学中使用的句子之所以重要，只是因为它们表达了非语言命题（或者用他的话说，“思想”）。用法语和德语工作的数学家正在研究同一主题，因为在弗雷格看来，他们的句子表达了相同的思想。每个想法都是关于一个确定的主题，并表达了关于该主题的正确或错误的内容。 [7]根据这一观点，思想也是逻辑上相互暗示或矛盾的事物、真或假的事物以及共同构成数学理论的事物。因此，在弗雷格看来，产生一致性和独立性问题的是思想，而不是句子。

因为每个思想都有确定的主题，所以谈论思想的“重新解释”是没有意义的。从弗雷格的观点来看，希尔伯特所从事的那种重新解释，即为特定单词分配不同的含义，只能适用于句子。因此，弗雷格指出的希尔伯特方法的第一个困难是，不清楚希尔伯特所说的“公理”是什么意思：如果他指的是可能出现一致性和独立性问题的事物，那么他一定是在谈论思想，而如果他指的是可以有多种解释的事物，那么他一定是在谈论句子。

困难从这里开始成倍增加。当希尔伯特在证明一组 AX 句子的相对一致性的过程中对几何术语进行具体的重新解释时，弗雷格指出，我们现在有两组不同的想法在发挥作用：我们可以称之为“一组”。

斧头

G

当 AX 的术语采用普通几何含义（例如，“点”表示点）时表达的思想的“AXG”以及我们可以称之为“的集合”

斧头

右

当 AX 的术语采用希尔伯特重新解释所赋予的含义时（例如，“点”表示一对实数），所表达的思想是“AXR”。从弗雷格的角度来看，希尔伯特的重新解释策略涉及简单地将我们的注意力从集合上转移

斧头

G

通常由句子 AX（以及我们感兴趣的一致性）表达的思想到新集合的 AXG

斧头

右

AXR对AX所表达的思想进行了重新诠释。从弗雷格的角度来看，重新解释的句子表达了关于实数的真理，这一事实与关于点、线和平面的原始思想所出现的一致性和独立性问题几乎没有关系。

除了在讨论一组给定的句子时在不同的思想之间来回转换的令人困惑的做法（如弗雷格所见）之外，正如弗雷格所见，希尔伯特的程序还涉及两个更值得怀疑的方面。

第一个涉及一致性证明的需要。在弗雷格看来，一个理论的公理总是形成真实思想的集合；由于真理意味着一致性，所以公理集合的一致性永远不需要证明。另一方面，对于希尔伯特来说，句子集合被视为公理化的事实并不能保证真理（或在给定解释下的真理），并且一致性的证明通常是建立该句子的数学尊重性的关键步骤。公理的集合。

其次，希尔伯特和弗雷格在一致性和存在性之间的联系上存在重大分歧。将一个理论用一组可多重解释的句子公理化，希尔伯特的观点是，这样一个集合的一致性足以保证理论中提到的数学实体集合的存在。例如，复数理论的一致性就足以证明用这些数字进行推理的数学实践是合理的。另一方面，对于弗雷格来说，一致性永远不能保证存在。他最喜欢的例子是三个句子的一致性（在希尔伯特的意义上）

A是一个有智慧的生物

A是无所不在的

A是万能的

不足以保证它们的实例化。 （例如，参见弗雷格 1900 年 1 月 6 日写给希尔伯特的信；弗雷格 [PMC]：47。）

弗雷格和希尔伯特之间关于公理性质的主要区别，即关于公理是否是关于固定主题的确定真实的主张或表达多重实例化条件的可重新解释的句子的问题，本质上是上面概述的旧公理和现代公理之间的区别。更新的（ca 1900）数学理论及其公理的思维方式。 [8]这个问题仍然激发了数学哲学中的许多工作，不仅涉及如何最好地理解特定数学理论（例如欧几里得几何或实分析）的问题，而且还涉及数学的结构主义方法是否有效的问题。理论要求有一些基础理论——其主题提供了解释其余理论的材料——其中的公理必须以某种非结构主义的方式来理解。请参阅有关数学哲学和集合论的条目。

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