逆向数学（三）

有理数的定义是类似的方式，是成对的（代码）整数（因此是成对的自然数）。我们首先定义一个正整数z+= {（m，n）:( m，n）∈Z∧n＜m}。然后，有理数的加法，减法和乘法的操作以及较少和平等关系的操作可以定义如下：

（a，b）+q（c，​​d）=（a·d+b·c，b·d），（a，b）-q（c，d）=（a·d -b·c，b （a，b）×q（c，d）=（a·c，b·d），（a，b）＜q（c，d）↔a·d＜b泼（a ，b）= q（c，d）↔a·d = b·c。

为了可读性，我们在定义右侧的操作和关系上抑制了下标“ Z”。与整数一样，有理数的集合q包括z×z+的元素，z×z+是其等价类别中其等价类别的＜n至最高成员。 RCA0可以证明Q的存在为一组，并证明系统（Q，+Q，耗电Q，＜q，= Q，0q，0q，1q）是一个有序字段。

了解整数和刚刚描述的整数编码方案的一种方法是定义这些数字系统和自然数的子集之间的肉体功能。正如康托尔（Cantor）所表明的那样，非理性数字和自然数之间不可能进行这种两次射击。为了编码非理性数字以及一般的实际数字，因此有必要使用一组自然数。以下方法，使用快速置换的库奇序列是在反向数学中执行此操作的标准方法。一系列有理数是一个函数f：n→q，我们通常用⟨xk：k∈N⟩用xk = f（k）表示。实际数字是一个有理数的序列x遵守以下收敛条件：对于所有n，m∈N，| xn -xn+m |≤2 -n，其中|（a，b）| q =（| a | ，b）是绝对值操作。如果| xn -yn |≤2 -n+1对于所有n，则两个实数x和y是相等的，x = ry。请注意，= r是自然数集的等效关系，而不是集合的身份关系（= 1）。我们不能从等价类中选择特定的集合来表示实际数字，因为基本理论太弱了，并且语言本身不允许我们对等价类本身进行量化。此外，虽然反向数学家经常写“x∈R”之类的东西，但严格来说，这是对符号的滥用，因为所有实数的集合r是一个三阶对象，并未直接以二阶算术为单位。诸如“x∈R”之类的表达式应被解释为“ x是真实数字”的方便速记，其中是真实数字的属性，即上述属性，即，编码快速分配的cauchy的算术可定义的属性有理数的序列。

有理数可以通过用常数序列rq =⟨Qn：n∈N⟩表示有理数q来嵌入实际数字中，其中qn = q qn = q for ash ash ash ln∈N。 （代码）实数的加法，减法和乘法可以通过加法，减法和有理数的乘法来完成。给定的实数x =⟨xn：n∈N⟩和y =⟨yn：n∈N⟩，

x+ry =⟨xn+1+yn+1：n∈N⟩，x -ry =⟨xn+1 -yn+1：n∈N⟩，andx·ath =⟨xn+k·yn+k：n ∈N⟩

至少k，| x0 |+| y0 |+2≤2k。最后，我们通过说x≤ry且仅当所有k∈N，xk≤yk+2 -k+1来定义排序≤r。 x＜ry如果x≤ry和x≠ry。和以前一样，为了帮助可读性，我们抑制了上面定义中的操作和关系的“ Q”下标，因为从上下文中可以清楚地看出，添加，减法，乘法等是有理数数字而不是整数或自然数的操作。 RCA0足以表明该系统（r，+r，0r，1r，1r，＜r，= r）的系统可以满足Archimedean有序字段的公理，尽管鉴于基数限制，但系统本身不是对象理论。

实数的可计数序列也可以编码为一组自然数。这是一个非常强大的设备，可以从真实分析中形式化陈述，例如海因 - 伯雷尔和鲍尔扎诺 - 韦尔斯特拉斯定理。实数的序列是函数f：n×n→q的函数，因此对于每个n∈N，函数（f）n：n→q，其中（f）n（k）= f（k）= f（k，n），，是一个真实的数字。与有理数的序列一样，我们通常会使用诸如⟨xn：n∈N⟩的表示法，其中xn =（f）n来讨论实数序列。据说，一个真实的⟨xn：n∈N⟩会收敛到极限x，x = limnxn，如果对于所有ε＞0，则存在一个n，因此对于所有i，| x -xn+i | ＜ε。 limnxn存在的序列被描述为收敛。

这些概念可用于从分析中制定标准定理的顺序版本。例如，顺序最小的上限公理表明，每个有界的实数序列都具有最小的上限。该原理在RCA0中不可证明，实际上等同于ACA0。但是，在RCA0中可以证明一个较弱的原理称为嵌套间隔的完整性，可用于证明许多基本结果，包括中间值定理，Cantor'theorem的一个版本，即实数是不可数的，并且是Baire类别的版本定理（Simpson 2009：76–77）。

3.4Ω模块和可计算性

递归理解公理方案从以下事实中得名：Δ01可定义的自然数正是递归（即可计算）的自然数集。因此，集合

rec = {x⊆Ω：x是可计算的}

具有特殊的作用，是第2.2节中引入的RCA0的ω模型R的二阶部分。这是一种特殊类别的L2结构之一，称为ω模型，其中一阶域始终是标准的自然数ω，+，+和<符号由标准（可计算）操作解释添加和乘法以及标准的关系较低。由于一阶部分是固定的，因此这些结构中唯一可以改变的部分是二阶量化器的范围。二阶算术差异子系统的ω模型通常具有有趣的可计算性理论特性，这些特性与固定的公理构成了区分它们的设定公理。由于它们的一阶部分是标准配置，因此所有ω模型都满足完整的感应方案（π1∞-ind）。

RCA0的ω模型正是图灵理想：p（ω）的子集，它们在递归结合和相对图灵的可计算性下封闭。最小的图灵理想是rec，因此，REC也是RCA0的最小ω模型。在某种意义上说，我们可以将REC视为RCA0的预期模型：RCA0的公理仅主张可计算集的存在（或更准确地说，或者更准确地说，在某些参数中可以计算的集合的存在），在REC中，所有集合的存在）可计算。系统的最小ω模型的存在是RCA0与二阶算术的其他子系统共享的属性，其特征公理是理解方案。 ACA0的最小ω模型是算术上可定义的集合的类别，而Δ11-CA0的最小ω模型是高氧化集的高hyp。 π11-ca0没有最小ω模型，但确实具有最小β模型，其中β模型是满足所有真实σ11句子的其他条件，而不仅仅是所有真实的算术句子，而不仅仅是所有真实的算术句子， - 模型做。

如果使用二阶算术语言的语句φ在二阶部分为rec的ω模型中存放在ω模型中，那么我们说φ是计算上的，因为当它的设置量词受到限制时，它是有效的超过可计算集的集合（因此，对于其他数学对象的可计算代码，我们可能会认为是可计算的）。由于RCA0的所有公理在REC中都是真实的，因此RCA0是正确的，并且可以被视为一种天然的公理系统，在该系统中可以更广泛地对可计算分析或可计算的数学进行形式化。在这方面，RCA0与大多数其他以相反数学研究的二阶算术子系统有很大不同。可以用可计算性理论术语来理解诸如WKL0，ACA0，ATR0和π11-CA0之类的系统的特征公理，因为断言某些类别的不可兼容集的存在，因此保证其ω模型可以保证不可兼容的集合不同程度的复杂性，以诸如算术或分析层次结构或图灵程度等层次结构衡量。从这个意义上讲，可以将逆向数学视为测量经典数学定理的非构建力程度。

4。五大

4.1弱科尼格的引理

当我们离开基本理论RCA0并爬上反向数学层次结构时，我们达到的第一个主要里程碑是系统WKL0。该系统是通过添加到RCA0的公理中获得的，非构造套件存在公理弱König的引理或WKL。由于DénesKönig（1927），科尼格无限引理指出，每条有限的分支无限树都有一条无限的路径。 WKL是通过将König的无限引理限制为可数二进制序列的树木来获得的。要用更精确的术语陈述它，我们首先需要对树木进行更正式的陈述。

令X⊆n为一组自然数。我们用x＜n表示x的所有有限序列的集合。两个重要的特殊情况是x = 2 = {0,1}，而2＜n是所有有限二进制序列的集合，当x = n和n＜n = seq时，自然数。 x上的树t是X的元素的一组有限序列，该元素是在前身下关闭的，因此，如果τ∈T⊆X

弱König的引理在RCA0上等效于大量定理，尤其是在实际和功能分析中，而且在逻辑和代数中。最好将其理解为一种紧凑的原则，可以通过查看弱König的引理本身，但也可以看出，在定理上等同于，例如涵盖定理的海因 - 伯雷尔（Heine-borel）和紧凑型定理的一阶逻辑。等同于WKL的其他值得注意的定理包括Gödel的完整性定理，用于一阶逻辑；可分离的Hahn -Banach定理；布鲁维尔的固定点定理；每个可数值的戒指都有一个主要理想的定理。 Peano的存在定理用于普通微分方程。

也许令人惊讶的是，在RCA0中添加弱König的引理并不会导致一阶强度增加。为了解释这一事实，我们首先需要介绍保守性的概念。非正式的想法是，尽管理论S可能比理论t具有更多的表现力资源（例如，S可能具有更广泛的词汇），但在两种理论的一部分中，这两个理论的共同点是共同的。不超过t。

形式上，令 S 和 T 分别为语言 LS 和 LT 中的理论，并令 Г 为语言 LS∩LT 中的一组句子。 S 相对于 T 是 Γ 保守的，如果对于每个 φ ∈ Г，S ⊢ φ 当且仅当 T ⊢ φ。如果 S 的语言是 T 语言的扩展，LT⊆LS，我们简单地说 S 比 T 保守。常见的情况是，S 是二阶算术子系统，而 T 是一阶算术系统。顺序算术。在这种情况下，如果 S 比 T 保守，那么我们说 S 的一阶部分是 T。

三个关键的保守性定理将 RCA0 和 WKL0 连接起来，并解释了它们的一阶强度。第一个是 IΣ1 相对于 PRA 是 Π02 保守的，其中 IΣ1 是通过将归纳方案限制为 Σ1 公式而获得的一阶 Peano 算术 PA 的子系统，PRA 是 Skolem（1923）开发的原始递归算术系统，由 Hilbert 和 Bernays (1934) 公理化。该结果由 Parsons (1970) 证明，因此被称为帕森斯定理（Joosten 2002 [其他互联网资源]；Ferreira 2005）。第二个是 IΣ1 是 RCA0 的一阶部分。这是弗里德曼（Friedman，1976）提出的；证明可以在 Simpson (2009: IX.1) 和 Hirschfeldt (2014: 129) 中找到。第三个是 WKL0 比 RCA0 更保守。这是哈林顿未发表的定理。它的证明由 Simpson (2009: IX.2) 普遍提供，更详细的版本可以在 Hirschfeldt (2014: 7.2) 中找到。

结合前两个结果，我们发现 RCA0 比 PRA 更保守。这对于我们理解希尔伯特和伯奈斯意义上的有限论以及该程序与形式系统 RCA0（第 5.2 节）的关系具有重要影响。加上哈林顿定理，我们可以看到 WKL0 的一阶部分是 IΣ1，并且 WKL0 相对于 PRA 是 Π02 保守的。由于一致性陈述是Π01句子，因此WKL0与RCA0、IΣ1和PRA等价，因为人们可以在PRA中证明任何这些理论的一致性意味着其他理论的一致性。出于同样的原因，WKL0 具有与 RCA0、IΣ1 和 PRA 相同的证明理论序数，即 ωω。

Harrington 的证明本质上是模型论的：它使用强制论证来表明 RCA0 的每个可数模型都可以扩展到 WKL0 的可数模型，同时保留 Π11 公式的真值。 Sieg (1985) 随后通过构造一个原始递归函数 f 对该定理进行了更具建设性的处理，该函数将 a Π02 语句 φ 的 WKL0 中的任何证明 p 转换为 PRA 中 φ 的证明 f(p)。虽然有些技术性，但这些保守性结果引发了一场关于数学基础的争论，涉及到在希尔伯特纲领（第 5.3 节）意义上的有限主义形式系统中可以恢复的数学极限。

4.2 算术理解

五巨头的第三个成员是 ACA0，其中 ACA 代表“算术理解公理”。二阶算术语言中的公式 φ 如果不包含集合量词，则它是算术公式，尽管它可能包含自由集合变量。算术理解方案由以下形式的所有公式的通用闭包组成

∃X∀n(n∈X↔φ(n))

其中 φ 与 X 不自由进行算术运算，尽管 φ 可能包含其他自由集和数字变量。 ACA0 是通过将算术理解方案添加到 RCA0 公理而获得的系统。 ACA0 证明了算术归纳方案，即归纳方案 (Π1∞-IND) 对算术公式的限制。这意味着 ACA0 证明了一阶皮亚诺算术 PA 的所有公理。通过 Friedman (1976) 的保守性结果，该结果的一种逆也成立：在 ACA0 中可证明的一阶算术语言中的每个句子在 PA 中也可证明。从这个结果可以看出，Gentzen 对 PA 的一致性证明也适用于 ACA0，并且 ACA0 具有与 PA 相同的证明理论序数，即 ε0。

ACA0 严格强于 RCA0 和 WKL0。就前者而言，从算术理解是可计算错误的事实中可以很容易地看出这一点，因为它证明了停止问题 K 和许多其他不可计算的集合的存在，因此 ω 模型 REC 提供了一个反例：一个模型其中 RCA0 为真，但算术理解为假。证明 WKL0 严格弱于 ACA0 需要更微妙的可计算性理论论证，使用 Jockusch & Soare (1972) 的低基定理来证明 WKL0 模型的存在，该模型不包含 K，因此不满足算术运算理解。

尽管许多重要的分析定理可以在 WKL0 中得到证明，但有关实数性质的一些基本结果只能通过算术理解来证明。其中许多结果涉及实线的序列完整性和紧致性，并断言各种序列的极限的存在。其中最基本的是最小上界公理的顺序形式，它指出每个有界实数序列都有一个最小上界。其他的是 Bolzano-Weierstraß 定理，该定理指出每个有界实数序列都包含一个收敛到极限的子序列；单调收敛定理，该定理指出每个单调实数序列都收敛到极限；以及柯西收敛定理，该定理指出每个柯西实数序列都收敛到极限。所有这些定理都可以在 ACA0 中证明，并且当添加到基本理论 RCA0 中时，它们中的每一个都意味着算术理解。弗里德曼（Friedman，1975）提出的这个等价集合可以被视为戴德金（Dedekind，1872）最后一章证明的非正式等价的形式化，但它是实数轴完备性的顺序概念，而不是戴德金的任意有界实数集的完备性概念。

虽然这些陈述只涉及实数轴 R，但它们可以很容易地扩展到欧几里德平面 R2、三维欧几里德空间 R3 或任何有限维欧几里德空间 Rn。这些空间的相应顺序完备性定理也可以在 ACA0 中证明，因此与 RCA0 等价，因为它们暗示了 R 的版本。更一般地说，可以在秒内表示完全可分离度量空间的概念 -排序算术，从而陈述适用于任何此类空间的这些定理的版本。这些定理也可以在 ACA0 中得到证明，正如阿斯科利引理等更强​​的概括一样。 ACA0 也足够强大，足以证明在任何紧致的完全可分离度量空间中，每个点序列都有一个收敛子序列。

尽管分析中有丰富的定理，相当于算术理解，但其他领域可能更是如此，尤其是代数。这些定理涉及各种各样的代数结构，包括可数交换群、可数域（包括有序域和形式实域）、可数交换环和可数向量空间。一些重要的例子包括定理：每个可数域都有一个强代数闭包，并且每个可数域都有一个强实数闭包；每个可数交换环都有一个最大理想；每个可数阿贝尔群都有一个唯一的可整闭群；并且可数域上的每个可数向量空间都有一个基。

可数无穷组合也为算术理解提供了几个重要的等价物。其中之一是柯尼希引理，即每棵无限、有限分支的树都包含一条无限路径。这是一个有趣的例子，其中定理的精确陈述非常重要。 König 引理对来自任何给定节点的分支数量有界的树的限制（有界 König 引理）严格弱于算术理解，事实上，它相当于弱 König 引理。另一方面，柯尼希引理的无限制版本相当于算术理解。

另一个例子是拉姆齐定理。给定固定的自然数 n≥1 和 k≥1，语句 RTnk 断言，对于 n 元组自然数的每一个 k 着色，都存在这些元组的无限单色或同质子集。当 n≥3 且 k≥2 时，RTnk 意味着对 RCA0 的算术理解。然而，RT22 命题在逆向数学中占有特殊地位，因为它位于大五分类之外：它在 RCA0 中不可证明（Specker 1971），在 WKL0 中不可证明（Jockusch 1972），并不意味着算术理解（Seetapun） & Slaman 1995），也不意味着弱 König 引理（Liu 2012）。讨论这些结果、它们的含义以及拉姆齐定理的最新工作和由其研究产生的逆向数学动物园[其他互联网资源]会让我们离题太远，但现在有许多很好的介绍性参考文献，包括 Hirschfeldt (2014) 和Dzhafarov 和 Mummert（2022：第 8 章）。

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