逆向数学（六）

6. 进一步阅读

关于反向数学和五巨头的主要参考工作是史蒂芬·辛普森（Stephen Simpson）的二阶算术子系统（Simpson 2009）。 Denis Hirschfeldt的专着Slicing The Truth（2014）是一本针对数学逻辑研究生的介绍性教科书。它的重点是诸如RT22之类的组合原理，辛普森（2009）未详细介绍。 Damir Dzhafarov和Carl Mummert的反向数学：问题，减少和证明（Dzhafarov＆Mummert 2022）是对当代反向数学的全面介绍，它列出了RCA0可提供的可提供的，仅仅是一个降低的概念，并且提供了一种概念，并且提供了一个减少的概念，并且提供辛普森（Simpson）未涵盖的当代反向数学重要性的许多重要领域，尤其是组合原理和反向数学动物园。约翰·斯蒂尔威尔（John Stillwell）的反向数学：从内而外的证明（Stillwell 2018）是一本介绍性书，旨在至少具有本科生在数学方面的教育以及对数学基础的兴趣。反向数学是数学逻辑中相对年轻的领域，因此没有确定的历史。 Dean＆Walsh（2017）的起源和主要子系统的起源以及主要子系统的起源，该系统还提供了对关键历史资源的汇总参考。

对逆向数学的动机，方法，技术和问题的一般调查是Shore（2010）。 Montalbán（2011）提供了反向数学方面的开放问题列表，尽管读者应该意识到，现在已经解决了其中许多问题，并且自从两者的出版物出版以来，反向数学的研究方向有所改变（Montalbán，2011年） （Shore 2010）。在这些调查中，有两个特别的领域的人数不足。第一个是π12句子（例如Weihrauch降低性）的更细粒度的可降低概念。 Brattka，Gherardi和Pauly（2021）最近对Weihrauch降低性和可计算分析进行了一项调查，而Hirschfeldt＆Jockusch（2016）可以找到有关π12句子可降低概念的更一般性讨论。第二个是高阶反向数学，它修改了二阶算术的形式框架以包含三阶和高级实体，从而允许在分析，拓扑等中更直接地形成许多数学对象的正式形式。 Shore（2010，2013）提出了一种使用较高递归理论的高阶反向数学方法的方法，但更具影响力的是Kohlenbach使用高阶算术的方法（Kohlenbach 2002，2005）。在此框架中已经证明了一些惊人的结果。例如，Normann＆Sanders（2019a）表明，表弟和Lindelöf的引理的三阶形式化都意味着完全二阶算术。高阶反向数学研究的其他最新工作（Schweber 2015），分析定理的强度，例如Cousin的引理和规格积分的特性（Normann＆Sanders 2019b），有关开放集的定理（Normann＆Sanders 2020） ，以及拓扑概念，例如维度和副型（Sanders 2020）。

最后，尽管已经在几个方面解决了与建设性和直觉数学有关的问题，但该条目几乎完全关注经典逻辑的背景。这省略了在建设性或直觉的环境中逆转数学的各种方法。 Ishihara（2005，2006）和Veldman（2009，2014）明确发起了当代建设性反向数学的形式，但是该领域的研究人员经常将Julian＆Richman（1984）视为已证明是建设性反向数学的第一个结果。另一个值得注意的早期例子是Mandelkern（1988）。 关于建设性数学的条目的第5节提供了对与主教建构主义相对应的非正式基础理论进行的建设性反向数学的介绍。 Diener（2020 [其他Internet资源]）对该领域的结果进行了汇总的技术概述，而Loeb（2012）对该计划进行了重要评估。

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