数学哲学中的自然主义（三）

5.1数学在方法论上是自主的吗？

玛蒂声称，正确的数学理由模型将证明传统上科学或哲学论点不会进入数学陈述的理由。例如，法国分析师Baire，Borel和Lebesgue根据确定的方法论批评了选择的公理，根据该方法的存在，对象的存在取决于其确定性：函数应定义规则，集合的成员应在此中给出。但是，确定的方式等等。但是，确定性的态度最终对数学实践没有影响，当它的数学上不受欢迎的特征变得清晰时，其同情者被沉默或放弃。例如，选择的公理允许在环和其他结构中采取最大的理想。它需要甚至分析师已经在使用的最大原则。它简化了施法算术；尽管有可疑的抽象性，但事实证明，它等同于“具体”和“数学”陈述，例如每个向量空间都有基础的说法。接受选择公理的原因是最终纯粹的数学。

Maddy还提供了令人赞叹的详细说明，说明了反对可构造性的“公理” V = l的数学原因，特别是它的采用与设定理论最大化的最大化，它禁止了Sets of sets的宇宙应尽可能膨胀（通过包含尽可能多的同构类型）。

大多数评论员都允许Maddy自然主义的描述性组成部分，自治论文，通过，将批评集中在其规范含义上。然而自主论文是非常激进的。数学与哲学之间相互作用的通常情况是一条双向街道。特别是，通常认为哲学在某种程度上构成了数学实践。例如，直觉主义者将依赖性深深地：他们认为所有数学实践都基于虚假的哲学基础，一旦取消了基础，数学就会散发出来。

玛蒂愿意承认，诸如确定性或现实主义之类的哲学学说是数学发展的重要灵感，即使他们没有理由（1997，192）。她接受“数学真理或存在或知识的理论实际上都出现在大多数数学辩论中，以及更典型的数学考虑”（2007，348）。但是她坚持认为，这种理论最终并没有扮演“器乐角色”（2007，359），并且在数学发展中，他们已经在“无关紧要的往绩”（2007，366）中获得了“无关的记录”。

那么，哲学（或更普遍的非数学）考虑是否总是落在灵感而不是理由的一边？好吧，在数学期刊或书籍中，哲学上的考虑几乎无法提出。每当他们是妈妈的时候，当他们将它们视为数量时，当一个人刮擦表面时，“数学内部”论点（1997，193），因为它们的方法论上的无关紧要，这种做法的归化模型将被“纯化”（1997年）（1997年） ，197）。如果她是对的，则此答复将从这种特定的（相当有限）的上下文类型中概括为所有数学上下文。

这种观点的含义之一是，玛蒂（Maddy）认为纯粹是数学内部的格言，例如最大化或统一，从来没有被哲学信仰所掩盖。 unify是Set理论的基础雄心的方法论后果，即提供“单个系统，其中所有数学的对象和结构都可以被建模或实例化”（1997，208-9）。然而，也许统一并设定理论的基本野心 - 正如Maddy正确观察到的事实：“设定理论（至少部分）旨在为古典数学提供基础”（2007，355），以某种方式，也许是一定程度的一定程度，受集体理论现实主义的基础，即集合理论的观点与一个集合有关。同样，对于选择的公理，它在表面上归功于其在固定理论典范中的位置，部分原因是对设定理论的根深蒂固的现实主义。有几个套装理论家记录在这一效果的主张中，因此举证责任是在Maddy上解释这些言论。

Maddy还采用以下有问题的论点。她认为，哲学辩论（例如，关于现实主义）是广泛开放的，但数学已经以一种特殊的方式发展（例如，允许不可思议的方法）表明，哲学辩论并未影响现代数学的结果（例如，2007年，2007年，2007年） ，348）。但是，关于现实主义的辩论在哲学上是广泛的，并不意味着它在数学中是广泛的。也许数学家隐含地采取了现实主义者的立场，这在某种程度上是他们对不可思议的接受的基础，即使哲学家继续辩论现实主义作为数学哲学的正确性。数学可能是哲学上的Parti Pris，这就是为什么它发展出了自己的方式。

这些反对自主性论文的观点几乎没有结论。为了评估它，需要更明确的是，在理由和灵感之间的边界所在的位置以及说某些东西落在一侧或另一侧的含义到底意味着什么。当然，我们需要更精确地确定数学演变进化中的哪些因素是正当的，并且闲置了。但是，即使自主论文不是真的，也许这几乎是正确的。也许与双条件自然主义相比，没有什么比自治论文那样强大。

5.2如果数学在方法论上是自主的，那会建立玛蒂的自然主义吗？

事实上，自主的陈述是可以接受的。实践可能会与外部影响力密封（例如占星术，教条神学），但这本身并不能使他们的主张可以接受。是什么使数学不同？

Maddy认识到她的立场（1997，203-5; 2005，449; 2007，346–7）的审查和讨论（例如Dieterle 1999，Rosen 1999，Roland 1999; Rolland 2007; Bolly Tappenden（Only Tappenden）（只有Tappenden（例如2001）更同情）。她通过区分纯净和应用学科来解决它。她指出，应用占星术可能被解释为对经验世界提出主张。使用她的普通科学标准，科学的博物学家对应用占星术的应用是错误的（因为它与公认的科学故事不同）。因此，应用占星术不应该得到博物学家的尊重。相反，纯粹的占星术是占星术被解释为处理“某些与普通物理现象没有因果关系的超自然振动”（1997，204）。但是，没有理由相信纯粹的占星术，因为它在我们的世界上最好的科学理论中没有特点。因此，在任何一种解释中，占星术对数学都是毫无疑问的。

马迪似乎想吃蛋糕吃。数学信誉的原因应该是它在科学中的应用。但是，为什么我们最好的科学中的数学特征是相信数学家的话语的原因，也就是说，这就是使它们成为真实的原因呢？人们的怀疑是，如果最佳科学中的特色是信誉的标志，那么它应该是最终决定数学理论的可接受性的科学标准。正如她指出的那样（2007，390），Maddy确实引用了一个将数学与纯粹占星术区分开的特征。但是，仍然不清楚的是为什么此功能应该在适当的数学问题上制作数学而不是科学权威。因此，看来她没有解释一个人如何始终如一地成为数学理论的数学博物学家，而是对其他一切的科学博物学家，包括数学的真理和本质。更笼统地说，鉴于真实评估的陈述中的实践问题，似乎不能提倡X标准作为这些陈述的仲裁者的可接受性，同时倡导一套不同的标准，Y标准，作为是否是仲裁员并非应该将陈述视为真实，应该如何解释等等。请注意，这是一个仅由异质而不是统一的自然主义面临的问题。

避免这种明显不一致的唯一方法是假设“接受”数学实践批准的陈述是数学实践的陈述，而数学的自主实践给出了大拇指，这并不等于将其视为真实。尽管Maddy（1997）中的几段段落提出了建议，但这种解释不是可以认真地写在她的书上的解释。此外，除了名字之外，它都涉及科学自然主义。这相当于说，无论数学家都花时间说，做和出版的一切都不应干扰，但是我们应该只注意到那些以科学的理由批准的数学主张，无论他们是否得到了拇指在数学家的语言游戏中。

最近，这张图片使Maddy的说法变得复杂，即她所说的分歧 - 不是固定理论，更普遍地数学是真实的 - 可能在科学上像瘦肉现实主义一样受到尊重，这起来很复杂，而设置的观点只有属于他们的属性通过集理论（2007，iv.4）。这个条目没有空间可以为Maddy的百叶哲学中的这种转折伸张正义。足以注意以下内容。刚刚讨论的问题似乎与其他任何现实主义者一样多。而Carealist的约束似乎将Maddy的位置转变为与这里正在考虑的异质自然主义完全不同的事物。

6。本体论自然主义

远离方法论上的自然主义，考虑现在本体论的自然主义，认为所有实体都是自然的观点。阅读此书的一种方法是，只有自然科学提出的实体才存在。第二个甚至更自然的阅读是只有时空实体。我们在最后一节中简要介绍了这两个读物，并在6.3中简要介绍认识论自然主义。

6.1自然科学作为本体论的仲裁者

在第一读中，数学哲学中的本体论自然主义是方法论科学自然主义的直接结果。它指出，数学本体论是我们最好的自然科学的数学本体论。科学的柏拉图主义者声称，在Quine和Putnam之后，这个本体论是柏拉图主义者，数学兼科学的柏拉图主义者也是如此（例如Burgess and Rosen（1997））。对科学柏拉图主义的抵抗和相关的不可或缺的论点已安装在几个方面（例如，Field 1980，Sober 1993，Maddy 1997，Ch。II.6，Paseau，2007年）。咨询Colyvan（2011）进行详细讨论。

6.2所有实体都是时空的

本体论自然主义的二读是所有实体都是时空的，在数学哲学中等于抗柏拉图主义的一种版本。

位置细分。从还原论的角度来看，数学是以逻辑语义上的面值进行的，但其对象（数字，功能，集合等）被视为时空。提倡这种观点为阿姆斯特朗（1991）和比格洛（Bigelow）（1988）中的集合。非还原主义者的观点是多种多样的。它们包括将数学作为毫无意义的符号操作（形式主义），或者作为对所有遵守公理（结构主义）的结构中的真实探索，或者作为对所有可能结构中的真实结构遵守公理的探索（模态结构主义） ）。 Bueno（即将到来）讨论了各种名义主义，即仅面容时空实体的观点。由于这些名义主义中的许多与非自然主义和本体论自然主义动机兼容，因此我们在这里不讨论它们。我们专注于主要与简化主义版本的本体论现实主义有关的问题。

还原主义的本体论自然主义和关于设定理论的非模式结构主义面临着一个直接的问题：在时空中，实体显然远远少于集合。即使是最自由的假设（存在时空点和任意区域，在这些点或区域中的任何一个或区域中都可能会同时存在一些小的实体），时空的大小及其中的物体的大小是相对较低的无限基数（肯定没有）超过的 - 即使是慷慨的）。因此，没有足够的时空实体可以从字面上解释设置理论，也没有对设定理论的结构解释，从而确保设置理论虚假性出现错误而不是真实。有关设定理论还原主义的讨论以及其他问题，请参见Paseau（2008）。

另一个问题是，即使时空足够大，可以提供一个模型，以便对集合理论进行字面解释或实例进行结构解释，但这也是关于我们宇宙的偶然事实。设定理论是正确的，但偶然性。但是，由于我们通常认为数学是必要的，因此这是数学哲学的不良后果。有些人甚至可能称其为还原。

这些问题的版本也影响米尔的经验主义（1843）。对于工厂来说，数学和逻辑是自然科学，它们的原则是自然法则。例如，算术是聚集体的理论，即混凝土实体的集合理论。几何学是混凝土实体（线，点，飞机等）理想化极限的理论，其原则是“其某些情况被夸大或忽略的真实事实”（Mill 1843，第1卷，第1卷，bk。II，CH.V.V ）。米里安数学哲学容易受到刚刚给出的基数问题的影响。 （当然，这是一种过时的批评，因为米尔时代尚未开发无限期的理论。）至于数学的偶然性，米尔咬了子弹并接受了它。

米利安观点的一个相关问题，即使是由于米尔当时的数学而出现的，它是关于聚集体聚集体的困境，即聚集体聚集体的聚集体……。

高阶聚合，如果存在的话，也只能是抽象的——还有什么呢？但如果它们不存在——如果只有一阶聚合——那么特别是就不存在数字的数量，例如说20到30之间有两个素数是没有意义或错误的。

Kitcher (1983) 试图通过模态化来复兴密尔的数学哲学。它根据可能但非实际的理想主体的操作来解释数学真理，因此属于模态主义数学哲学的范畴。 （尽管基彻本人并不喜欢这个标签（1983, 121-2）。）

还原论本体论自然主义的其他明显问题包括任意性问题以及它与数学方法严重背道而驰的事实。假设算术是对某些特定时空实体的研究。很好；但是哪些呢？当然，选择哪个时空实体作为数字零是任意的。这种批评是 Benacerraf (1965) 中提出的一般反还原论论点的一个版本。对此的回应通常是还原论并不寻求揭示数字术语的含义，而是提出一种理论识别（Paseau 2009）。与数学方法相矛盾的指控也是一项严重的指控。如果数学对象是时空的，为什么数学家不进行实验来发现它们的属性？如果数学真正关心时空，那么它的方法论肯定会更加经验主义。

由于这些和相关原因，所讨论类型的本体论自然主义观点被视为有问题，因此不受欢迎。

6.3 自然主义的反柏拉图主义和认识论自然主义

无论他们的动机是什么，本体论自然主义者根据定义（在对该学说的第二次阅读）同意柏拉图主义是错误的。有时本体论自然主义是受到形而上学说的推动，例如一切存在的事物都具有因果力量的原则。这一原则的支持者包括阿姆斯特朗（Armstrong，1997），他将其称为“埃利亚原则”（Eleatic Principle）；对于批评，请参阅 Colyvan (2001 ch. 3) 和 Papineau (2009)。

本体论自然主义最流行的论点是认识论，因此本体论自然主义经常与认识论自然主义结合在一起。如果存在抽象实体，那么我们似乎无法了解它们，也无法对它们形成可靠的信念（Benacerraf 1973，Field 1989），因为它们与我们存在因果隔离。大多数哲学家认为这是困扰柏拉图主义的主要问题。请注意，该论证通常会导致不可知论，而不是否认抽象数学对象的存在。这里不是讨论争论的地方——更多细节，请参见巴拉格尔（Balaguer，2009）——除了概述一个柏拉图主义者，同时也是一个科学或数学兼科学的自然主义者——例如奎因——如何回应它。

自然主义-柏拉图主义的回应是双管齐下的（Burgess and Rosen 1997, 2005；批评参见Linnebo 2006, Chihara 2006）。第一个方面是，从来没有设计出简单的知识标准（或可靠的信念或合理的信念）来成功地排除抽象知识，而不排除大多数自然主义者会接受的知识类型（Steiner 1975）。几个例子：（i）条件 p 是相信 p 太强的原因，因为它排除了对未来的知识； (ii) 正如自然主义柏拉图主义者所认为的，抽象数学实在如此这般实际上是对 p 信念的最佳解释的一部分；因此，这种解释条件与柏拉图主义是相容的。此外，自然主义柏拉图主义者抱怨说，即使找到了一个标准，可以在唯名论者希望划定的地方划定界限，它也会回避柏拉图主义的问题。

其次，自然主义柏拉图主义者遵循标准的奎因路线，将对我们关于柏拉图数学对象的信念的可靠性的任何挑战解释为对科学方法可靠性的普遍挑战。 （这是从科学自然主义者的角度来看；科学兼数学自然主义者可以采取同样的路线，并进行相应的调整。）但是，根据我们最好的观点——根据我们关于世界的最好理论，即自然科学，它假定了抽象的数学对象——对抽象数学实体的信仰是通过一种可靠的方法，即科学方法来实现的。这不仅仅是自我辩护，因为科学方法在这里被用来解释数学信念的可靠性，尽管是整体的。但当然，如果科学方法本身的可靠性受到质疑，博物学家别无选择，只能用科学方法本身来解释其自身的可靠性。自然主义柏拉图主义者可能会补充说，我们不能做得更好，任何质疑科学方法可靠性的人都因此放弃了自然主义阵营。那么，从这个角度来看，一旦确定柏拉图主义数学是最佳科学的一部分，柏拉图主义就不存在认识论问题。

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