特殊篇章（哥德尔可构造宇宙）
序数:超限数
I ∅是最小序数:这是0。
I {∅}是下一个序数:这是1。
{∅，{∅}}接下来依次是:这是2。
如果α是序数，那么
I α是所有序数β的集合，使得β小于α，
Iα+1 =α∨{α}是第二大序数。
ω表示最小无限序数，它是所有有限序数的集合。
集合的宇宙
发电机组
假设X是一个集合。X的幂集是集合
P(X) = {Y Y是X的子集}。
集合的累积层次
集合的论域V是通过归纳on定义Vα而生成的序数α：
1.V0 = ∅，
2.Vα+1 = P(Vα)，
3.如果α是一个极限序数，那么Vα =Sβ<α Vβ。
如果X是一个集合，那么X ∈ Vα对于某个序数α。
I V0 = ∅，V1 = {∅}，V2 = {∅，{∅}}.
这些只是序数:0，1和2。
I V3有4个元素(很明显不是序数)。
I V4有16个元素。
I V5有65，536个元素。
I V1000有很多元素。
Vω是无限的，它是所有(遗传的)有限集的集合。
Vω的概念在数学上等同于
结构的概念(N，+，):
一个结构可以在另一个结构中被解释。
超越基本公理:大基数公理
塑造V的概念
一、集合论的ZFC公理正式规定了集合论的创立v的概念原则。
ZFC公理自然被附加的公理所扩充
断言“非常大的”无限集合存在的公理。
这样的公理断言大基数的存在。
这些大枢机主教包括:
一.可衡量的基数
强壮的红衣主教
我是红衣主教
我是超强红衣主教
我超级紧凑红雀
I .可扩展的红衣主教
我是大红雀
Iω-巨大的红雀
基数:测量集合的大小
定义:当两个集合的大小相同时
两个集合X和Y有相同的基数，如果有一个
X元素与Y元素的匹配。
形式上:如果有双射，X = Y
f : X → Y
假设选择公理是ZFC公理之一：
定理(康托尔)
对于每个集合X，都有一个序数α，使得X = α。
连续统假说：CH
定理(康托尔)
所有自然数的集合N和所有实数的集合R
不具有相同的基数。
I无穷大真的有不同的“大小”！
连续统假说
假设⊆ R是无穷大。那么要么：
1.a和N有相同的基数，或者
2.a和R有相同的基数。
这是康托的连续统假说。
许多人试图解决连续统的问题假设并失败了。
连续统假说的问题很快就出现了
被广泛认为是所有问题中最重要的问题之一
现代数学。
1940年，G odel证明了它与集合的公理是一致的
连续统假说为真的理论。
没有人能反驳连续统假说。
1963年7月4日，科恩在伯克利的一次演讲中宣布
这与集合论的公理是一致的
连续统假设是错误的。
没有人能证明连续统假说。
科恩方法
如果M是ZFC的模型，那么M就包含了虚拟世界的“蓝图”
ZFC的模型N，它放大了m。这些蓝图可以从m内部构建和分析。
如果M是可数的，那么在M内构造的每个蓝图可以实现为m的真正放大。
科恩证明了ZFC的每个模型都包含一个蓝图
对于连续统假设是假的。
科恩的方法还表明，ZFC的每一个模型包含了一个扩大的蓝图
连续统假说是真的。
(Levy-Solovay)这些放大保存大基数
公理：
如果大基数公理能有所帮助
我只能以某种意想不到的方式。
科恩方法的范围:它不仅仅是关于CH
一个挑战V概念的时代
科恩的方法在过去的50年里有了很大的发展
从科恩的原著开始。
许多问题已经被证明是无法解决的，包括
集合论之外的问题：
I(群论)白石问题(Shelah)
I(解析)卡普兰斯基猜想(Solovay)
(实直线的组合学)苏斯林的问题
(索洛维-坦**姆、延森、耶赫)
I(测度论)Borel猜想(拉沃尔)
I(算子代数)Brown-Douglas-Filmore自同构
问题(菲利普斯-韦弗，法拉)
这是对……概念的严重挑战
数学无限。
I这些例子，包括连续统假说，都是关于Vω+2的陈述。
好吧，也许是时候放弃了
要求
I大基数公理是不可证明的；
我根据哥德尔第二不完全性定理。
我但是，大基数公理是可证伪的。
预言；预测；预告
无限多伍德因的存在并不矛盾
红雀将在未来1000年内被发现。
我绝对没有。
我们无法触及的真相
真正的说法当然是：
我从无限的存在中没有矛盾
许多枢机主教。
要求
I此类声明无法得到正式证明。
这表明在进化过程中
我们对数学的理解是不正式的。
如果有数学知识，而不是完全基于证据。
要求
怀疑主义者认为宇宙的概念
集是不连贯的，一定是错的。
这些真相和随之而来的预言还能是什么
解释？
但是要么CH为真，要么CH为假。
好，回到连续统假设的问题
怀疑论者的挑战
解决CH问题。
我也许应该从更深入的理解开始
自然的推测
人们可以通过观察特殊案例来更深入地理解CH。
可是哪个特例？
这有意义吗？
最简单的不可数集合
定义
集合A ⊆ Vω+1是射影集，如果：
I A可以在结构中进行逻辑定义
(Vω+1，∑)
从参数。
我们可以很容易地将定义扩展到Vω+1上的关系：
定义
集合A ⊆ Vω+1 × Vω+1是射影集，如果：
I A在逻辑上可以定义为结构中的二元关系
(Vω+1，∑)
从参数。
I . vω+1和Vω+1 × Vω+1的可数子集是射影集但Vω+1和Vω+1 × Vω+1本身也是，而这些集合是不可数的。
连续统假设和投射集
连续统假说
假设⊆ Vω+1是无穷大。那么要么：
1.a和Vω具有相同的基数，或者
2.a和Vω+1有相同的基数。
这是关于Vω+1的所有子集的陈述。
投射连续统假说
假设⊆ Vω+1是一个无限射影集。那么要么：
1.a和Vω具有相同的基数，或者
2.有一个双射体
F : Vω+1 → A
使得F是一个射影集。
这是关于Vω+1的“简单”子集的陈述。
选择的公理
定义
假如
⊆ X × Y
一项功能
F : X → Y
是A的选择函数，如果对所有a ∈ X：
I如果存在b ∈ Y使得(A，b) ∈ A那么(A，F(a)) ∈ A。
选择的公理
对于每一组
⊆ X × Y
a有一个选择函数。
选择公理与投射集
选择的射影公理
假设⊆ Vω+1 × Vω+1是一个射影集。然后是一个
功能
F : Vω+1 → Vω+1
使得：
I F是a的选择函数。
I F是一个射影集。
在20世纪早期，人们曾多次试图解决这两个问题
投射连续统假设的问题和
选择的投影公理问题；
在最简单的情况下获得成功。
然而，到1925年，这些问题看起来都没有希望了。
这两个都是没有希望的问题
G odel和Cohen的实际结构表明
问题在形式上是无法解决的。
我在G odel的宇宙L：
选择的射影公理成立。
I投射连续统假设成立。
我在科恩对L的放大中(实际给出的科恩为ch的失败定义的蓝图)：
选择的射影公理是假的。
投射连续统假设是错误的。
这解释了为什么这些问题如此困难。
但是直觉告诉我这些问题是可以解决的
正确。
意外的纠缠
定理(1984年)
假设红衣主教中有无限多的伍德。然后：
I投射连续统假设成立。
定理(1985年：马丁-斯蒂尔)
假设红衣主教中有无限多的伍德。然后：
选择的射影公理成立。
我们现在有了Vω+1和射影几何的正确概念
集合。
这个概念产生了射影集的公理。
I这些(决定性)公理反过来又与
(并由此而来)大基数公理。
但是Vω+2呢？甚至是V本身？
逻辑可定义性
可定义的幂集
每个集合x，PDef(X)表示所有y个⊆ X的集合，使得y
在结构(X，∑)中可由X中的参数逻辑定义。
I PDef(X)是X的子集的集合
X本身固有的，
I对P(X ), P是X的所有子集的集合。
Vω+1的所有射影子集的集合恰好是
给出者：
PDef(Vω+1)
有效累积层级：L
集合的累积层次
累积层次由α上的归纳定义如下。
1.V0 = ∅.
2.Vα+1 = P(Vα)。
3.如果α是一个极限序数，那么Vα =Sβ＜α Vβ。
I V是所有集合X的类，使得X ∈ Vα对于某个α。
哥德尔的可构造宇宙，L
通过对α的归纳定义Lα如下。
1.L0 = ∅.
2.Lα+1 = PDef(Lα)。
3.如果α是一个极限序数，那么lα=∞{ lββ＜α}。
i1是所有集合X的类，使得X ∈ Lα对于某个α。
V缺失的公理？
公理：V = L
假设X是一个集合。那么X ∈ L。
定理(哥德尔:1940)
假设V = L，那么连续统假设成立。
我假设V = L有一个科恩蓝图，那么：
公理V = L必须成立，蓝图是琐碎的。
要求
采用公理V = L完全否定了
科恩的方法。
我想这可能是解决办法吗？
不，有一个严重的问题。
公理V = L和大基数
定理(斯科特：1961年)
假设V = L。那么就没有可测量的基数。
事实上没有(真正的)大枢机主教。
我假设V = L。那么红衣主教中没有伍德。
显然：
公理V = L是假的。
自然的推测
也许关键是通过使用
扩展可定义幂集运算的大型基数。
但是有一个替代的方法，它基于简单的利用大基数直接推广射影集合。
射影集的另一种定义
观察
Vω+1与康托集同胚，拓扑是开的
集合给定的Vω+1
On，a = {X ⊆ Vω X ∩ Vn = a}
作为基本开集，其中n ＜ ω，a ∈ Vn+1。
I vω+1的射影子集恰好是生成的集合
从开集和收盘下操作：
I .通过连续函数拍摄图像
F : Vω+1 → Vω+1。
我接受补充。
这个定义适用于任何拓扑空间。
特别是，这将射影集的概念扩展到
欧几里得空间 Rn.
泛拜尔集
定义(冯-马吉德-伍丁)
一套一套⊆ Rn
是普遍拜尔如果：
I对于所有的拓扑空间ω
I对于所有连续函数π:ω→Rn;π乘A的原像在ω空间中具有Baire性质。
我普遍认为拜尔集具有拜尔性质
我简单地取ω= Rnπ是恒等式。
我普遍认为贝尔集是勒贝格可测的。
定理
假设V = L，那么每一个集合A ⊆ R都是a的普遍象
由连续函数构成的集合
F : R → R。
其中⊆ R
将l相对于⊆ R
假设一个⊆ R .通过对α的归纳定义Lα(A，r)如下：
1.L0(A，R)= vω+1 ∨{ A }，
2.(后继情况)Lα+1(A，R) = PDef(Lα(A，R))，
3.(极限情况)Lα(A，R)= ∨{ lβ(A，R) β ＜ α}。
i1(A，R)是所有集合X的类，使得X ∈ Lα(A，R)为
一些序数α。
I P(R) ∩ Lω1
(A，R)是包含A和的最小σ-代数
由连续函数f : R → R在向下闭。
I如果B ⊆ R和B ∈ L(A，r)那么L(B，R) ⊆ L(A，r)。所以：
I P(R) ∩ L(A，R)在连续函数的向下是闭的
F : R → R。
泛拜尔集是终极推广
投射集的
定理
假设在红雀和红雀中有一个适当的类
假设⊆ R是万能的贝尔。
那么每一个集合B ∈ L(A，R) ∩ P(R)都是泛Baire。
这样，每一个射影集都是泛贝尔的。
我清楚地知道在红衣主教中存在着一个适当的阶层。
定理
假设在红衣主教中有一个适当的木类。
(1)(马丁-斯蒂尔)假设⊆ R是泛拜尔。
我那时一副志在必得的样子。
(2)(钢)设一个⊆ R × R是泛拜尔。
那么A有一个选择函数，这个函数是通用的。
I因此L(A，R) = AD，其中AD是确定性公理。
度量泛Baire集的复杂性
定义
假设A和B是r的子集。
1.A是弱Wadge可约为B，A ≤Wadge B，如果有
一个函数π : R → R使得：
I π在R Q上连续。
我要么A = π−1
或A = R π−1[B]。
2.a和B是弱Wadge双可约的，如果B and B≤沃奇。
3.A的弱Wadge度是所有的等价类
用a弱Wadge双可约的集合。
如果一个弱Wadge可简化为B and B是普遍拜尔
那么A是万能的拜尔。
深层构造的标志
定理(马丁-斯蒂尔，马丁，瓦奇)
假设在红雀中有一个适当的类。
那么泛Baire集的弱Wadge度为
按弱Wadge可约性线性排序，而且这是一个秩序井然。
投机
也许投射集的这种最终推广可以导致
我们对公理V = L的最终概括
我怎么会？
定义公理：V = L而不定义L
一个句子ϕ是一个σ2句子，如果它的形式是：
I存在一个序数α，使得vα=ψ；
为了某句话ψ。
对于每个序数α，设
Nα = ∩{M M是传递的，M = ZFC幂集，
OrdM = α}。
其中：
如果对每个a ∈ M有一个⊂ M，则集合m是传递的
引理
以下是等效的。
(1) V = L。
(2)对于每个σ2-句子ϕ，如果V = ϕ，则存在一个
可数序数α使得Nα = ϕ.
如果我们需要在一个(2)的改写。
G odel的传递类HOD
定义
HOD是所有集合X的类，使得存在α ∈ Ord和M ∈ Vα使得
1.X ∈ M，M是传递的。
2.M的每个元素在Vα中从序数可定义参数。
对于每个集合b，都有一个最小传递集TC(b ),它包含b作为元素。
为什么是霍德？
假设N是ZF的一个模型。让霍登·⊆被定义为
那么对于每个b ∈ N，以下等式是等价的：
1.b ∈ HODN。
2.(TC(b))N的每个元素
可在N中用参数定义
从n的序数中。
HODL(阿拉伯文)
和可测量的枢机主教
定义
假设一个⊆ R .然后HODL(A，r)
这个班被称为
定义在L(A，R)内。
选择的公理必须在HODL成立
I即使L(A，R) = AD。
定理(索洛维：1967年)
假设⊆ R和L(A，R) = AD。
然后Vω1
在HODL是一个可度量的基数(A，R).
索洛维定理给出了第一个联系
决定性公理(AD)和大基数公理。
HODL(阿拉伯文)
和红衣主教中的伍德
定理
假设在红衣主教中有一个适当的类
a是全球通用的Baire。
我然后Vω1
是HODL最不可测的基数(A，R).
定义
假设⊆ R是泛贝尔。
那么θL(A，R)
序数α的上确界是这样的吗
一个满射，π : R → α，使得π ∈ L(A，R)。
IθL(A，R)是衡量一个
定理
假设在红衣主教中有一个适当的类
a是全球通用的Baire。
I然后θL(A，R)
是HODL的伍丁枢机主教.
公理V =终极-L
在基数中，一个伍德的存在可以用一个σ2-句。
I Woodin枢机主教明显存在于V；如果⊆ R是泛贝尔的，并且有一个适当的类
那就去找红衣主教吧
HODL(阿拉伯文)
=“红衣主教中有一个伍德”。
V =极限-L的公理
在红衣主教中有一个适当的等级。
对于每个σ2句子的ϕ，如果ϕ在v中成立，则有一个
贝尔普遍设定了一个⊆ R
HODL(阿拉伯文)
|= ϕ.
这只是等级相似
假设在红雀中有一个适当的类。然后是
以下是等效的：
I V =终极-L。
我假设ψ是一个句子，并且存在一个序数α
那Vα = ψ。
那么存在一个普遍的贝尔集合⊆ R，使得
HODL(阿拉伯文)
= "存在α使得Vα = ψ"
V = Ultimate-L的一些结果
定理(V =极限-L)
连续统假说成立。
定理(V =极限-L)
V = HOD。
定理(V =极限-L)
设γ∞是⊆ R的所有泛贝尔集的集合。那么
Γ∞6 = P(R)∩L(γ∞，R)
如果V =极限-L，则：
I选择公理在L(γ∞，R)中成立。
I这是对V = Ultimate-L的事实的概括
如果V = L，则存在实数的射影良序。
公理V = Ultimate-L和Cohen方法
我想V = Ultimate-L有一个科恩蓝图。
然后：
I公理V =终极-L必须成立，蓝图是琐碎。
I公理V =终极-L解决(模公理infinity)所有关于“小”集合(如Vω+2)的句子
已经被科恩的方法证明是独立的。
要求
采用公理V = Ultimate-L完全否定了科恩方法的衍生。
但是，公理V = Ultimate-L与所有大的相容吗
基本公理？
是否存在V =极限-L的Scott定理？
大枢机主教的语言：基本嵌入
定义
假设X和Y是传递集。函数j : X → Y是一个
初等嵌入if对于所有逻辑公式
ϕ[x0，。。。，xn]
和所有的a0，.。。，一个∈ X，
(x，∑)= ϕ[a0，。。。，an]当且仅当(y，∈) = ϕ[j(a0)。。。，j(an)]
同构是基本嵌入，但也是唯一的嵌入
(X，∑)和(Y，∑)的同构是平凡的。
引理
设j : Vα → Vβ是初等嵌入。然后是
以下是等效的。
(1) j不是同一性。
(2)存在一个序数η ＜ α使得j(η) 6= η。
I CRT(j)表示最小序数η，使得j(η) 6= η。
可扩展基数和超紧基数
定义(莱因哈特:(1974年))
假设δ是一个基数。
那么δ是可扩基数，如果对于每个λ ＞ δ
存在初等嵌入
j : Vλ+1 → Vj(λ)+1
使得CRT(j) = δ并且j(δ) ＞λ
定义(索洛维，莱因哈特:由马吉德(1971)重新表述)
假设δ是一个基数。
那么δ是一个超紧基数，如果对于每个λ ＞ δ 存在δ ＜ λ ＜ δ和一个初等嵌入
j : Vλ +1 → Vλ+1
使得CRT(j) = δ并且j(δ ) = δ。
弱扩张模型
定义
假设N是一个传递类，N包含序数，并且n是ZFC的典范。
那么N是δ的弱扩张模型是超紧的，如果对于每个γ ＞ δ，存在δ ＜ λ ＜ δ和一个基本的
把...嵌入
π : Vλ +1 → Vλ+1
使得CRT(π) = δ¯, π(δ)= δ，并且使得
I π(N ∩ Vλ ) = N ∩ Vλ。
I π (N ∩ Vλ ) ∈ N。
假设N是δ的弱扩张模型是超紧的，并且α ≥ δ+.
I N由N ∩ Vα唯一指定。
I N是σ2-可由N ∩ Vα定义的。
弱扩张模型理论是v理论的一部分。
δ以上的大基数是向下绝对到弱
δ is超紧的扩张模型
定理
假设N是δ是超紧的弱扩张模型，κ ＞ δ，并且κ是可扩基数。
那么κ是n中的可扩展基数。
定理
假设N是δ是超紧的弱扩张模型，κ ＞ δ，而且κ是一个超紧基数。
那么κ是n中的超级基数。
对于所有大的基本概念，都有这种概括。
普遍性定理
定理(普遍性定理)
假设N是δ是超紧的弱扩张模型，
α ＞ δ是一个极限序数
j : Vα+2 → Vj(α)+2
是一种初等嵌入，使得δ ＜ CRT(j)。然后：
I j(N ∩ Vα) = N ∩ Vj(α).
I j (N ∩ Vα) ∈ N。
一.结论:斯科特的观点不能一概而论
定理对任何公理成立在一些弱扩张δ的模型是超紧的，对于任何δ。
终极L猜想
终极L猜想
(ZFC)假设δ是可扩基数。然后(可证明地)
有一个传递类N，使得：
1.n是δ是超紧的弱扩张模型。
2.N = "V = Ultimate-L "。
终极L猜想意味着没有一般化
斯科特定理到公理V =终极-L。
我通过普遍性定理。
终极L猜想是一个存在数论声明。
如果它是不可判定的，那么它一定是假的。
要求
终极L猜想要么是真的，要么是假的，它不可能毫无意义。
集合论面临两种未来之一
终极L猜想简化了整个后科恩
关于集合论真理的争论只涉及一个问题
我必须有一个答案。
未来1:终极-L猜想成立。
那么公理V = Ultimate-L很可能是丢失的密钥
v的公理。
这个公理没有斯科特定理的推广
V =终极-L。
所有被证明无法解决的问题
Cohen方法是模大基数公理分解的。
未来2:终极-L猜想是假的。
然后，我编写程序，通过归纳
成功理解Vω+1和投射集失败。
简化版
可构造宇宙L
定义Def()为一个包含所有X子集的集合。
一个X的子集x位于Def(X)当且仅当存在一个一阶逻辑公式φ和u₀,u₁,u₂,……∈X
使得x = {y∈X :φˣ[y,u₀,u₁,u₂,……]
然后：
L₀=∅
L₁=Def(L1)={∅}=1
Ln+1=Def(Ln)=n
Lω=∪＿k＜ω Lω
Lλ=∪＿k＜λ λ is a limit ordinalג是极限序数
L=∪＿k Lk，k跑遍所有序数
