数学论文（不可达基数的广义随机实压迫）

推论33：设δ∈S*。如果δ成功，则集合q’δ*=q*δ、 η：η∈∧*δ是Q′δ的反链高于rδ*。 证据回想一下，如果η=Γ∈∧*δ 则η/∈q*δ、 Γ∧∧/∈q*δ、 η （见定义19）和召回权利要求30（4）。 2.3.强迫的性质。 权利要求34：设δ∈S*，使得S*åδ在δ中是非平稳的。然后强迫Qδ在cf（δ）中策略上是完全的。 备注35：记住，如果δ∈S*不可访问，则S*åδ不可访问在δ中是稳定的。此外，如果α＜λ且δ=miν（S*\（α+1）），则S*_不动的证据首先，假设这适用于每个δ0＜δ。现在，有一个E-Clubδ的值，使得EåS＊=∅。设p∈Qδ和α=cf（δ）。我们将玩这个游戏α（p，Qδ），确定COM的策略； （1） 在第一步中，播放器COM将选择条件p0≥p以及之后INC选择q0，COM选择δ与Sq0不相交的ClubE0。 （2） 在后续步骤i+1＜α：看看玩家INC选择的条件qi在第i个步骤中；设βi=lg（tr（qi））。此外，设γi=miν（E\（βi+1））。现在选择某个ηi+1∈qi∈Tγi；玩家COM将选择pi+1=（qi）[ηi+1]；这是一个根据权利要求30所述的强制Qδ的条件。注意tr（qi）ηi+1，qi≤Qδpi+1，根据玩家COM的选择，她强迫玩家INCηi+1 tr（qi+1）。 （3） 在极限步骤i（*）<α中：玩家COM将选择pi（*）=ii（*），因此根据权利要求9（1）Si（*）↾ǫ是非平稳的；把所有东西放在一起Si（*）是脆弱的。 对于所有i＜i（*），我们将看到p*Γi（*），δ，Si（*）⊆qi；作为tr（qi）Γi（*）看到通过前面的引理证明了qi[Γi（*）]⊆qi。还有，qi[Γi（*）]和p*Γi（*），δ，Si（*）有相同的主干，第一个有一个较小的标准集：Sqi⊆Si（*）.撤回索赔30（5）我们得到p*Γi（*），δ，Si（*）⊆qi[Γi（*]，因此p*Γi（*），δ，Si（*）⊆qi和p*Γi（*），δ，Si（*）⊆pi（*）。 我们也需要看到pi（*）⊆p*Γi（*），δ，Si（*）。 假设这不成立。那么，对于一些Γ′∈pi（*）/∈p*Γi（*），δ，Si（*）.设δ′为极小值使得↾δ′/∈p*Γi（*），δ，Si（*）.必要时回顾定义4。Γ′↾δ′∈limδ′（p*Γi（*），δ′，Si（*）_8δ′）和Γ′↾δ′∈limδ′（rδ*'）\({limδ′（qδ*'，η′）：η′∈∧*δ′}）。 Asδ′∈Si（*），存在i＜i（*）使得δ′∈Sqi；因为所有人δ′′＜δ’，Γ′↾δ′′∈p*Γi（*），δ，Si（*）⊆qi，所以↾δ′∈limδ′（qi），并由qi的构造 作为Γ′↾δ′∈limδ′（rδ*′）\（｛limδ′（qδ*'，η′）：η′∈∧*δ′}），则可以得出↾δ′/∈qi，一个与假设Γ′∈pi（*）⊆qi的矛盾。 最后，我们有了p*Γi（*），δ，Si（*）=pi（*），此外，对于所有i＜i（*），qi≤Qλpi（*），所以很容易pi（*）是最小的上确界这些条件。 最后，我们可以看到玩家COM对每个i<δ都有合法的移动，因此强迫Qδ在α中策略上是完全的。根据权利要求34和定理36： 推论37：对于所有的δ∈S*Ş{λ}，强迫Qδ在策略上是完全的在cf（δ）中。 定理38：如果δ∈S*Ş{λ}，则δ+链条件适用于强制Qδ。 证据设A⊆Qδ为反链。则对于所有p，q∈A，根据权利要求30（5），tr（p）=tr（q）∈T＜δ。回顾我们对良好结构r的定义对于每个ζ＜δ，θζ＜Δ，并且由于δ是一个强极限|θi|=|T＜δ|≤δ；特别是对于任何反链A⊆Qδ，|A|≤δ。 推论39：根据推论37和定理38，强迫Qλ≤λ-λ+链条件成立。 定理40：如果λ是不可访问基数，则强迫Qλ是λ-边界。 证据设p＊∈Qλ和~τ是从λ到λ的函数的Qλ名称。我们会将似有一个条件q≥qλp＊，q∈qλ和一个函数g:λ→λ使得q qλ“~τ≤g”。在这个证明中，当比较时，我们表示≤而不是≤Qλ强制条件。 对于每个ǫ＜λ，我们将找到一个序列p \491，S \491、E \491和α\491使得： （1） p0=p*， （2） pǫ=p*̺，λ，Sǫ对于̺=tr（p*）， （3） ζ≤ǫ的序列是递增且连续的， （4） E是一个与S不相交的俱乐部， （5） 序列Eǫ：， （6） 对于ǫ=ζ+1＜λ，我们得到αǫ;∈Eζ和α\491∈S＊\（Sζ\（αζ+1））， （7） 对于极限ǫ＜λ， （8） 序列αζ：ζ≤ǫ将连续增加，由序数大于lg（̺）， （9） 对于ζ＜ǫ＜λ，Sζå（αζ+1）=Sǫ， （10） 对于ǫ=ζ+1，序数α表示一个级别，在该级别中，在相应的树中，ζ中函数的值将被确定，即： （a） 对于所有的Γ∈pǫåTα\491，p[η]ǫ强制值~τ（ζ）， （b） pǫQλ“~τ（ζ）∈uζ”，其中uζ的基数为⊆λ<λ。 接下来，我们通过归纳，看到这种构造是可能的： --对于基ǫ=0： 我们有p0=p*，α0=lg（̺），所以（1）成立；Sǫ是脆弱集对应于p，并且设E是λ与S不相交的俱乐部（因为S是脆弱的）。 --对于ǫ＜λ极限： 从集合Sǫ开始：letSǫ=ζ＜ǫSζ⊆S*。 然后很容易看出第（9）条成立（通过归纳假设）。允许同时α=ζ＜αζ和E=ζ＜Eζ，并观察到E是一个不相交的Club因此，第（4）和（5）条适用。 现在我们将证明集合Sǫ确实是脆弱的：首先，集合SDz在λ中是非平稳的，作为在λ中非平稳的ǫ＜λ=cf（λ）集合的并集，并且，根据备注8，当S*是非反射的时，Sǫ也是脆弱的，但我们必须一般地证明它。 接下来，设γ＜λ是不可数余数的序数，并看Sǫ↾γ： 如果存在γ＜αζ的ζ＜ǫ，则为Sǫ;å（αζ+1）=Sζå，因此γ=Sζ，并且由于Sζ是脆弱的，所以该集合是非平稳的。 对于γ=α，首先观察到通过将Eǫ定义为Club的极限Eζ：ζ＜ǫ，并且由于球杆的序列正在减少，并且通过的（6）归纳假说我们有αǫ∈ζ＜ǫEζ=Eǫ，这是第（7）条，因此αǫ/∈Sǫ。 •当αǫ是正则的（因此不可访问）时：在归纳中通过（8）假设集合{αζ：ζ是极限序数＜ǫ}是α的一个Club。 此外，根据归纳假说中的第（7）条，对于所有ζ＜ǫ极限，αζ/∈Sζ，以及根据归纳假说中的第（9）条，对于ζ＜ξ＜ǫ，αζ/∈Sξ，因此αζ/∈Sǫ和这个Club是脱节的Sǫ↾αǫ，所以这不是一个固定集。 •当αǫ是奇异的时，集合S*根据定义不反映到α\491，因此S*↾α是一个非平稳集合，特别是S↾αǫ⊆S*↾α是。而不是由（8）设定的静止集。 最后，对于γ＞αǫ： •如果cf（γ）＞ǫ，那么对于所有ζ＜ǫ;，我们都有Sζ↾γ是非平稳的从归纳假说的第（2）条出发，因此存在γ的俱乐部与之不相交，称之为Cζ。出租Cǫ=ζ＜ǫCζ，这是一个作为ǫ俱乐部的交集的俱乐部，根据其定义，与S不相交，所以Sǫ↾γ是非平稳的。 •否则，如果γ＞ǫ≥cf（γ），特别是，则得出γ是奇异的，因此S*不反映γ，因此使用备注8的Sǫ⊆S*也不反映γ。 设pǫ=p*̺，λ，Sǫ 因此，第（2）条成立。此外，pǫ⊆ζ＜p＊ ̺，λ，Sζ。为什么？ 假设存在一些Γ′∈ζ＜ǫp*̺，λ，Sζ\pǫ；像 ̺Γ'有一些最小的δ′其中↾δ′/∈pǫ。那么Γ'↾δ'∈limδ′(pǫåt＜δ′）和定义4必然为Γ′↾δ′∈limδ′（rδ*′）\（｛limδ′（qδ*'，η′）：η′∈∧*δ′}）。由于一些ζ＜ǫ，δ′∈Sζ，则得到↾δ′/∈p*̺，λ，Sζ 因此/∈p*̺，λ，Sζ一矛盾因此pǫ=ζ<ǫp*̺，λ，Sζ以及（3）成立。 --对于ǫ=ζ+1： 这是主要情况，因为我们在这里处理的是第（10）条确定函数的值。 定义以下集合： Jǫ={r∈Qλ：r强制一个值~τ（ζ）∧pζ≤Qλr∧lg（tr（r））＞αζ}并观察： （a） 这个集合在pζ之上是稠密的：对于pζ≤p的所有p∈Qλ，我们将发现条件r强于p，强制值~τ（ζ）和，如果lg（tr（r））＞αζ不成立，我们可以用足够长的主干将r扩展到更强的条件。 （b） 集合是开放的：对于所有q∈Jǫ和r≥q，q强制一个值~τ（ζ）和，因此r也是，lg（tr（r））≥lg（trq）＞αζ，当然pζ≤q≤r。 现在定义一个集合∧={tr（r）：r∈Jǫ}，并且对于每个η∈∧，选择一些q，η∈{r∈J：tr（r）=η}。 选择一个集∧1ǫ⊆∧ǫ不同的η，Γ∈∧1ǫ，Γ/∈qǫ；允许q＝q，η：η∈∧1。 •观察序列 qǫ=q \491，η：η∈∧1 因为： （1） ∧1ǫ⊆T＜λ。 （2） 对于所有η∈∧1，我们有q，η∈qλ⊆Q0λ tr（qǫ，η）=η。 （3） 如果η，Γ∈∧1ǫ不同，则根据∧1的定义， tr（qǫ，η）=η/∈q \491，η。 （4） r*qρ∈T＜λ：（η∈∧1）)（ρ∈qǫ，η）}=pζ；特别地，它属于Qλ⊆Q0λ .观察到对于所有η∈∧1ǫ，q \491，η⊆pζ 因此r*qǫ⊆pζ。通过一个矛盾假设，Γ∈pζ\r*qǫ；然后有p[η]ζ≤QλQ，强制为~τ（ζ）及其数轴较长 比az，所以q∈Jǫ和tr（q）∈L \491如果tr（q）∈L1qǫ与假设相矛盾；因此存在ν′∈L1ǫ。 那个tr（q）∈qǫ，ν′∧tr（q \491，ν’）∈q，所以我们再次得到tr（q）∈rqǫ，但是后来连接矛盾ν和ν的选择qǫ矛盾。 对于所有的力t（g）？调用此值此外让Cí是一个与Sqǫ脱节的Club。 首先，定义俱乐部Eǫ的近似值。 e'ǫ={d∈Ez:d＞az是一个极限序数，使得ν′∈L1ǫ8745；T＜d→d∈Cν′，并且ν∈pgåT＜d→ν∈qǫ或对于一些8712；T＜dåL1 \491集合E'ǫ是l的Club： •对于每增加一个序数序列都是关闭的是这样的，对所有人来说'ǫ和g#＜l，它们的极限d。 当然是一个极限序数，属于Ez。此外，对于所有人ν′∈L1ǫ与lg（ν′）＜d有j0＜g这样对于所有j0，我们有lg（ν′）＜dj（因为δ被定义为这些的极限）。然后∈Cν′，并且由于Cν′是一个Club，所以它遵循∈Cν'，作为的极限dj:j0＜j＜g④。 最后，如果ν∈pgåT＜d，则lg（ν）＜lg（ν）＜di∈T＜di∈p∈T＜d。如di∈E'ǫ。必要地，存在∈T＜diåL1ǫ，使得ν∈qǫh，但显然是8712；T＜dåL1 \491。 所以我们完了。 •否则不受约束，集合E'ǫ是由一些x＜l？然后对于每个极限x＜d∈Ez∈E'ǫ 所以（1）∃ν′∈L1 使得d/∈Cν′o r（2）（∃ν∈pgåT＜d）（\870 4; T＜dåL1（ν/∈qǫ，h）。 由于Ez\（xx1）是静止的，对于某些W\（xX1）静止的。 在l中，对于所有d∈W都出现相同的情况。如果是情况（2），当|T＜a|＜l对于α＜l时，根据Fodor引理存在一个平稳集W2⊆Ez\（x.1）使得对于所有∈W2，我们可以选择相同的ν∈pgåT＜d-一个矛盾。所以（2）是不可能的，如果是的话（1）因此d/∈ν∈L1ǫ8745；T＜dCν′8838；'ν∈L 1 \491 8745，T＜xCν′C为|L1 \491对于任何x＜d∈Ez，我们得到{d∈（x，l）åEz:d是极限序数}åC=⇧；然而，C是一个Club，是少于l个Club的交集违反。 定义级别。 我们希望有一个序数δ，它具有以下性质： （a） δ∈E'ǫξS*， （b） αζ＜δ（从（a）得出）， （c） rδ*=pζ， （d）qδ*=qǫ，ηάT＜δ：η∈∧1ǫ。 存在具有这些属性的序数： 首先，根据权利要求24，存在δ∈S*的平稳集，使得子句（d）保持并称之为S+；作为E'ǫ是一个Club，我们得到S+åE'ǫ是静止的。看到对于所有的δ∈S+åE'ǫ 根据第（d）条 rδ*=η∈∧*δqη*=Γ∈∧1.ǫåT＜δqǫ，ΓåT＜δ； 此外，根据E的定义'ǫ 我们有pζξT＜δ=Γ∈∧1ǫåT＜δqǫ， 所以对于所有的δ∈S+åE'ǫ 第（c）条适用。由于此集合不是空的（作为静止的set）存在这样的δ，我们就完了。 设αǫ=δ。请注意，特别是以下内容∧1ǫåT＜αǫ=∧*αǫ。 我们现在可以让Eǫ=E'ǫ\（αǫ+1）。注意，Eǫ也是λ中的一个Club。 定义pǫ的脆弱集合。 首先，在第αǫ-级中，我们定义了由的条件q*αǫ：∧2ǫ=pζξTα*αǫ，Γ）：Γ∈∧*αǫ}。 对于η∈∧2ǫ，根据上面的定义和那里的级别定义是唯一的Γ∈∧*αη∈lim（q*αǫ，Γ*αǫ，Γ和，回顾定义4，η∈lim（q*αǫ，Γ）也意味着η∈q；设rη：=（qǫ，Γ）[η]。 现在，定义Sǫ1={Srη\（αǫ+1）：η∈∧2ǫ}。 观察到对于每个η∈∧2ǫ，Srη⊆Sqǫ，对于一些Γ∈∧*αǫ⊆T＜α （如下来自rη=（qǫ，Γ）[η]和权利要求30（1））。因此Sǫ1⊆：Γ∈∧*αǫ} 这是≤|T<α|≤αǫ集，每个集都是的一个脆弱子集S*\（αǫ+1），特别是λ中的非平稳性。所以他们的联盟将是≤αǫ＜λ的并集（当λ不可访问时）非平稳集，以及当λ=cf（λ）。 并且根据权利要求9，Sǫ1是λ的非平稳子集。 接下来，设αǫ＜δ＜λ： •如果δ是S*中不可访问的基数，我们想证明Sǫ1↾δ是δ中的非平稳性：as 2αǫ＜δ（通过δ的不可访问性）并且由于所有η∈∧2ǫ集合Srη是脆弱的，特别是Srη↾δ是非平稳的，所以Sǫ1是＜δ=cf（δ）非平稳集的并集，并且根据权利要求9不是静止的。 •否则，特别是S*不反映为δ，则集合S*↾δ在δ中是非平稳的，在Sǫ1中也是如此↾δ乘以（8）。 这表明Sǫ1是脆弱的，因此Sǫ=Sζ那也是脆弱的。 此外，我们可以看到，作为Eζ\（αǫ+1）的子集，Eǫ与Sζõ｛α\491｝不相交以及归纳假说；此外，对于所有δ∈Eǫ，δ∈Γ′∈∧1ǫCΓ′。 对于所有η∈∧2ǫ，Srη⊆Sqǫ，对于一些Γ∈∧1ǫåT＜αǫ;⊆∧与Srη不相交，特别是δ/∈Srη。 最后我们得到了SǫåEǫ=∅。定义条件。 条件为pǫ=p*̺，λ，Sǫ 因此pǫ∈Qλ。我们希望pǫ⊆pζ 保持，使条件比前一级别更强；这是形成的，因为我们使用的是一个比pζ的更大的脆弱集。 声明：对于所有的ρ∈pζ，ρ∈pǫ当且仅当（lg（ρ）＜αǫ和（η∈∧2ǫ)（ρ∈rη））。 证据 （1） 如果ρ∈pǫ，则（a）lg（ρ）<αǫ。在（b）中， 设η∈∧2ǫ，并且假设δ1是极小的，使得ρ↾δ1/∈rηsoδ1∈Srη，在这种情况下，δ1是成功的，并且ρ↾δ1∈limδ1（rδ*1）δ1（qδ*1，η′）：η′∈∧*δ1}。 因此ρ↾δ1/∈pǫ⇒ρ/∈pǫ——一个矛盾。 然后我们得到α≤lg（ρ）→（η∈∧2ǫ)（ρ∈rη）。 （2） 对于另一个方向，如果ρ使得lg（ρ）＜αǫ，ρ∈pζ，并且如果α≤lg（ρ），设ρ↾αǫ=：η；则η∈∧2∧ρ∈rη。如果ρ/∈pǫ，对于一些lg（̺）＜δ1∈Sǫ，ρ↾δ1∈limδ1（rδ*1）\（｛limδ1（qδ*1，η′）：η′∈∧*δ1}）。 （a） 如果δ1<αǫ，则δ1∈Sζ和ρ↾δ1/∈pζ——一个矛盾。 （b） 如果δ1＞α，则δ1∈Sǫ1，所以对于一些η′∈∧2ǫ，δ1∈Srη′和ρ↾δ1/∈rη′——一个矛盾。 （c） 如果δ1=α，我们有ρ∈rη=（q*αǫ，Γ）[η]——一个矛盾。 我们已经说完了。 现在观察： •我们可以很容易地验证pζ≤Qλpǫ。 •集合{rη：η∈∧2λ：设p≤Q；假定在{qårη：η∈∧2中不存在强迫条件ǫ}。回想一下ρ∈pǫ⇔ρ∈{rη：η∈∧2ǫ}； 则q=qåpǫ={qårη：η∈∧2ǫ}-作为权利的矛盾边不能是条件。 •事实上，修剪是为了通过这一集合精确地获得pǫ。 •因此，对于所有η∈∧2ǫ，rη~τ（ζ）=γ，η对于一些ηη，我们可以写uζ={γǫ，η：η∈∧2ǫ}和拥有pǫ“~τ（ζ）∈uζ”。 第（10）条适用，因此施工是可能的。 --设S′=ǫ＜λ；这是不稳定的，因为∆ǫ＜λEǫ对于所有的δ＜λ，存在S′∈δ＝S的ǫ＜λ（根据子句（9））。 --最后，设q=p* ̺，λ，S′。那么p≤q，我们可以定义g:λ→λ依据： 对于λ，设g（ǫ）=sup{uǫ}，其中u来自我们的归纳中的第（10）（b）条，因此uζ是基数＜λ的λ的子集，显然g（ǫ）确实＜λ。所以g是一个从λ到λ的函数，它属于V。此外，根据第（10）（b）条，我们有pǫ+1“~τ（ǫ）∈u“，因此pǫ+1”~τ（ǫ）≤g（\491）”。但是q高于pǫ+1ǫ＜λ，因此q“~τ（ǫ）≤g（\491）”。 由于p比我们原来的p强，我们已经证明了这个定理。 推论41：强迫Qλ类似于λ的随机实强迫。 参考文献 [1] J.Cummings、M.Foreman和M.Magidor，《正方形、尺度和静止反射》，《数学逻辑杂志》1（2001），35-98。 [2] L.J.Halbeisen，组合集理论与强迫，施普林格数学专著，施普林格伦敦出版社，2012年。 [3] T.Jech，《集合论》，施普林格数学专著，柏林施普林格出版社，2003年。 [4] A.Kanamori，《高等无限》，斯普林格数学专著，斯普林格，Berlin，2009。[5]S.Shelah，Cohen和随机强迫有多特别，即族的布尔代数实数模贫乏或零的子集，《以色列数学杂志》，88（1994），159–174 [6] S.Shelah，与不可访问λ的零理想平行：第一部分，数学档案逻辑56（2017），319–383。 [7] S.Shelah，不可接近的生物迭代，准备中，Shelah中的1100号出版物列表。 [8] S.Shelah，带链条件的不可数基数的有界强迫，E82Shelah出版物列表。 [9] T.Baumhauer，M.Goldstern和S.Shelah，高等Cicho´n图，原教旨主义Mathematicae.