Ultimate-L，终极-L
定义
假设λ是不可数基数。
如果存在余尾集X ⊂ λ，则I λ是奇异基数
使得X ＜ λ。
如果不存在共尾集，则I λ是正则基数
X ⊂ λ使得X ＜ λ。
引理(选择公理)
每个(无限)继任基数都是正规基数。
定义
假设λ是不可数基数。
那么cof(λ)就是
最小可能x，其中X ⊂ λ在λ中是共尾的。
I cof(λ)总是正则基数。
如果λ是正则的，那么cof(λ) = λ。
如果λ是单数，那么cof(λ) ＜ λ。
詹森二分法定理
定理(詹森)
恰好下列之一成立。
(1)对于所有的奇异基数γ，γ是L和中的奇异基数
γ+ = (γ+)L.
I L接近v。
(2)l中的每个不可数基数都是正则极限基数。
I L远离v。
斯科特定理的强有力版本:
定理(银)
假设有一个可测基数。
那么L远离v。
塔尔斯基定理和哥德尔响应
定理(塔尔斯基)
假设M = ZF，设X是所有α ∈ M的集合，使得α是
可在M中定义，不带参数。
如果没有参数，X在M中是不可定义的。
塔尔斯基定理和哥德尔响应
定理(塔尔斯基)
假设M = ZF，设X是所有α ∈ M的集合，使得α是
可在M中定义，不带参数。
如果没有参数，X在M中是不可定义的。
定理(模型)
假设M = ZF，X是所有α ∈ M集合，使得
对于M的某个序数b，α在M中可由b定义。
I那么X在M中是σ2-可定义的，没有参数。
G odel的传递类HOD
我记得集合M是传递的，如果M的每个元素都是α
m的子集。
定义
HOD是所有集合X的类，使得存在α ∈Ord和
⊂先生Vα这样
1.X ∈ M，M是传递的。
2.M的每个元素在Vα中从序数可定义参数。
我(ZF)选择的公理在霍德那里成立。
我是⊆·霍德。
I HOD是所有传递集M的并集，使得每个
M的元素在V中可由序参数定义。
我被G odel的回答打动了。
固定集合
定义
假设λ是不可数正则基数。
1.如果c在λ中是共尾的，则集合c的⊂λ是闭无界的
C包含其所有低于λ的极限点:
1.对于所有的极限序数η ＜ λ，如果C∩；η在η中是共尾的，那么η ∈ C。
2.如果集合S ∩ C δ=全闭的∅，则集合S ⊂ λ是平稳的无界集合C ⊂ λ。
示例:
我设⊂ ω2是所有序数α的集合，使得cof(α) = ω。
I S是ω2的平稳子集，
I ω2 S是ω2的平稳子集。
索洛维分裂定理
定理(索洛维)
假设λ是一个不可数的正则基数，并且S⊂ λ是静止的。
然后有一个分区
hSα : α ＜ λi
λ的许多两两不相交的平稳子集。
但是假设S ∈ HOD。
我可以要求
Sα ∈ HOD
对于所有α ＜ λ？
我或者只是找到一个把S分成2个固定集合的划分，每个集合在HOD？
引理
假设λ是不可数的正则基数，并且:
⊂ λ是稳定的。
I κ ＜ λ且(2κ)
HOD ≥ λ。
然后是一个隔断
hSα : α ＜ κi
分解成λ的κ-多个成对不相交的固定子集，使得
hSα : α ＜ κi ∈ HOD。
但是如果:
I S = {α ＜ λ cof(α) = ω}和(2κ)
HOD ＜ λ？
定义
设λ是不可数正则基数，设
S = {α ＜ λ cof(α) = ω}。
那么λ在HOD中是ω-强可测的，如果存在κ ＜ λ
使得:
1. (2κ)
HOD ＜ λ，
2.不存在S的hSα α ＜ κi到平稳集的划分到这样的程度
Sα ∈ HOD
对于所有α ＜ λ。
引理
假设λ在HOD中ω-强可测。
然后
HOD = λ是可测基数。
可扩展红雀
引理
假如
π : Vα+1 → Vπ(α)+1
是初等嵌入，π不是恒等式。
那么存在π(η) δ= η的序数η。
I CRT(π)表示最小η，使得π(η) δ= η。
定义(莱因哈特)
假设δ是一个基数。
那么δ是可扩基数，如果对于每个λ ＞δ
存在初等嵌入
π : Vλ+1 → Vπ(λ)+1
使得CRT(π) = δ并且π(δ) ＞ λ。
可扩基数和一个二分法定理
定理(HOD二分法定理(弱版本))
假设δ是可扩基数。
然后是下面的一个保持。
(1)没有正则基数κ ≥ δ在HOD中是ω-强可测的。
进一步，假设γ是奇异基数，γ ＞ δ。
I那么γ是HOD和γ中的奇异基数
+ = (γ+)
可扩基数和一个二分法定理
定理(HOD二分法定理(弱版本))
假设δ是可扩基数。
然后是下面的一个保持。
(1)没有正则基数κ ≥ δ在HOD中是ω-强可测的。
进一步，假设γ是奇异基数，γ ＞ δ。
I那么γ是HOD和γ中的奇异基数
+ = (γ+)
(2)每个正则基数κ ≥ δ都是ω-强可测的
如果有一个可扩展的红衣主教，那么霍德必须是
靠近V或者HOD一定远离V。
这就像詹森二分法定理，但是
用HOD代替l。
超级紧密度
定义
假设κ是不可数正则基数，κ ＜ λ。
1.Pκ(λ) = {σ ⊂ λ σ ＜ κ}。
2.设U ⊆ P (Pκ(λ))是一个超滤子。
如果对于每个α ＜ λ，
{σ ∈ Pκ(λ) α ∈ σ} ∈ U。
对于每个函数，I U是正常的
f : Pκ(λ) → λ
到这样的程度
{σ ∈ Pκ(λ) f (σ) ∈ σ} ∈ U，
存在α ＜ λ，使得
{σ ∈ Pκ(λ) f (σ) = α} ∈ U。
超级致密红雀
定义(索洛维，莱因哈特)
假设κ是不可数的正则基数。
I那么κ是一个超紧基数，如果对于每个λ ＞ κ
在Pκ(λ)上存在一个超滤子U，使得:
I U是κ-完全的、正常的、精细的超滤器
引理(马吉德)
假设δ是强不可达的。
那么下面是相当于
(1) δ是超紧的。
(2)对于所有λ ＞ δ，存在δ ＜ λ ＜ δ和一个初等
把...嵌入
π : Vλ +1 → Vλ+1
使得CRT(π) = δ，并且使得π(δ ) = δ。
超紧基数和一个二分法定理
定理
假设δ是超紧基数，κ ＞ δ是正则的
基数，并且κ是ω-在HOD中强可测的。
我于是每一个正则基数λ ＞ 2
κ
ω-是强可测的吗
假设δ是一个可扩展基数，那么就可以得到δ
更有力的结论。
超紧基数和奇异基数
假设
定理(索洛维)
假设δ是超紧基数，γ ＞ δ是α
奇异强极限基数。
我接着2γ = γ+.
定理(银)
假设δ是一个超紧基数。
然后有一个通用的V的扩展V[G]使得在V[G]中:
I δ是一个超级紧基数。
I 2
δ ＞ δ+.
索洛维定理是最强有力的定理
超紧基数和广义连续统假设。
δ-覆盖和δ-逼近性质
定义(哈姆金斯)
假设N是内模，δ是不可数正则
v的红衣主教。
1.n具有δ-覆盖性质，如果对于所有σ ⊂ N，如果σ ＜ δ，则
存在τ ⊂ N，使得:
I σ ⊂ τ ,
I τ ∈ N,
I τ ＜ δ.
2.n具有δ-逼近性质，如果对于所有集合X ⊂ N，
以下是等效的。
I X ∈ N。
I对于所有σ ∈ N如果σ ＜ δ那么σ ∩ X ∈ N。
对于每个(无限)基数γ:
I H(γ)表示所有传递集M的并集，使得
M ＜ γ。
哈姆金斯唯一性定理
定理(哈姆金斯)
假设N0和N1都具有δ-逼近性质，并且δ-覆盖性质。
假设
I N0 ∩ H(δ+) = N1 ∩ H(δ+).
然后:
我不= N1。
推论
假设N具有δ-逼近性质和δ-覆盖性质。
设A = N ∩ H(δ+).
那么N ∩ H(γ)在H(γ)中是(一致)可定义的，
I对于所有的强极限基数γ ＞ δ+。
I N是参数的σ2可定义类。
具有δ-逼近性质的内部模型和
δ-覆盖性质接近于V
定理
假设N是一个具有δ-逼近性质的内模
和δ-覆盖性质。
我假设γ ＞ δ，γ是单数基数。
然后:
I γ是n中的单数基数。
I γ+ = (γ+)
名词（noun的缩写）
集合论地质学
定义(哈姆金斯)
内模N是V if的基ZFC。
I有一个偏序P ∈ N和一个n-一般滤子G ⊆ P
使得V = N[G]。
允许I G是平凡的，在这种情况下N = V
引理(哈姆金斯)
假设N是v的底数，那么对于所有足够大的正则
枢机主教δ:
I N具有δ-逼近性质。
I N具有δ-覆盖性质。
我简单地取δ为N的任意正则基数，使得PN ＜ δ。
我通过哈姆金斯唯一性定理。
推论
V的基是参数的σ2可定义类。
集合论地质学(哈姆金斯)
V的理由的可能结构是什么？
这是v的一阶理论的一部分。
我假设N ⊆ M ⊆ V，n是v的底数，M = ZFC。
那么M是V的底，N是M的底。
定义(哈姆金斯)
V的地幔是V的所有地面的交集。
设M为v的衣钵。
I (Hamkins)如果M是V的一个基，那么M没有非平凡的我(哈姆金斯)M = ZF，但M必须= ZFC吗？
有向理由问题
问题(哈姆金斯)
V向下的理由是包含下的set-directed吗？
理由。
我(哈姆金斯)M = ZF，但M必须= ZFC吗？
有向理由问题
问题(哈姆金斯)
V向下的理由是包含下的set-directed吗？
要求
假设V的底是向下的。
然后是以下是等效的。
1.V的外衣是V的底子。
2.只有很多v的理由。
3.这是v的最小接地。
要求
假设V的底是向下集合方向的，设M
成为v .的衣钵
M = ZFC。
布可夫斯基定理和乌苏巴解
定理(布可夫斯基)
假设κ是正则基数，N ⊂ V是内模。
那么以下是等价的。
1.对于每个θ ∈ Ord和每个函数F : θ →N
存在一个函数
H : θ → Pκ(N)
使得H ∈ N并且使得F(α) ∈ H(α)对于所有的α ＜ θ。
2.v是n的κ-cc一般扩展。
定理
V字的底纹是向下的，在内含物的指引下。
推论
设M为v的衣钵。
那么我M =选择公理。
乌苏巴地幔定理
定理
假设有一个可扩展的基数。
设M为地幔v的。
那么M是v的地。
推论
假设有一个可扩展的基数。
设M为地幔
假设⊆·霍德先生。
然后我HOD是v的地面。
在这种情况下，HOD二分法定理中的远选项坚持不住了。
自然的推测
假设存在足够多的大型基数，则可证明far霍德二分法定理中的选项不能成立。
霍德假说
定义(霍德假说)
存在一类正规基数λ，它们不是ω-在HOD中强可测。
I不知道是否可能存在4个正常的枢机主教ω-在HOD中强可测。
不知道在2ℵ0上面是否会有两个正式的红衣主教
其中ω-在HOD中是强可测的。
我假设γ是不可数余尾的奇异基数。
如果不知道γ+可以是ω-强可测的吗
霍德。
推测
假设γ ＞ 2
ℵ0和γ射线+是ω-在HOD中强可测的。
我然后γ++在HOD中不是ω-强可测的。
霍德猜想
定义(霍德猜想)
该理论
ZFC +“有一个超级紧凑的红衣主教”
证明了霍德假说。
我假设霍德猜想和有一个可扩展的红衣主教。
然后:
霍德二分法定理中的远选项是空的:
我必须接近v。
HOD猜想是一个数论陈述。
弱HOD猜想与终极L
推测
定义(弱荷德猜想)
该理论
ZFC +“有一个可扩展的红衣主教”证明了霍德假说。
终极L猜想(弱版本)
(ZFC)假设δ是可扩基数。
然后(可证明地)存在内部模型N，使得:
1.n具有δ-逼近性质和δ-覆盖性质。
2.N = "V = Ultimate-L "。
定理
终极L猜想隐含着弱HOD猜想。
等价
定理
假设有一类适当的可扩展基数。
然后以下是等效的。
(1)HOD假设成立。
(2)对于某些δ，有一个内部模型N
δ-逼近性质和δ-覆盖性质使得N =“霍德假说”。
弱扩张模型和普适性
定义
假设N是一个内部模型。
那么N是δ的弱扩张模型是超紧的，如果对于每个γ ＞ δ，存在一个正规的精细δ-完备
在Pδ(γ)上超滤U，如thta:
I N ∩ Pδ(γ) ∈ U，
I U ∩ N ∈ N。
普遍性定理(弱版本)
假设N是δ的弱扩张模型是超紧的，并且
对于某些λ ≥ δ，U是λ上的δ-完全超滤子。
我然后U ∩ N ∈ N。
HOD二分法(完整版)
定理(HOD二分法定理)
假设δ是可扩基数。然后是下面的一个
保持。
(1)没有正则基数κ ≥ δ在HOD中是ω-强可测的。
此外:
I HOD是δ is超紧的弱扩张模型。
(2)每个正则基数κ ≥ δ在HOD中都是ω-强可测的。
此外:
对于任意λ，I HOD不是λ is超紧的弱扩张子。
如果没有弱扩张子，λ的模型N是超紧的吗
⊆·霍德，对于任何λ。
无条件的推论
定理
设δ是可扩基数，κ ≥ δ，κ是α可测基数。
那么κ是一个可测量的基数。
诉诸霍德二分法定理的两种情况:
I情况1: HOD接近v .那么HOD是弱扩张子
δ的模型是超紧的。
我应用普遍性定理。
I情况2: HOD远离v .那么每个常规红衣主教κ ≥ δ是HOD中可测的基数；
因为κ是ω-在HOD中强可测的。
弱扩张模型、近似和覆盖
定理
假设N是δ是超紧的弱扩张模型。
那么N具有δ-逼近性质和δ-覆盖性质。
假设N是δ是超紧的弱扩张模型。
因此:
I N由N ∩ H(δ)唯一指定+).
I N是σ2-可由N ∩ H(δ)定义的+).
弱扩张模型理论是v理论的一部分。
定理
假设有一个可扩基数，N是一个内基数模型。
那么以下是等价的。
| N具有δ-逼近性质和δ-覆盖性质，为了一些δ。
I N是δ的弱扩张模型是超紧的，对于某些δ。
δ-通有性和强普适性
定义
假设N是内模，δ是不可数正则红衣主教。
I那么n具有δ-泛型性质，如果对于所有σ ⊂ δ，如果
σ ＜ δ，那么σ对于某些部分P ∈ N是N-一般的，使得
P ＜ δ。
δ-通有性和强普适性
定义
假设N是内模，δ是不可数正则红衣主教。
I那么n具有δ-泛型性质，如果对于所有σ ⊂ δ，如果
σ ＜ δ，那么σ对于某些部分P ∈ N是N-一般的，使得
P ＜ δ。
假设δ是强不可达的。
那么HOD具有δ-泛型性质。
定理
假设有一个可扩展的基数
I N具有δ-逼近性质，δ-覆盖性质，并且δ-泛型性质。
假设公理I0在λ处成立，对于某些λ ＞ δ。
然后在N中，公理I0在λ处成立，对于某些λ ＞ δ。
一类新的内模，具有近似和封面属性
定理
假设N是δ的弱扩张模型是超紧的，并且
N具有δ-一般性质。
假设U ∈ Vδ是一个可数完全超滤器
NU = Ult0(N，U)。
然后:
I NU具有δ-覆盖性质。
I NU具有δ-逼近性质。
我假设δ是一个强基数，N有
δ-逼近性质和δ-覆盖性质。
I NU具有δ-覆盖性质。
I NU可能不具有δ-近似性质:
就算N = V。
太近没用？
也是超级复杂的弱扩展模型
接近V是任何有用的搜索推广
l？
定理(库宁)
不存在非平凡的基本嵌入
π : Vλ+2 → Vλ+2。
定理
假设N是δ是超紧的弱扩张模型
并且λ ＞ δ。
那么就不存在非平凡的初等嵌入
π : N ∩ Vλ+2 → N ∩ Vλ+2
使得CRT(π) ≥ δ。
也许不是超级紧性的弱扩张模型可以在一个关键的意义上，与V相差甚远。
定理(库宁)
以下是等效的。
1.l远离V(如在詹森二分法定理中)。
2.存在一个非平凡的初等嵌入j : L →L。
定理
假设δ是一个超紧基数。
那么存在δ is的弱扩张模型N
超级紧凑以至于在ω ⊂ N
I存在一个非平凡的初等嵌入j : N → N。
终极L猜想
(ZFC)假设δ是可扩基数。
然后(可证明地)有一个内部模型N，使得:
1.n是δ是超紧的弱扩张模型。
2.n具有δ-泛型性质。
3.N = "V = Ultimate-L "。
霍德猜想在ZF的应用
定理(ZF)
假设HOD猜想并且存在一个适当的可扩展枢机。
我假设δ是一个可扩展的基数。
那么对于每一个正则基数λ ≥ δ:
I λ+是常规基数。
索洛维分裂定理在λ处成立。
我假设霍德猜想:
I大基数公理试图证明选择公理。
伯克利枢机队
定义
枢机主教δ是伯克利枢机主教，如果:
I对于所有的α ＜ δ和对于所有的δ ⊂为m的传递集m，有存在一个非平凡的初等嵌入j:M→M
使得α ＜ CRT(j) ＜ δ。
假设选择的公理，没有贝克莱
库宁定理的基数:
我只是让M = Vδ+2。
定理(ZF)
假设HOD猜想。
然后:
我没有伯克利的红衣主教。
摘要
从大的基本假设出发，有一系列定理
这表明:
I V = L的某个版本为真。
此外:
这些定理变得比大基数大得多假设增加。
大枢机放大结构。
如果他们测量V并把V的结构代入离散
选项。
也许这就是V = Ultimate-L的所有证据。
哥德尔的可构造宇宙和终极L并不相同
可构造宇宙L
定义Def()为一个包含所有X子集的集合。
一个X的子集x位于Def(X)当且仅当存在一个一阶逻辑公式φ和u₀,u₁,u₂,……∈X
使得x = {y∈X :φˣ[y,u₀,u₁,u₂,……]
然后:
L₀=∅
L₁=Def(L1)={∅}=1
Ln+1=Def(Ln)=n
Lω=∪＿k＜ω Lω
Lλ=∪＿k＜λ λ is a limit ordinalג是极限序数
L=∪＿k Lk，k跑遍所有序数
注:红雀应翻译为枢机
