Weierstrass逼近定理
Weierstrass逼近定理是数学分析中的核心定理。陈述如下：
Weierstrass逼近定理
设 f(x) 是 [α，b] 上的连续函数，则存在多项式函数列 {fₙ(x)} ，使得 fₙ(x) 一致收敛于 f(x)
附注 不失一般性，下面只对于 [α，b]=[0，1] 的情形证明。
证明
由 f 在 [0，1] 连续，故有界 |f|≤M ，且在 [0，1] 一致连续，即
m
\[∀ε＞0， ∃δ＞0，当 |─−x|＜δ时，
m
ε
n
|f(─)−f(x)|＜─\]
n
2
构造Bernstein多项式
m
\[Bₙ(x)＝∑ⁿₘ₌₀Cᵐₙxᵐ(1−x)ⁿ⁻ᵐf(─)\]
n
构造随机变量 X∼B(1，x) ，以及 X 的独立同分布随机序列 {Xₙ} ，则 Sₙ＝∑ⁿₖ₌₁ Xₖ ∼B (n，x)，且 E(f(Sn
─
m
n))＝∑ⁿₘ₌₁f(─)b(m；n，x)＝Bₙ(x)
n
此外
(Sn)
(1)
E ──＝──nx＝x
(n)
(n)
(Sn)
1
x(1−x)
D ──＝──nx(1−x)＝────
(n)
n²
n
1
≤ ─
2
由Chebyshev不等式
Sₙ
1
P(|─−x|≥δ)≤──
n
nδ²
故
|Bₙ(x)−f(x)|
Sₙ
Sₙ
─
─
＝|E(f(n)−f(x))|≤E|f(n)−f(x)|
\[
Sₙ
─
＝E(|f(n)−f(x)|1{|Sn
─
n−x|≥δ})
Sₙ
Sₙ
──
──
＋E(|f(n)−f(x)|1{|n−x|＜δ})\]
Sₙ
Sₙ
─
─
对第一项， \[E(|f(n)−f(x)|1{|n−x|≥δ})
m
m
──
──
＝∑{m：|n−x|≥δ}|f(n)
−f(x)|P(Sₙ＝m)\]
\[≤2M∑{m：|m
──
n−x|≥δ}P(Sₙ
Sn
──
＝m)＝2MP(|n−x|≥δ)
2M
≤ ── \]
nδ²
Sₙ
Sₙ
──
──
对第二项， \[E(|f(n)−f(x)|1{|n−x|＜δ})
m
m
──
──
＝∑{m：|n−x|＜δ}|f(n)−f(x)|P(Sₙ＝m)\]
m
ε
──
＜──∑{m：|n−x|＜δ}P(Sₙ＝m)
2
Sₙ
ε
──
ε
＝──P(|n−x|＜δ)≤──
2
2
2M
ε
|＜──＋──
因此 |Bₙ(x)−f(x)
nδ²
2 。
4M
取 N＝──
εδ² ( N 与 x 无关)，则当n＞N 时， ∀x∈[0，1]， |Bₙ(x)−f(x)|＜ε ，由此得到 Bₙ(x) 一致收敛于 f(x) ◻
