范畴论基础（Grothendieck宇宙）

定义 集合 ∪ 称为宇宙，如果满足以下性质

1.u∈∪⇒u⊂∪，即：∪是传递集；

2.u，υ∈∪⇒{u，υ}∈∪

3.u∈∪⇒P(u)∈∪

4.若 l ∈ ∪ , 一族集合 {uᵢ：i∈l}满足 ∀i，uᵢ ∈∪， 则 ∪uᵢ ∈ ∪

i∈l

5.ℤ≥₀∈∪.

对于集合Ⅹ，若 X∈∪ 则称为 ∪ -集；若 X 和一个 ∪ -集等势，则称为 ∪ -小集.

注 上述表述如果用更通俗的语言来表达, 可以理解为满足以下性质的集合 ∪ 称为宇宙：

1. ∪ 中的元素都是集合且是 ∪ 的子集

2. ∪ 中有限个元素构成的集合是 ∪ 的元素

3. ∪ 中元素的幂集是 ∪ 的元素

4. ∪ 中元素的任意并(指标需要也是 ∪ 中元素)都是 ∪ 的元素

5. ℤ≥₀ 是 ∪ 的元素

并且∪ 中元素可以简称为 ∪ -集.

假设 (A. Grothendieck) 对任何集合 X，存在宇宙 ∪ 使得 X∈∪ .

本着得过且过的原则, Grothendieck 宇宙就介绍到这里.

定义 一个范畴 C 称作是 ∪ -范畴，如果对任意对象 X，Y，从 X 到 Y 的态射 Homᴄ(X，Y) 都是 ∪ -小集. 如果态射集 Mor(C) 也是 ∪ -小集, 则称之为 ∪ -小范畴.

注 一个范畴 C 是不是 ∪ -范畴，主要看它的态射集 Mor(C) .