拓扑学与逻辑学的关系

点集拓扑和逻辑之间有一种 (不一定完全严格的) 对偶, 叫做Stone 对偶.

经典的 Stone 对偶是关于命题逻辑 (即 Boolean 代数) 和 Stone 空间的对偶. 回顾定义：

• Stone 空间是紧, Hausdorff, 且全体开闭集构成一组基的拓扑空间.

• 给定命题理论 T， 我们把其中可证等价的命题视为相等的, 于是得到它的 Lindenbaum 代数. 另一方面, 所有 Boolean 代数都是某个理论的 Lindenbaum 代数. 我们认为 "Lindenbaum 代数" 是命题理论的本质的代数不变量, 所以直接把命题理论等同于 Boolean 代数.

于是我们把任何 Boolean 代数A 视为一个命题理论, 其中的元素视为合式公式, A 的若干代数结构 (如 ∧，∨，→，¬ 等) 视为相应的命题联词, A 上的序结构视为可证关系.

Stone 对偶给出如下的对应关系：

点集拓扑 命题逻辑

Stone 空间 Boolean 代数 (命题理论)

开闭集 公式

开闭集的包含关系 公式的可证关系

开闭集的运算：交，并，补 命题联词: 合取, 析取, 否定

连续映射 反方向的代数同态 (理论的翻译)

空间中的点 理论的模型

整个对应可以被概括为一个范畴等价：

Theorem. (Stone Duality) 存在范畴等价：

Cl：Stone ⇆ Boolᵒᵖ：Spec.

其中：

• Cl(X) 给出 Stone 空间 X 的开闭集构成的 Boolean 代数.

• Spec(A) 给出 Boolean 代数 A 的全体超滤给出的 Stone 空间.

考虑二元素的离散 Stone 空间{⊤，⊥}, 则任何 Stone 空间 X 上的开闭集恰是连续映射 X → 2. 用范畴论黑话说, 我们有函子的自然同构：

Cl ≅ Stone(–，2)：Stoneᵒᵖ → Bool.

所以Stone 空间 X 上的一个开闭集, 恰是一个在这个空间上连续变化的真值. 而传统的二值 Boolean 代数 2＝{⊤，⊥} 只不过是单点空间上 "连续变化" 的真值, 但因为单点空间只有一个点, 所以这个真值也没得变. 在这个意义下, Boolean 代数是经典的二值真值 "正确的" 推广: 任何 Boolean 代数都是某个空间上连续变化的真值构成的代数.

上述观点可以被拓展到很多种别的空间和逻辑上, 给出不同的Stone-型对偶. 笔者比较关心的是 (借用 Joyal 的术语) Topos-Logos 对偶, 其中的空间概念是 Grothendieck topos, 逻辑叫做 geometric logic. 在这个对偶中, 我们研究的是 "在某个空间 X 上连续变化的集合" (即 geometric morphism X → [O], 其中 [O] 是 object classifier, 视为 "全体集合的空间"), 它恰是 topos X 上的一个层, 类比于 Stone 空间的开闭集.