双伽马函数
双伽马函数
定义
双伽马函数定义为伽马函数的对数导数
Γ'
ψ(s)＝─ (s)
Γ
递推公式
根据ψ函数的定义可知
Γ'
[sΓ(s)]'
ψ(s＋1)＝─ (s＋1)＝───
Γ
sΓ(s)
sΓ'(s)＋Γ(s)
Γ'
1
1
＝────＝─ (s)＋─＝ψ(s)＋─
sΓ(s)
Γ
2
s
因此
1
ψ(s＋1)＝ψ(s)＋─
s
反射公。
根据余元公式可知
π
Γ(s)Γ(1 – s)＝───
sin πs
因此
lnΓ(s)＋lnΓ(1 – s)＝ln π – ln sin π s
等式两边对 s 求导
Γ'
Γ'
─(s) – ─(1 – s)＝–π cot πs
Γ
Γ
因此
ψ(1 – s) – ψ(s)＝π cot πs
欧拉常数
欧拉常数被定义为调和级数与对数极限之差
ɴ 1
γ＝lim (∑ ─ – ln N)
ₙ₌₁ n
显然我们能有多种方法改写这个式子。
观察以下积分
1
─＝∫₀¹tˣ⁻¹dt＝∫₀∞e⁻ˣᵗdt
n
︸
Ը{1}(x)
我们定义
M(x)＝∫₀¹tˣ⁻¹dt
{
L(x)＝Ը{1}(x)
调和级数的积分表达式
调和级数是调和函数的极限
ₖ 1
H＝lim
∑ ─＝lim Hₖ
k→∞ ₙ₌₁ n
︸
Hₖ
由于
ₖ 1
ₖ
ₖ
Hₙ＝∑ ─＝∑ L(n)＝∑ ∫₀∞e⁻ⁿᵗdt＝∫₀∞↓
ₙ₌₁ n
ₙ₌₁
ₙ₌₁
ₖ
(∑e⁻ⁿᵗ)dt
ₙ₌₁
右侧积分内级数为等比数列，显然
ₖ
1 – e⁻ᵏᵗ
∑ e⁻ⁿᵗ＝e⁻ᵗ .────
ₙ₌₁
1 – e⁻ᵗ
出于收敛性考虑，我们暂时不取极限，直接代入即得
ₖ
1
1 – e⁻ᵏᵗ
∑ ─＝∫₀∞ ──── dt
ₙ₌₁ n
eᵗ – 1
亦可通过黎曼ζ函数得到该结果
1
H＝lim ζ(s)＝lim ── ∫₀∞ ↓
s→1
s→1 Γ(s)
tˢ⁻¹
dt
─── dt＝∫₀∞ ───
eᵗ – 1
eᵗ – 1
对数的积分表达式
对数可表示为积分
dt
ln k＝∫₁ᵏ ─
t
1
欲继续优化，考虑 ─＝Ը(t) ，即
t
dt
∫₁ᵏ ─＝∫₁ᵏ Ը(t)dt
t
＝∫₁ᵏ dt ∫₀∞ e⁻ᵗˣ dx
＝∫₀∞ dx ∫₁ᵏ e⁻ᵗˣ dt
e⁻ˣ – e⁻ᵏˣ
＝∫₀∞ ───── dx
x
我们能够交互积分顺序，皆因两积分都是收敛的
于是
e⁻ˣ – e⁻ᵏˣ
ln k＝∫₀∞ ──── dx
x
欧拉常数的积分表达式
根据欧拉常数的定义可知
ₖ
1
γ＝lim
(∑ ─ – ln k)
k→∞ ₙ₌₁ n
1 – e⁻ᵏᵗ
＝lim
(∫₀∞ ─── dt
k→∞
eᵗ – 1
︸
Hₖ
e⁻ᵗ – e⁻ᵏᵗ
– ∫₀∞ ──── dt)
t
︸
ln k
e⁻ᵗ
e⁻ᵗ
＝∫₀∞ ─── dt – ∫₀∞ ─── dt
1 – eᵗ
t
e⁻ᵗ
e⁻ᵗ
＝∫₀∞ (─── – ───)
1 – e⁻ᵗ
t
e⁻ᵗ
该公式表明 : 调和级数 ∫₀∞ ──
1 – e⁻ᵗ
e⁻ᵗ
与对数极限 ∫₀∞ ─ dt之差为常数。
t
双伽马函数的积分表达式
刚才我们已得到调和函数的积分表达式
ₖ 1
1 – e⁻ᵏᵗ
Hₖ＝∑ ─＝∫₀∞ ──── dt
ₙ₌₁ n
eᵗ – 1
已知双伽马函数的级数表达式
∞ 1
1
ψ(s＋1)＝–γ＋∑ (─ – ───)
ₙ₌₁ n
n＋s
右侧级数即为调和函数
∞
1
1
∞ 1
∑ (─ – ──)＝∑ ─ ↓
ₙ₌₁ n
n＋s
ₙ₌₁ n
∞
1
ₛ
1
1 – e⁻ˢᵗ
– ∑ ───＝∑ ─＝∫₀∞ ─── dt
ₙ₌₁ n＋s
ₙ₌₁ n
eˡ – 1
︸
Hₛ
将欧拉常数的积分表达式代入即得
e⁻ᵗ
e⁻ˢᵗ
ψ(s＋1)＝∫₀∞(─ – ──) dt
t
eᵗ – 1
双伽马函数的其他积分式
我们想推导出一个便于计算的双伽马函数积分式，仍然从定义入手。
根据定义
∞
1
1
ψ(s)＝–γ＋∑ (── – ──)
ₙ₌₀ n＋1
n＋s
考虑用M(x) 替代级数内的两个分式
∞
ψ(s)＝–γ＋∑ [M(n＋1) – M(n＋s)]
ₙ₌₀
∞
＝–γ＋∑ (∫₀¹tⁿdt – ∫₀¹tⁿ⁺ˢ⁻¹dt)
ₙ₌₀
∞
＝–γ＋∑ ∫₀¹tⁿ(1 – tˢ⁻¹)dt
ₙ₌₀
∞
＝–γ＋∫₀¹(1 – tˢ⁻¹)(∑tⁿ)dt
ₙ₌₀
1 – tˢ⁻¹
＝–γ＋∫₀¹ ──── dt
1 – t
因此
1 – tˢ⁻¹
ψ(s)＝–γ＋∫₀¹ ─── dt
1 – t
1
若s＝─，∀n ∈ ℕ，n＞1，则
n
1
1 – t
ψ(─)＝–γ – n ∫₀¹ ─── tⁿ⁻²dt
n
1 – tⁿ
当n＝2 时
1
1 – t
ψ(─)＝–γ – 2 ∫₀¹ ─── dt＝–γ – 2 ↓
n
1 – t²
dt
∫₀¹ ───＝–γ – 2 ln 2
1＋t
与黎曼ζ函数的关系
根据定义可知
∞
1
1
ψ(s＋1)＝–γ＋∑ (── – ──) dt
ₙ₌₁
n
n＋s
∞
s
1
＝–γ＋∑ ─ · ──
ₙ₌₁ n²
s
1＋─
n
∞
s
∞ (–s)ᵏ
＝–γ＋∑ ─
∑ ───
ₙ₌₁ n² ₖ₌₀
nᵏ
∞
∞
1
＝–γ＋s∑(–s)ᵏ∑ ───
ₖ₌₀
ₙ₌₁ nᵏ⁺²
︸
ζ(k＋2)
∞
＝–γ＋s∑(–s)ᵏζ(k＋2)
ₖ₌₀
∞
＝–γ – ∑ζ(k＋1)(–s)ᵏ
ₖ₌₁
亦即
∞
ψ(s＋1)＝–γ – ∑ζ(k＋1)(–s)ᵏ
ₖ₌₁
或者
ψ(s＋1)＋γ
∞
─────＝∑ζ(2＋n)(–t)ⁿ
t
ₙ₌₀
根据拉马努金定理可得
ψ(t＋1)＋γ
π
∫₀∞ ───── dt＝── ζ(2 – s)
t²⁻ˢ
sin πs
例如
ψ(t＋1)＋γ
π
∫₀∞ ───── dt＝─
√t
2
