不等式

数量关系就是相等和不相等，反映在现实世界中就是平衡和不平衡的状态，平衡常常是有条件的，暂短的，不平衡却是常态。不等式的证明也比等式的证明更难一些。

例1，设a＜b＜c＜d，试按递增顺序排列下面的数:

x=(a+b)(c+d)，y=(a+c)(b+d)，z=(a+d)(b+c)。

解:因为a＜b＜c＜d，所以，

y-x=ab+cd-ac-bd=(a-d)(b-c)＞0，

z-y=ac+bd-ad-bc=(a-b)(c-d)＞0。因此，x＜y＜z。

例2，证明，如果某三数的乘积为1，且其和大于其倒数之和，则这三个数中恰有一个数大于1。

解:设a，b，c合乎题中条件，即

abc=1，a十b+c＞1/a+1/b+1/c。那么，

(a-1)(b-1)(c-1)=abc-ab-ac-bc+a+b+c-1

=(abc-1)+(a+b+c)-abc(1/a+1/b+1/c)

=(a+b+c)-((1/a+1/b+1/c)＞0。

于是三个因子(a-1)，(b-1)，(c-1)的乘积是正的，从而，要么恰有一个因子是正的，要么所有三个因子a-1，b-1，c-1都是正的。但后一情形是不可能的，因为如果a﹥1，b＞1，c＞1，则abc＞1，与条件abc=1矛盾。

例3，证明，对任意正数a≠b之算术平均值

A=(a+b)/2.

与几何平均值B=√(ab)，有

B＜(a-b)^2/[8(A-B)]＜A。

证明:因为B＜A，所以，B＜(A+B)/2＜A，但是

(a-b)^2/[8(A-B)]

=(√a^2-√b^2)^2/[4(√a-√b)^2]

=(√a+√b)^2/4

=(A十B)/2.

由此便得到所欲证的不等式。