哲学（四）

奥卡姆定理是否成立取决于奥卡姆方法的描述，即取决于一组假设的简单性的确切定义。有大量数学结果使用语言不变的简单性度量来建立奥卡姆定理，我们接下来将对此进行解释。 5.1 定义简单性 说一个假设 H H 来自一组可能的假设背景 H 如果存在证据序列使得 H 是可验证的 H H 是唯一的假设 H H 表示与证据序列一致。例如，在上面的黑乌鸦问题中，假设“存在一只非黑乌鸦”是可验证的，因为它是由对非黑乌鸦的观察所蕴含的。 “所有乌鸦都是黑色的”假设是不可验证的，因为它不包含任何有限的证据序列。以下过程为每个假设分配一个简单性等级 H H 来自一组假设 H H [Apsitis 1994，Luo 和 Schulte 2006]。 将所有可验证的假设简单性等级指定为 0。 从假设空间中去除可验证的假设，形成新的假设空间 H 1 。 H1。 将简单性等级 1 分配给可验证的假设 H 1 。 H1。 从假设空间中删除新的可验证的简单性等级为1的假设，形成新的假设空间 H 2 。 H2。 继续删除假设，直到在当前假设空间下没有新的假设可验证。 每个假设的简单性等级 H H 是通过此过程将其去除的第一阶段。换句话说，正是第一个受限假设空间的索引使得 H H 可验证。 具有较高简单性等级的假设被认为比具有较低等级的假设更简单。简单性等级是根据逻辑蕴涵关系定义的，因此是语言不变的。定义的简单性等级可以被视为以下意义上的可证伪性程度。考虑一个简单性等级 1 的假设。这样的假设是可证伪的，因为验证等级 0 的替代假设的证据序列会证伪它。此外，简单性等级 1 的假设始终是可证伪的，因为无论观察到什么与其一致的证据序列，它仍然是可证伪的。简单性等级的假设 n + 1 n+1 可以通过等级假设持续被证伪 n 。 名词让我们在运行示例中说明该定义。 5.2 示例 在归纳之谜中，可验证的假设是具有临界时间 t 的 grue 假设：任何 t 个绿色祖母绿后面跟着蓝色祖母绿的序列都需要相应的 grue(t) 泛化。因此，格鲁假设的简单性等级为 0。格鲁假设被消除后，唯一剩下的假设是“所有祖母绿都是绿色的”。鉴于这是有限假设空间中的唯一可能性，任何绿色祖母绿序列都蕴涵“所有祖母绿都是绿色的”。因此，“所有祖母绿都是绿色的”的简单性等级为 1。删除所有绿色假设后，不再有任何假设。 在乌鸦颜色问题中，可验证的假设是“将观察到非黑色乌鸦”，其简单性等级为 0。在删除将观察到非黑色乌鸦的假设后，唯一剩下的可能性是仅观察到黑色乌鸦，因此，该假设在有限的假设空间中是可验证的，并且简单性等级为 1。 因果图的简单性等级由图中未包含的直接链接的数量给出。因此，因果模型提出的直接联系越少，其简单性等级越高。 一组守恒定律的简单性等级由独立定律的数量给出。 （线性代数意义上的独立性。）因此，理论引入的非冗余定律越多，其简单性等级就越高。每个定律都排除了一些反应，因此在给定观察到的反应的情况下最大化独立定律的数量相当于排除尽可能多的未观察到的反应。 5.3 稳定信念和简单性：奥卡姆定理 以下定理显示了归纳问题的思维变化复杂性与所定义的简单性排名之间的联系。 定理。让 H H是一组经验假设。然后有一种方法可以可靠地识别出正确的假设 H 当且仅当上面定义的消除过程在 n 个阶段之后以一组空假设终止时，最多 n 个想法的极限中的 H 才会改变。 因此，归纳问题最多可以解决 n 当思想改变时，任何可能的假设的最大简单性等级是 n 。 名词 在归纳谜题中，最大简单性等级为 1，因此最多可以通过 1 次思维改变来解决此问题。下一个结果提供了连接简单性和思维改变性能的奥卡姆定理。 奥卡姆定理.让 H H 是一组具有最优思维改变界限 n 的经验假设。那么，当且仅当归纳法满足以下条件时，它才是最佳的思维改变方法。 每当该方法采用以下假设之一时 H , H，这个假设是与证据一致的最简单的假设。 如果该方法在查询时改变主意 t + 1 t+1，当时唯一最简单的假设 t t 在时间被伪造 t + 1. t+1。 该定理表明，思想改变最优方法可能会像怀疑论者一样保留猜想，但如果它确实采用了明确的假设，则该假设必须是最简单的假设，即具有最大简单性等级。因此第4节讨论的思想改变最优方法都是采用与数据一致的最简单假设的奥卡姆方法。奥卡姆定理显示了与长期反对意见的显着逆转，即长期可靠性对短期猜想施加的约束太少：如果我们将实现稳定信念的目标添加到事实的长期收敛性中，那么实际上就存在是一种独特的归纳方法，可以在给定的经验问题中实现这一目标。因此，方法分析从不提供短期处方转变为提供完整处方。 5.4 回归思维变化和简单性：另一个奥卡姆定理 前一小节为所研究的每个假设定义了完整的简单性排名。这意味着任何假设都可以与另一个更简单或同样简单的假设进行比较。一个要求不高的概念是偏序，它允许某些假设根本不具有可比性，例如苹果和橙子。 Genin 和 Kelly [2015] 表明，以下偏序导致了避免回归思维变化的奥卡姆原则（参见第 4.3 节）。 观察序列分离假设 H 1 假设的 H1 H 2 H2 如果观察结果与 H 1 H1 和伪造 H 2 H2（给定背景知识）。 比喻 H 1 H1离不开 H 2 H2，书面 H 1 ＜ H 2 H1＜H2，如果没有观察序列分开 H 1 H1 来自 H 2 H2。等价地， H 1 ＜ H 2 H1＜H2 当且仅当有任何证据符合 H 1 H1 也符合 H 2 。 H2。 分离术语由 Smets 等人提出，他们将其与点集拓扑中的分离原理联系起来。根据 3.2 节中点集拓扑的认识论解释，我们有 H 1 < H 2 H1

t n ′ ＞ n n′＞n，其中 H H 是正确的假设 p 下图说明了推测正确假设的机会如何随着样本大小而增加，而推测错误假设的机会如何随着样本大小而减少。通过替换真实偏差值，该定义可以推广到更复杂的统计假设 p p 带有参数列表。  图8 [图8的扩展描述在补充中。] 限制机会识别的概念类似于赖兴巴赫实用主义辩护中限制收敛到概率估计的概念。转化为我们的示例，赖兴巴赫考虑了输出真实偏差值估计的归纳规则 p , p，并要求这样的规则收敛于真实值，即对于每个偏差值 p p，对于每个阈值 0 ＜ t ＜ 1 0＜t＜1，有样本量 n n 使得对于所有较大的样本量，该规则以概率 1 输出与真实值不同的估计值 p 至多p t