阿拉伯和伊斯兰数学哲学（二）

将数学对象演绎为精神对象的一个​​转折点是诉诸 nafs al-ʾamr 的概念来描述数学对象的本体论状态并澄清数学命题的真理制定者的本质。 “nafs al-ʾamr”一词的字面意思是事物本身。但其技术内容很难通过翻译来体现。尽管这句话也出现在阿维森纳的著作中，但可能是纳西尔·阿尔丁·塔斯西（Naṣīr al-Dīn al-Ṭūsī，卒于 1274 年）首次在技术和理论意义上使用了该短语。不同的哲学家将这个短语理解为指代不同的事物，包括神圣知识、主动智力、思想领域等（Kaş 2021；Spiker 2021）。 nafs al-ʾamr 理论对数学哲学的意义在于，它可以使我们即使没有对象实在论也能保留判断实在论。一些哲学家（例如 Sayyid al-Sharīf al-Jurjānī，卒于 14​​13 年）使用这一理论来表明，尽管数学对象仅仅是估计性的 (wahmī) 并且没有独立于心灵的存在，但数学判断是确定的 (yaqīnī)，并且他们的真值是独立于思想的。换句话说，就数学而言，即使对象实在论被拒绝，判断实在论仍然可以被捍卫（Fazlıoğlu 2014；Hasan 2017）。

与数学本体论相关的另一个重要问题是代数对象的性质。代数未知数（或者我们今天所说的代数变量）可以无差别地指代数字或几何量。因此，代数对象的本质与数字或几何形状不同。不幸的是，这种特殊类型的数学对象的混合本体很少（如果有的话）作为不同于数字和大小的本体进行讨论。但有人认为，法拉比 (al-Fārābī) 和阿维森纳 (Avicenna) 等哲学家对花剌子米 (al-Khwārizmī，卒​​于 850 年) 在他的《Kitāb al-jabr wa al-muqābala》中提出的代数理论的熟悉启发了他们发展了一种普遍的本体论。既非柏拉图式也非亚里士多德式的事物 (ashyāʾ) (R. Rashed 1984a; 2008; 2015: 716–18; 2018)。

1.3 无穷大

无穷大问题是中世纪伊斯兰哲学中讨论最广泛的与数学相关的哲学主题之一。有许多论文认为没有数字可以是无限的。例如，塔比特·伊本·古拉在回答阿布·穆萨·奥萨伊德提出的一系列问题时，讨论了数字的本质，并认为不存在无限的数字。此外，他证明了无限数集可以具有不同的大小（Pines 1968；Sabra 1997；Mancosu 2009：第 2 节；M. Rashed 2009；Zarepour 2020b：第 4.2 节）。 Yaḥyā Ibn ʿAdī（卒于 974 年）在他的《关于无限的论文》（Maqala fī ghayr al-mutanāhī）中，提供了一组不同的论据来证明无限不能根据数字来预测（McGinnis 2010：第 3 节）。但以下三个有限论论证可能是伊斯兰传统中讨论最多的：

(1) 准直论证 (burhān al-musāmita)：考虑这条线

L

L 从中心开始

氧

圆的O

C

C、与圆周相交

C

C、无限延伸。此外，假设有一条明显的线

L

′

L′ 平行于

L

L 并在两个方向上无限延伸。现在假设

L

L开始旋转

氧

O 并越来越接近

L

′

L′，同时

L

′

L′ 是静止且固定的。因此，

L

土地

L

′

L′相交。因此，两条线有时平行，有时相交。因此，必须有一个时刻

时间

T 和一个点

磷

接通电源

L

′

L′ 是两条线第一次相交的地方，或者说论证是这样的。但显然没有这样的

时间

T 和

磷

P.对于每一个

时间

T 其中

L

土地

L

′

L′相交，我们可以找到更早的时刻

时间

′

领带。，

时间

′

<

时间

T'<T)，其中两条线已经相交。这样看来，我们之间是有矛盾的。一方面，必须有一个最初的交叉时刻（或者这是论证的辩护者的期望）。另一方面，也不可能有这样的时刻。因此，该论证的最初假设——即无限线的存在——必须被拒绝。不存在无限的一维量值，因此，一般也不存在无限的量值。



图1

上述情景的一种变体——可能源自亚里士多德的《De Caelo》（I.5, 272a8-20）——由 Abū Sahl al-Qūhī（卒于 1000 年）提出，以拒绝亚里士多德的教条，即无限距离不能在有限的时间。这是因为上述论证表明

L

L可以遍历

L

′

L′ 在有限时间内等于旋转时间的一半

L

L 围绕 O 一轮（R. Rashed 1999；McGinnis 2010：第 3 节）。相比之下，阿维森纳在某些地方采用了准直论证（Avicenna Al-Najāt [1985：233-44]；[Ph1]：第 II.8 章，[8]）来拒绝无限虚空中圆周运动的可能性，并且在其他地方（Avicenna ʿUyūn al-ḥikma，第 3、20 章）拒绝了实际的无穷大（Zarepour 2020b：第 3.1 节；R. Rashed 2016：302-6；2018：第 11.2 节）。除其他人外，Abū al-Barakāt al-Baghdādī（卒于 1165 年）在他的 Al-Muʿtabar（第 2 卷、83-84 和 86）中批评了准直论点，al-Ṭūsī 在他的 Talkhīṣ al-Muḥassal 中（[ 1985: 217]），以及 al-Ḥillī（卒于 1325 年）在他的 Nihāya al-marām fī ʿilm al-kalām（第 1 卷，256-258）中。 Fakhr al-Dīn al-Rāzī (d. 1209) 在他的 Al-Mabāḥith al-mashriqīya (vol. 1, 196) 中和 Mulla Ṣadrā 在他的 Asfār (vol. 4, 21- 23）。

（2）梯子论证（burhān al-sullam）：如果可以存在无限直线，则可以存在边长为无限的锐角。假设

一个

乙

AB 和

一个

C

AC 是两条无限长的线，相交于

一个

A 并形成这样一个锐角。

一个

乙

AB 和

一个

C

AC沿下列方向无限延伸

乙

乐队

C

分别为C。现在考虑平行线

乙

我

C

我

BiCi（对于整数

我

≥

1

i≥1) 相交

一个

乙

AB 和

一个

C

AC 使得每两条连续线之间的距离等于

乙

1

C

1

B1C1 来自

一个

A. 因此，每行比前一行长固定长度，例如

d

d （即，对于每个整数

我

≥

1

,

我≥1，

乙

我

+

1

C

我

+

1

-

乙

我

C

我

=

d

Bi+1Ci+1−BiCi=d)。现在考虑

乙

C

公元前。它比任何一个都远

乙

我

C

我

比茨来自

一个

A、因此，

乙

C

BC 比任何一个都长

乙

我

C

我

。

比慈。这表明

乙

C

BC实际上必定是无限的。然而，

乙

C

BC 被限制在两条线之间（即

一个

乙

AB 和

一个

C

交流）。它终止于

乙

乐队

C

C. 因此，它也一定是有限的。因此，

乙

C

BC 必须既是有限的又是无限的。这是不可能的。因此，我们构建论点的最初假设是错误的。没有无限的线（和Fortiori，不可能的无限幅度）（R. Rashed 2016; 2018：Sec。11.2; Zarepour 2020b：Sec。3.2）。



图2

阶梯论点是对凯洛（I.5，271b26–272a7）中提出的亚里士多德论点的康复。 Avicenna在“治愈”的物理学中讨论了这一论点（Avicenna [PH2]：第三章，[7]）。该论点一直是激活后哲学的长期辩论的主题（McGinnis 2018）。该论点在他的al-Muʿtabar（第2卷，84-86卷）和纳吉姆·al-dīnal-kātibīal-qazwīnī（卒于1277年）中批评了阿布·巴拉卡特（Abūal-Barakāt）（第2卷，第84-86卷）中的论点（卒于1277年）。 [2002：38–39]）。另一方面，可以在Al-Cisenna的指示和提醒的评论（在Avicenna [Pointers]：Namaṭi，183-191）和Mullāṣadrā的评论中，在Avicenna的指示和提醒中的评论中可以找到阶梯论点的防御措施。 （Sharḥal-HidāyaAl-Althīrīya，65-69）。

（3）映射参数（Burhānal-Taṭābuq或al-Taṭbīq）：考虑一条实际的无限线

一个

C

AC从

一个

a并无限地沿着

C

C.删除有限段

一个

乙

从一开始

一个

C

交流电。假设

乙

*

C

*

b ∗ c ∗是（相应地，与相同长度）的副本

乙

C

公元前。比较大小

乙

*

C

*

b ∗ c ∗

一个

C

AC通过将前者映射到后者上，以使两条线平行，并且

乙

*

B ∗就在

一个

一个。

乙

*

C

*

b ∗ c ∗必须在

C

*

C ∗。否则，

乙

*

C

*

b ∗ c ∗将是有限的。这意味着

乙

C

卑诗省也是有限的。因此，

一个

C

AC-这是

乙

C

BC有限段

一个

乙

AB - 将是有限的。由于这与最初的假设相矛盾，

一个

C

AC实际上是无限的，

乙

*

C

*

b ∗ c ∗必须在

C

*

C ∗。但是如果是这样，那

乙

*

C

*

b ∗ c ∗和

一个

C

AC彼此相对应，从某种意义上说，其中一个没有任何部分被另一个人发现。因此，基于欧几里得元素的第一本书的第四个共同概念 - 彼此相对应的事物相对应（[1908：第1卷1，155]） - 我们可以得出结论

一个

C

交流等于

乙

*

C

*

b ∗ c ∗。这表明

一个

C

AC也等于

乙

C

BC，这是适当的部分

一个

乙

AB。但是，第五欧几里得共同的观念指出，这种整个部分平等是荒谬的（[[1908：1，155]）。所以，

一个

C

交流不能等于

乙

C

公元前。因此，最初的假设是

一个

C

AC实际上可以是无限的线，必须被拒绝。实际上没有这样的无限幅度。



图3

早期的映射论点版本可以在Al-Kindī的作品的不同地方找到（Rescher＆Khatchadourian 1965; Shamsi 1975; Shamsi 1975; Adamson 2007：第4章； Zarepour 2020b：n。52）。 Avicenna提出了更精确的该论点版本（Marmura 1960； McGinnis 2010：Sec。4; Zarepour 2020b）。这些思想家提供的论点版本的强度和准确性至少部分取决于他们对几何幅度平等概念的约束。已经表明，一些穆斯林思想家对此概念有相当详细的说法（R. Rashed 2019）。

像其他两个论点一样，映射论点的主要目标是证明实际上没有无限的连续幅度。穆斯林思想家阅读了欧几里得的元素（BKS 7-9）之后，知道数字很容易以大幅度代表。因此，任何关于无限幅度不可能的论点都可以作为反对数字无穷大的论点。但是，无限收藏呢？这三个论点都不适用于无限的离散实体集合。然而，有人认为，Avicenna可能意识到可以修改映射论点，以便适用于无限的离散编号事物集合（Zarepour 2020b：Sec。4）。可以通过采用我们先前在连续大小的情况下使用的“映射”概念来比较两个离散实体的大小。但是，在离散实体的集合的情况下，必须根据相关两个集合的要素之间的一对一信件来兑现此概念。如果一个集合的每个成员可以与一个（和另一个）的一个成员配对，则两个离散实体的集合相互对应，以使这些收集中的任何一个成员均不属于未配对。 Avicenna似乎已经意识到，无限的离散实体集合可以与其某些适当的子汇编一对一地置于一对一的往来。他发现这与无限幅度及其适当下限的无限幅度的对应关系一样荒谬。他明确地提到，映射论点可以排除无限幅度和无限集合的离散实体（例如数字和编号事物）的可能性。但是，在离散事物的情况下，他本人并没有明确说明这一论点实际上是如何工作的。他没有提供任何具体的示例，即将映射参数应用于无限的对象集合的情况。这样的例子可以在诸如fakhr al-dīnal-rāzī（Sharḥʿuyun al-ḥikma，al-ṭabīʿīyāt [1994：53]）等后艾维利亚哲学家的作品中找到。 Al-Ghazālī（卒于1111年）在他的Maqāṣid中提到了映射论点（[2000：97-98]），这一论点最早传播到拉丁传统的传统可能是通过Maqāṣid的拉丁语翻译在第三季度的拉丁语翻译十二世纪。