量子混乱（一）

正如主要文章所讨论的那样，混乱研究的重点是我们日常经验的宏观世界。量子力学（QM）侧重于基本颗粒和原子的领域。量子混乱或量子杂志更为恰当地称为（Berry 1987; 1989） - 尽管该术语在很大程度上被物理学期刊拒绝了 - 是对微观模型中混沌动力学之间的关系的研究QM领域。混乱在宏观系统中对量子系统的含义已经进行了一些激烈的研究，并提出了关于量子域中混乱实际存在以及宏观物理学和量子物理学之间对应原理的可行性的问题，以命名最具挑衅性。

在查看这些问题之前，存在定义量子混乱的棘手问题。建立对量子混乱的商定定义的困难实际上比古典混乱更具挑战性（第1.4节）。试图达成古典混乱的共识定义，涉及几个微妙之处。对于必要条件的一个重要建议是存在某种形式的拉伸和折叠机理，与系统中的非线性相关。但是，由于Schrödinger的方程是线性的，因此量子力学是一种线性理论，这意味着量子状态最初结束时，量子状态在其演变过程中保持同样接近（在希尔伯特空间规范中）。因此，与宏观物理学中的混乱相反，在施罗丁进化下，量子状态之间没有分离（指数或其他方式）。波数据包可以分叉和/或合并，这与经典轨迹所表现出的动力非常不同。

此外，混乱的另一个必要条件是模型或系统是确定性的。通常，QM被认为是不确定理论的一个例子。尽管人们可以对量子力学中不确定性的状况提出问题，但由于这些系统无法表现出独特的进化，因此怀疑大多数（如果不是全部）的量子系统是不确定的。

此外，全球Lyapunov指数不能在QM中定义。由于海森堡的不确定性，波浪函数始终必须具有有限的大小，这意味着无法定义无穷小的分离，而量子力学期望值与准经典轨迹计算的状态空间平均值不同意，如半古典近似值。 Lyapunov指数仅针对经典状态空间中的轨迹定义。因此，与基质轨迹一起，QM中似乎缺少了必要条件的大多数最佳候选人。

即使是古典混乱的工具包，在QM中也很大程度上不适用。当然，用于计算任何类型的Lyapunov指数的技术是不适用的。但是严格来说，庞加莱的截面图没有很好地定义，因为希尔伯特空间中的表面没有很好地定义量子系统。通常在量子情况下发生的情况是转到半古典近似的切换，涉及让普朗克的常数变为零，以便可以定义表面。

最后，经典混沌动力学和量子动力学之间的一个重要区别在于，前者的状态空间支持分形结构，而后者的状态空间则没有。确实，许多刚刚总结的问题可以追溯到量子系统的状态空间的性质。

研究人员追求“对经典同行的系统的半经典但非经典的现象特征的研究”（Berry 1989，第335页）。事实证明，这种量化的系统本身有趣的系统表现出许多显着的行为。正是这些行为引起了关于量子域可能采取的混乱动态形式和对应原理的有效性的问题。此外，这些研究揭示了进一步的证据，表明量子和经典领域之间的关系确实是微妙的。

量子杂志研究人员通常集中于独立于所研究量子系统的通用统计特性。此外，研究集中于所谓的简单量子系统（即，可以用有限数量的参数或有限的信息来描述的研究）。在此类系统中研究的统计特性的种类包括能量水平和波功能的半古典结构的统计。这些统计特性与原子和核物理学，介质系统的固态物理学甚至量子信息中发现的量子状态过渡，电离和其他量子现象有关。研究的一些典型系统是量子台球（限制在二维运动的粒子），量子踢转子，单个定期驱动的自旋和耦合旋转。与经典混乱一样，通常将迭代地图用于研究量子混乱。

台球是一个特别研究的模型家族。想想一个完全平坦的台球桌子，并假设台球会弹性地从桌子的边缘弹起。这样的模型表在我们的经验的宏观量表上，球和边缘以经典力学为特征，称为经典台球。已经为古典台球制定了许多分析结果，使这是一个非常有吸引力的研究模型。混乱的台球是经典的台球，条件会导致球的混乱行为（例如，上的轨道和SDIC）。这种分析和计算丰富的人制作了用于研究量子性融合的台球主力的量子版本。一个人可以通过使用Schrödinger的方程来产生量子台球来描述反映边界的粒子（在一个人指定边界处的波函数为零），或者可以从描述经典台球的方程式开始，并量化可观察到的物体（例如，例如，位置和势头），产生量化的台球。

为了组织讨论，将首先对能量光谱离散的孤立系统进行治疗，然后再处理能量光谱连续的相互作用系统。一些人认为，量子系统的隔离对于量子领域中是否存在混乱很重要。

Q1是否存在量子混乱？孤立的系统

经典的混沌动力学具有与其运动相关的连续能谱。正如主要文章中指出的那样，经典混乱通常被认为是有界宏观系统的特性。相比之下，有限的，孤立的系统中的量子动力学具有离散的能量谱。动态系统理论中的离散光谱与混乱行为不可能的集成系统有关。

此外，只有在适当地反映经典系统行为的量子系统中，诸如SDIC之类的现象才有可能。从半古典的考虑因素，Berry等。 （1979年）表明，半古典量子系统（有关如何构建此类系统的构造）可以反映其相应的经典系统的行为，直到Ehrenfest时间

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通常，随着经典结构域的接近，通常将其视为降低的参数。从这个角度来看，较小

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第二节。随着普朗克的不断减少，

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相反，与约束混沌系统相反，轨道开始逐渐合并

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在变得太散布在能量表面之前

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是量子波包何时扩散到模仿经典轨迹和Ehrenfest定理分解的量度。因此，随着时间的推移，半古典系统的工作有两种效果：（1）经典混沌轨迹的合并，（2）量子波包的扩散。鉴于这些效果和Schrödinger方程的线性性，发现经典混乱的近量子类似物看起来相当黯淡。

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这是预期量子状态向量的长期范围的重要限制，在半经典量子模型中存在有趣的行为，该模型与较长的时间尺度上的经典混沌系统相对应。通过进行更详细的分析，Tomsovic和Heller（1993）表明，将完整的量子解决方案与适当选择的半古典解决方案与某些台球问题进行比较

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包括能量光谱的细节。对于他们的技术，半古典力学仍然准确地模拟量子系统，直到与尺度相比

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这些量子杂志研究中的绝大多数都集中在三个问题上：

量化经典混乱系统的行为是什么？

是否有经典混乱的量子机械表现或“前体”？

混沌和非核量子系统之间是否存在严格的区别？

前两个问题集中在不同的研究方向上，这两种都与所谓的半古典力学有关。首先，调查始于经典的混沌系统，并试图对其进行量化以研究其量子行为。为了量化经典模型，一个人用其相应的量子运算符替换运动方程式的功能（例如，位置和动量操作员替换了位置和动量的经典变量）。有各种结果表明，量化时强烈的经典台球表现出量子性。但这与表明经典的混沌系统（量化时）表现出经典混乱行为的痕迹不同。由于本小节开始时列出的原因，后者没有示例。

此外，量化经典台球的量子干扰有有趣的数值结果（例如Casati and Prosen 2005）。考虑一个双缝，带有带有经典台球形状的二维波谐振器中的源。将高斯波数据包的初始平均能量调整为量化台球的激发状态的1600，并将其发送到谐振器的双裂口开口。让狭缝宽度为三个de broglie波长，并假设波数据包在动量中峰值达到峰值，以使其通过Heisenberg关系的空间扩散是谐振器的宽度。如果谐振器的形状对应于经​​典的混沌台球，则几乎没有量子干扰。在经典的情况下，倍数反射的波将在相相中随机分组。另一方面，如果谐振器的形状对应于经​​典的常规台球，则出现众所周知的干扰模式。因此，相应的经典台球是否混乱都决定了量化的量子模拟是否表现出干扰。

第二个问题始于量子系统，该量子系统通过适当的半古典限制与经典混沌系统有一定的关系。经典的量词方向通常遵循Martin Gutzwiller（1971）使用Gutzwiller半古典痕迹公式的开拓性工作。量子到古典方向要困难得多，并且充满了概念问题。这里的标准方法是从与经典混沌系统的量子类似物开始，然后得出一个半古典系统，该系统以某种经典的限制代表量子系统（Berry 1987和2001； Bokulich 2008）。这项工作导致具有通用特征的半古典系统的适当归一化能级的统计量。对于表现非偏换的经典系统，半经典系统的能级近似于泊松分布，其中较小的间距占主导地位。

相比之下，当经典系统混乱时，相应的半古典系统的能级采用了Eugene Wigner（1951）最初得出的分布来描述核能光谱（有关讨论，请参见Guhr等，1998）。这些后一个分布仅取决于对称性的特性（例如，系统中的时间反转对称性）。 Wigner最初通过假设在海森堡表示使用典型基础向量的海森堡表示中来得出这些分布，从而使汉密尔顿的基质元素可以视为高斯随机数。这会产生一个模型，称为随机矩阵模型，该模型没有自由参数，并且在碱基的广泛变化下是不变的。 Wigner的随机矩阵模型在描述复杂量子系统的能量光谱方面非常成功。此外，模拟经典系统中周期性轨道的存在很大程度上决定了半古典系统的特性（Berry 1977）。

关于第三个问题，关于任何一个量子特性尚无协议，可以区分非差异量子系统和量子融合（例如Weigert 1992）。

台球系统已经是用于探索混沌动力学的范式模型，但通常这些系统是使用点粒子建模的。一些人认为，探索更现实的系统（例如半径的颗粒

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更适合研究量子混乱。虽然在这种情况下，跟踪有限半径的物理粒子的运动的运动就足够有限粒子（即比例转换）。关于这种过渡的有趣之处在于，对于具有定期动力学的点粒子的台球系统，转换为有限粒子也可能导致混乱的行为，即使在描述动态系统的方程式中没有更改参数值。反向过渡也是可能的，其中具有有限尺寸颗粒的混乱台球转变为点粒子，现在将显示出规则轨道，而参数值没有变化。从本质上讲，粒子半径成为一个参数，在研究与混乱行为的过渡时必须考虑到这些参数。

有限大小的粒子台球可能是在半古典限制下研究量子混乱的更合适的环境，即波函数在量子系统中始终具有有限的大小，并且在QM中不能定义全局Lyapunov指数。取而代之的是，可以定义用于量子系统的超时订购的相关器（OTOC），在某些情况下，可以表现出指数增长，其中有些人认为这类似于在Planck的半经典限制中与全球Lyapunov指数类似常数转至零（例如Rozenbaum，Ganeshan和Galitski 2019）。在Larkin和Ovchinnikov（1969）中引入了OTOC，以测量凝结物理学中杂质分散的电子轨迹的不稳定性。虽然OTOCS表现出某些半古典台球（Rozenbaum，Ganeshan和Galitski 2019）的指数增长，但OTOC和Global Lyapunov指数之间的类比对于其他量子系统分解了（例如Rozenbaum，Ganeshan和Galitski 2017）。 。同样，一些表现出规则行为的古典台球具有半古典量子类似物，表现出OTOC的指数增长（Rozenbaum，Ganeshan和Galitski 2019; Hummel et al.2019; Pilatowsky-Cameo etal。2020），呼吁任何经典的经典问题 - 经典和量子（或半古典）台球之间动力学的对应关系。

Q1.1量子混乱猜想

有趣的是，许多具有“经典限制”的简单QM系统，其中相应的经典模型表现出混乱的动力学也显示了通用能量水平波动，这些波动是由Wigner的方法很好地描述的（Casati，Guarneri和Valz-Gris 1980； Bohigas，Giannoni和Giannoni，and Giannoni和Schmit 1984）。这些是低维系统，自由度很少，在不同的空间尺度（例如台球系统）上没有进行相互作用。在这一领域的工作导致了量子混乱的猜想：

（量子混乱猜想）半古典量子系统能量光谱中的短距离相关性，这些系统在经典极限上强烈混乱，遵守普遍波动法律，基于没有自由参数的随机矩阵的集合。

这个猜想，也称为Bohigas，Giannoni和Schmit（1984）猜想，提出了经典混乱与随机矩阵理论之间的关系，该模型是描述量子光谱和波浪函数统计的模型随机概率分布（Fyodorov 2011）。随机矩阵理论被引入核物理学，并由Wigner在1950年代（1955，1957，1958，1967;另见Dyson 1962a，b，C，1963a，b）开发。随机矩阵在核的统计数据中的成功应用导致其在其他物理领域的广泛应用。

量子混乱的猜想是由数十年来积累的证据激励的，即从经典混乱的模型中得出的非常简单的不可依赖的半古典模型的能量光谱包含有资格作为随机矩阵理论描述的普遍性类别的波动。伊恩·珀西瓦（Ian Percival，1973）是第一个提出随机矩阵的统计数据，可用于正式区分半古典量化的经典混乱系统与缺乏混乱动力学的半经典量化的可混合系统的行为（尽管他提到“他提到”（尽管他提及“”随机分布”而不是随机矩阵）。假设是经典动力学是通过对应原理的量子动力学限制，这意味着以这种方式相关的经典动力学表现出的行为应反映在相应的光谱中。

迈克尔·贝里（Michael Berry）和迈克尔·塔博尔（Michael Babor，1977）证明，在半古典限制中，两个或多个自由度的可集成系统表现出与纯随机过程相同的统计特性（例外是病理案例，例如谐波振荡器） 。实际上，能量水平以统计独立性排列，好像一个人从罐子里抽出大理石一样。 Sieber and Steiner（1990）提供了Bohigas，Giannoni和Schmit（1984）的原始计算机模拟，对采用各种方法的其他数值和理论支持也提供了。 （1993），Zirnbauer（1996），Horvat和Prosen（2003），Müller等。 （2005），Müller等。 （2009年）和Atland等。 （2015）。其中一些结果仅适用于

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，其中量子和古典动作应该是无法区分的。然而，猜想的证明仍然是一个悬而未决的问题。

量子台球的光谱在半古典极限上，对应于一个经典的台球，该台球表现出由真实随机矩阵的高斯合奏给出的混乱，这是猜想的标准示例。在强磁场中的氢原子以及二氧化氮分子的激发光谱，以及其他原子和分子系统，也以真实随机矩阵的高斯集合体为特征。理论和实验结果对量子混乱猜想的合格支持的最佳解释提出了推断。

鉴于随机矩阵理论成功地应用了核光谱和这些经典结果，因此合理地寻求以混乱系统为限制的量子系统的模拟结果。量子混乱的猜想基本上意味着经典混沌系统的半古典类似物的能量光谱在结构上与经典系统中的能源相同。由于这是关于半古典系统的猜想，因此，半古典系统的能量光谱的结构严格取决于相应的经典系统中的混乱，而不是量子或半古典系统中的任何混乱行为。但是，重要的是要记住，有许多非核系统，其能量和其他统计数据是由随机矩阵描述的。任何给定的系统，量子，半古典或经典的事实可能具有随机矩阵所描述的特征，这并不是一个区别混乱的标志，尽管某些量子混乱文献遭受了这种混淆（例如，Ullmo 2016）。服用由经典统计力学中混乱动力学以及在量子系统中使用热化作为混乱的标志的热能产生的类似问题（例如，Rigol，Dunjko和Olshanii 2008； Hallam，Morley和Green 2019）。在许多方面，系统可以通过多种方式接近热力学平衡，使热化成为混乱动力学的不适当签名。

就像在混乱定义的讨论中一样（第1.4节），类似于混乱

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是需要的，但均不需要统计签名，例如随机矩阵，也不需要告诉我们有关混乱动力学的任何区别，因此本身无法将混乱与其他类型的复杂行为区分开。

Q1.2量子到古典问题

但是，可以对这些量子到古典研究提出严重的问题。半古典系统是使用各种渐近程序得出的（Berry 1987和2001），但是这些程序并未产生假定是量子系统限制案例的实际经典系统。更重要的是，量子和经典域之间的限制关系与半古典方法中通常考虑的域（§Q3）不同。数学结果与实际量子和经典物理系统之间的关系是微妙的。量子混乱猜想仍然未经证实的原因之一可能是使用“经典限制”的不适当概念。即使在半古典台球中的量子台球的能量水平统计数据与古典台球系统具有通用属性，但经典和量子系统中轨迹的实际行为却大不相同（例如，在SchrödingerEvolution Hilbert Space Vectors下，Hilbert Space Vectors永远不会彼此不同） 。