Ramsey和代际福利经济学（一）

1. Ramsey的制剂中的生产可能性

2.经典的微积分

2.1未来井的零折扣

3.最佳储蓄问题

3.1未纪念的功利主义

3.2重新正常化未经纪发的功利主义

3.3超车标准

3.4折扣利用主义

4. Ramsey规则及其后果

4.1变分论

4.2 Ramsey分析中的不完整性

4.3横向条件

4.4储蓄最佳速率的数值估计

4.5评论

参考书目

学术工具

其他互联网资源

相关条目

1. Ramsey的制剂中的生产可能性

Ramsey的目标是实用：“一个国家的产出应该为未来节省多少？” 随着时间的推移，他被他带来了人口统计概况，这意味着未来的人数被视为外源性和可预测的。 因此，我们要想象，经济政策对生殖行为的影响可忽略不计（但是看到达斯格亚，1969年，使用古典的功利主义作为指导原则的共同人口/储蓄问题的研究。 Parfit（1984）涉及相同的人口统计概况的选择选择，“相同的数字选择。”

Ramsey的理论的成分是个人终身幸福。 他的世界中的政府房屋最大限度地提高了今天在这里的所有终身幸福的预期总和，所有将均为谁诞生的人，受资源限制。 世代跨越终身井的最佳分布是从该最大化练习中获得的。 当然，时间的流逝与世代的进步不同。 个人的终身幸福是她经历的幸福流动的总体，而代际幸福是所有出现在场景上的所有人的终身福祉的总体。 这两种聚集体应该具有相同的功能形式是值得怀疑的。 另一方面，几乎没有证据表明我们假设他们确实具有相同形式的标记。 作为一个实际的道德问题，它通过不区分某人随着时间的推移而区分某人的功能形式，这有助于近似。 Ramsey采用这种捷径。 人们也被认为是相同的，所以我们可能也假设每个日期都有一个个人。 此举消除了时间和世代之间的任何区别。 替代解释将使我们想象经济由一个王朝组成，每代父母都会为孩子留下遗产（Meade 1966，通过了这一解释）。 Ramsey还假设，可能是因为数学是更简单的，那个时间是连续变量，而不是离散的。

设t≥0表示时间。 在Ramsey的模型中，没有不确定性（但是看到Levhari和1969年的Srinivasan，这是一个纳入未来可能性的不确定性的Ramsey模型的许多扩展之一。 经济赋予了一个单一的非贬值商品，可以通过劳动力在每个日期生产产出（Gale 1967和Brack 1973的商品，这是包含异构模型的最重要的资本货物的延伸中的第一个延伸之一）。 假设经济被封闭到国际贸易（打开经济交易涉及只有一个小扩展到Ramsey的模型）。 这意味着可以投入一些输出，以便增加商品的库存，而剩余部分可以立即消耗。 我们称之为用于生产产出的商品库存，“资本” 问题是，在消费和投资之间的每一日期都找到最佳输出的最佳分配。

Ramsey认为这项工作令人不愉快。 但由于在我们的工作中包括工作的宿舍在这里，这里的内容没有任何物质，我们认为劳动力供应是一种外源给出的常数（例如，它独立于工资劳动力的工资劳动力。 这使我们能够抑制生产中的劳动力和影响福祉的因素。

如果K是经济的资本库存，并且只有商品，输出被认为是f（k），其中f（0）= 0（如果没有资本，则输出为零），df（k）/ dk＞0（即边缘产品资本是阳性的），D2F（k）/dk2≤0（即K的边际产物不随K）。 F（k）是一种流量（在时间上的生产），与k相比，这是股票（资本数量，期间）。 还注意，产出仅取决于资本股票。 没有提到的资本或劳动力的可能性。 因此，Ramsey模型中的人力资本的技术进步或积累了技术进步或积累了（但是，对于包括生产和人力资本形成的技术进步的Ramsey模型中的许多扩展中的一个延伸中的一个）; 在模型中也没有任何自然资源（但看到Dasgupta和1974年，其中一个包括在生产中的自然资本的Ramsey模型的许多扩展中的第一个扩展之一）。

让C（t）在t时消耗。 这是一个流动（每周的消费单位）。 同样，我们为T的资本股票写作K（T）。 由于DK（t）/ dt是T的资本股票的变化率，它是“T的净投资”，这也是流量。 由于资本股票被认为不贬值，投资总额等于净投资。

在Ramsey的模型中，每时每刻的预期输出等于预期投资和预期消费的总和。 始终意识到意图。 为了把它掌握技术语言，经济在每一刻都处于均衡，这是另一种说法，即每时每刻都在节省预期投资。 （假设在具有单个代理商的模型中没有解释，但在一个世界上有真正的咬合，那里储蓄者与投资者不同一代理商。）假设资本始终完全部署，并且劳动力（隐藏在生产函数f（k）中隐藏在生产函数f（k）中）被采取完全雇用。 t的输出是f（k（t））。 遵循经济由动态方程驱动

dk（t）dt = f（k（t）） - c（t）

等式（1）表示，如果消费是C（t），则投资是产出的遗体。 因此，Ramsey的问题可以同样地投射，“它应该消耗多少国家的输出？” 如果消耗量小于T（即，C（t）＜f（k（t）），则投资是阳性的（即，DK（t）/ dt＞0）和资本库存增加;但如果消费超过T，则投资是负的，这意味着资本被食用，股票下降（即，DK（T）/ dt＜0）。我们现在想象一下，政府房屋由一个“社会关心的公民”建议，该人是试图确定经济消费和投资之间正确平衡的人在每一日之日。我们将称该人称之为决策者或DM。Ramsey想象DM是一个经典的功利。

2.经典的微积分

古典的功利主义将良好的良好标识到随着时间的推移和几代人的预期和。 以下是Sidgwick（1907：414）：

似乎......清楚，人类存在的时间不会影响他普遍的观点的幸福的价值; 而且，后代的利益必须与他的同时代人一样多，除了他对后期行动的影响 - 甚至存在受影响的人类的影响 - 一定要更不确定。 （斜体添加）

要进行正规化，我们考虑DM正在考虑的任意日期T. 假设τ表示不早于t（即，τ≥t）。 Ramsey被认为是一个决定性，无限的生活（但是，除了纳入个人或社会灭绝的风险的Ramsey模型中的第一个扩展的第一个延伸的yaari）。 假设是数值的幸福。 让U（t）在T处于良好状态，并且让V（t）是在时间t的时间和世代跨越时间和几代流动的总测量，如时刻t所示。 拉姆齐遵循Sidgwick假设

v（t）=∫∞t[u（τ）]dτ

v（t）是在t的代际福利。 由于Ramsey的世界是确定性的，而V（t）也是V（t）的预期值。 所以Sidgwick的标准是等式（2）中的v（t）。

在任何给定日期的福祉被认为是在该日期的一定是消费的函数。 因此，我们编写U（t）= u（c（t））。 Ramsey认为边际阱是阳性（即du（c）/ dc＞0），但随着消耗水平的增加而减小（即，D2U（c）/ dc2＜0）。 后一属性意味着U（c）是严格凹入的函数。 （Edgeworth 1885，已经常规化了与越来越多的消耗越来越多地下降的想法。）因此可以写入等式（2）

v（t）=∫∞t[u（c（τ））]dτ

如公式（3）中反映的古典的功利主义要求如果你是阱的数值措施，那么αu+β是αu+β，其中α是正数，β是任一符号的数量。 正式，我们说你是独一无二的“积极的仿射转变” 我们现在确认理论的建议在这种转变下是不变的。

2.1未来井的零折扣

在等式（3）中，从目前的时刻t时，您的未来值不会折扣。 这种特殊的举措在经济学家和哲学家之间引发了比Ramsey最佳储蓄理论的任何其他特征更具争论。 辩论偶尔甚至刚刚滥用的经济学家习惯于（参见特别是Nordhaus 2007）。 在普遍普遍存在的风险，经济学家赞成利用阳性率来折扣未来的众多，而哲学家坚持认为，未来人民的福祉应该与现在的重量相同人（例如，Parfit 1984）。

古典的功利主义与未来井的积极折扣是什么样的？ 让Δ＞0是所认为未来康复的速度的速度（为简单起见，我们将折扣率达到恒定）。 然后，代替等式（2） - （3），在T处的代际福祉将被读为

v（t）=∫∞t[u（τ）e-δ（τ-t）]dτ=∫∞t[u（c（τ））e-δ（τ-t）]dτ，t≥0

在等式（4）中，Δ“时间折扣率”和E-Δ产生的“时间折扣系数”

δ＞0意味着e-δ＜1。 这意味着e-δ（τ-t）呈指数趋于零归零，因为τ趋于无穷大。 在他的纸质拉丝（1928：553-555）的后半部分，使用了方程（4）来研究最佳储蓄问题，但他没有批准制定。 相反，他写道（第543页）以后折扣你与早期的比较是“......道德上不可侵染，只是从想象力的弱点。” 在一本揭示经济发展正式研究的书中，哈罗德（1948：40）通过致电实践“......对韧皮的礼貌的表达和激情的征服理性”

强烈的话语，但对一些经济学家来说，Ramsey-Harrod在一个确定性世界中的狭隘术语读起来像周日文字。 SOLOW（1974A：9）在他写的时候表达了这种感觉，“庄严的总结一下，所以要说的，我们应该采取行动，好像[未来井的贴现率]为零。”

但没有对经济开放的生产和消费可能性的研究，无法解决问题。 考虑两套考虑因素之间的紧张：

如果未来的众多以阳性率折扣，几代人将在未来的几代消费利率将不会被当前DM成为糟糕的事情。 所以今天的DM将推荐现在的消费利率和不久的将来，即使在遥远的未来中的一代人都会生活在脾气中。 但是，如果遵循这种政策，则不会达到DM可能持有的古典功利主义的进一步道德要求，即“代际股权”，这将不会得到满足。 因此，我们应该跟随Ramsey，而不是折扣未来的众多。

写df（k）/ dk作为fk。 从等式（1），推断FK是投资回报率很简单。 在Ramsey的经济FK＞0中，这意味着每个输出单位被保存的产量超过一个未来消费的单位，其他东西平等。 例如，如果DM是为了减少一个单位的T次数，则稍后将在最短暂的时间内可用的额外消耗 - 我们将其写入Δt - 不影响任何未来日期的消费将是1+ [DF（k（k（k（k（k））/ dk（t）]Δt。 因此，资本的生产率与时间箭头相关联，这会产生一个支持后代的偏见。 这种偏见给了格言咬了一口，“我们可以为后者做点什么，但是后世能为我们做些什么吗？” 这种思想不可避免地出现，如果她认为福祉的争论作为古典功利主义的补充，那么偏差可能会在DM的微积分中反驳。 反过来表明DM应该以阳性率放弃Ramsey和未来未来的众生。

经济学文献中已经证明了每次考虑的力量。 已经显示在一个简单的模型的背景下，如果生产需要生产资本和易于资源的资源，那么如果未来的井数以阳性率（Dasgupta和Heal 1974）折扣，则最佳消费从长远来看，长期以来，如果我们的折扣关注Ramsey不打折未来井（SOLOW 1974B）。 练习告诉我们，最佳节省政策的长期特征取决于未来井的折扣率和资本资产的长期生产率的相对大幅度。

这里有一个更普遍的点，由Koopmans（1960,1965,1967,1972）探讨，以在经济发展思想的一系列出色的出版物中。 在如此复杂的练习中，因为涉及消费和投资在很长一段时间内的那些，这是愚蠢地认为任何道德原则（例如，古典的功利主义）作为Sac鱼科。 人们永远无法提前知道它可能会撞到什么。 比Ramsey更明智的策略将是在不可难以征生的世界中对另一组伦理假设进行争夺，看看他们的含义是如何对世代的分布分布，然后在争论之前吸引我们直观的感官政策。 结算前蚂蚁是否使用阳性率来折扣未来的众多，这可能是一个自我挫败的举动。[1]

3.最佳储蓄问题

Ramsey认为是一个无限期的未来的世界。 这似乎是一个奇怪的举动，但它具有强烈的理由。 假设DM是选择T年的地平线。 正如她不知道我们的世界将结束的时候，她想指定在世界不终止的情况下应该留下的资源。 但要找到留下的金额的理由，DM将需要评估世界之外的世界，但这将是在包括世界之外的世界。

将来自当前（t = 0）的消耗流表示为无穷大，为{c（t）}。 k（0）＞0循环经济; 它是社会继承自过去的资本数量。 数学家会致电K（0）“初始条件” Ramsey Set自己的问题是为了确定消费流{C（t）}从0到无穷大，如果她是古典的功利，那么DM将选择DM。

3.1未纪念的功利主义

如果满足初始条件k（0），则呼叫消耗流{C（t）}可行的可行性。 在Ramsey的确定性世界中，古典的功利制定日期的最佳国家节省问题的典型功效制定因此是：

“从所有可行的消耗流的集中，找到最大化的{c（t）}

v（0）=∫∞0[u（c（t））] dt。“

我们将调用此优化问题，Ramsey Mark I.

Ramsey Mark i：Ramsey Mark I非常困难：它不连贯。 无限的总和不一定会聚。 对于无限积分不收敛的任何{c（t）}，不存在v（0）。 如果积分是非融合的，对于每个可行的消耗流{c（t）}，最大化问题毫无意义：一个不能最大化似乎是真实值函数v（0）的东西，当实际上不存在时。

可以看到这种观察的力

示例1（归因于David Gale）

假设作为Ramsey经济的极端特殊情况，所有K≥0的F（k）= 0。 然后等式（1）减少到

dk（t）dt = -c（t）

等式（5）中描述的经济包括在初始日期的非劣化饼干，大小k（0）＞0。 显而易见的是，在长期运行中满足方程（5）的每个消耗流{c（t）}趋于为零。 正式，c（t）→0作为t→∞。

由于U-函数是独一无二的，我们可能没有任何一般性的损失，因为它使U（0）≠0的任何损失标准化。 然后，对于所有可行的{c（t）}，v（0）在Ramsey标记中，如果u（0）＜0，则分叉IF为减去无限远，但是如果u（0）＞0，则发出加上无穷大。 如果我们现在召回u（c）被认为是严格凹的，那么在蛋糕饮食模型中不存在最佳政策。 这些假设意味着通过合适的再分配可以改善几代人之间的任何非平等主义分布。 理想的分布对于所有世代都是相同的消费。 所有与后者属性的唯一消耗流是C（t）= 0的所有t。 但这是最糟糕的分布。 量子电动力学

3.2重新正常化未经纪发的功利主义

问题出现了是否存在具有最佳消耗流的情况，即使V（0）不收敛所有消耗流。 Ramsey通过改变拯救问题提出的方式来制定问题。

想象一下，无论发生多大的消费，都是幸福的。 让你成为DM选择与之合作的幸福的数值衡量标准。 （你的所有积极仿射变换都是同样合法的幸福措施。）让B成为U. Ramsey的最低界限将其“幸福”。 由于他模型中投资回报率（FK）是阳性的，因此如果合适地选择节省速率，消费将在长期下无限期地生长并且趋于无穷大。 这意味着有可能的经济发展路径，其中u（c（t））从长远来看倾向于b。 但这意味着有可能的经济发展路径，其中来自B的B（C（T））的短暂衰落趋于零。 如果短落趋于速度足够零，则不存在Uncucted的差异的积分，并且DM可以寻求最大化修改的积分。 所以我们有Ramsey Mark II，它读为

“从所有可行的消耗流的集中，找到最大化的{c（t）}

v（0）=∫∞0[u（c（t）） - b] dt。“

请注意，Mark II是标记I的转换。转换量将重新标准化最优性标准。 不仅从标记I转到标记II对Ramsey的巧妙，而且也表现出他的道德完整性。 他可以很容易地询问DM，而不是折扣未来的消费，并扩大功利主义为问题提供答案的情况范围DM正在试图解决。 他选择不这样做。

Ramsey的直觉从Mark I转移到Mark II的强大，但在一篇关于Ramsey问题上发起现代文献的论文中，Chakravarty（1962）观察到依赖于Ramsey的条件已被确定为必要的消费流是最佳的（见下文）可以导致荒谬的结果（见下文，Sect。4）。 实际上，Chakravarty观察到，即使在Ramsey Mark II中以重新归一化形式施放的无限积分，也不一定会收敛到有限的值。