兰姆达微积分（完结）

8.扩展和变体

8.1组合逻辑

λ-微积分的姐妹形式主义略先发展，涉及可变组合。 组合逻辑的确定比λ-微积分更简单，因为它缺乏可变绑定的概念。

组合逻辑语言从组合器和变量建立。 恰好有一些灵活性，精确选择了哪些组合者作为基本，但是一些标准的是i，k，s，b和c。（名称不是任意的。）

与λ-微积分一样，具有组合逻辑，一个人对可还原性和可证明感兴趣。 缩减关系是：

CombinatorreDelied Axiomiix = XKKY = XSSXYZ = XZ（YZ）BBXYZ = X（YZ）CCXYZ = XZY

通过翻译，存在从λ-微分的通道到组合逻辑。 事实证明，虽然组合逻辑缺乏抽象的概念，但是可以定义这样的概念，从而模拟组合逻辑中的λ - 微积分。 这是一个翻译; 它是递归定义的。

RuleexpressionTranslationCondition1xx（无条件）2mnm * n *（无条件）3λx[m] kmx不会在M4λx[x] i（无条件）5λx[mx] mx中自由发生在M6λx[Mn] Bm中不会自由发生（λx[n）] * x在M7λx[mn] c中不自由发生（λx[m]）* nx不会在n8λx[mn] sm * n * n中自由发生在m和n中自由发生

此翻译内部的工作方式，而不是外面。 为了说明：

术语λy[y]，身份函数的代表的翻译被该转换映射到身份组合器I（由于规则4），如预期的那样。

λ-tergλx[λy[x]]，我们一直在调用的'k'is映射到以下转换为：

λx[λy[x]]≡λx[kx]1⟩≡k⟨rule3¼

将其两个参数切换到以下转换为：

λx[λy[yx]]≡λx[c（λy[y]）* x]⟨rule8⟩≡λx[cix]⟨λyλy[y]≡i，通过规则4⟩≡bci）（λx[x]）*⟨rule7⟩≡b（ci）i⟨（λx[x]）*≡i，通过规则4⟩

我们可以确认λ-术语λx[λy[yx]]和翻译的组合逻辑术语b（ci）i具有类似的应用行为：对于所有λ-术语p和q我们都有

（λx[λy[yx]]）pq⊳（λy[yp]）⊳qp，

同样，对于所有组合逻辑术语，我们都有p和q

b（ci）ipq⊳（ci）（知识产权）q⊳iq（知识产权）⊳q（知识产权）⊳qp

我们可以给出一瞥组合逻辑; 有关该主题的更多信息，请参阅组合逻辑的条目。 这里讨论的许多问题对于λ-微积分在组合逻辑中具有类似物，反之亦然。

8.2添加类型

在许多推理和计算的背景下，区分不同种类的物体是自然的。 介绍这种区别的方式是要求某些公式，函数或关系接受争论或仅替换某种物体而不是其他物体。 例如，我们可能需要添加+占用数字作为参数。 该限制的效果是禁止，例如，添加5和身份函数λx.x.[4] 将对象分为类型也是从（未分类或单排）一阶逻辑到多次排序的一阶逻辑的段落背后的想法。 （参见（Enderton，2001）和（Manzano，2005）了解更多有关多次排序的一阶逻辑。）在它代表时，λ-微积分不支持这种歧视; 任何术语都可以应用于任何其他术语。

扩展无型λ-微积分是直接的，使其在不同类型的物体之间辨别。 该条目限制了无类型的λ - 微积分。 查看型理论和教会类型理论的条目，详细讨论我们在添加类型的λ-微积分的扩展，以及查看（BarendRegt，Dekkers，Statman，2013）进行主题的书籍长度处理。

从模型理论的角度来看，添加（斯科特，1980）使用的语义事实是，从型号λ-微积分（参见第7.1节）的分类模型来源于键入的λ - 微积分的分类模型来争辩对于在没有无型微积分的概念优先级。

9.应用程序

9.1逻辑àlaλ

这里有两个感官，其中λ-微积分与逻辑连接。

9.1.1术语作为逻辑常数

在上面的组合者表中，我们定义了组合器T和F，并表示它们在真实值的λ-微积分中的表示是真和假的。 这些术语如何担任真实值？

事实证明，当一个人处理λ-微积分作为一种编程语言时，一个可以写入条件陈述“如果p然后是其他b”只是作为pab，当然p，a和b被理解为λ-术语。 如果p⊳t，那是，p是'true'，那么我们有

如果-p，然后-一个-其他-b：=pab⊳tab⊳a，

（回想一下，根据定义，t≡k），如果p⊳f，那是，p是'false'，那么

如果-p，然后-一个-其他-b：=pab⊳fab⊳b，

（回想一下，根据定义，f≡ki）这只是我们对else的概念的预期。 如果P既不缩短，那么我们就不能一般地说，如果-P-the-a-els-b是什么。

我们刚刚绘制了一些熟悉的真相值和古典真实表逻辑的逻辑连接的编码并不显示λ-微积分和经典逻辑密切相关。 编码略微显示出λ-微积分中的经典真理表逻辑的计算规则的嵌入性。 除了有问题的逻辑具有足够的可计算成分（例如，如果逻辑后果关系是可计算的，则可以在λ-微积分中表示以外的逻辑实物表逻辑以外的逻辑（例如，如果可计算逻辑后果关系，或者衍生性关系是可计算的。）。 有关使用λ-微积分计算的更多信息，请参见下面的第9.2节。 在下一节中讨论了逻辑和λ-微积分之间的更多内在关系。

9.1.2类型的λ-微积分和咖喱豪达 - de Bruijn对应

借助称为类型的装置，可以看到在逻辑和λ-微积分之间描述的对应关系。 本节草图称为类型理论的主题的开头。 我们对开发类型理论感兴趣，只要制作所谓的咖喱霍华德 - de Bruijn对应可见。 在型理论的条目中可以找到更详细的治疗; 另见（Hindley，1997）和（Barendregt，Dekkers，Statman，2013）。

类型理论通过要求提供术语来丰富无型λ-微积分。 在没有型号的λ-微积分中，应用Mn是一种法律术语，无论是什么m和n。 这种自由允许一个人形成这种可疑的术语作为XX，并且诸如矛盾的组合器Y等术语可能希望将XX的术语排除在X上作为函数（在应用程序的左侧）和参数上提供xx。（在申请的右侧）。 类型理论为我们提供了使这种直观论点更准确的资源。

分配类型为术语类型理论的语言以（无限）的一组类型变量（假设从λ-微积分的变量和符号'λ'本身而脱节）。 该组类型由类型变量和操作σ→τ组成。 类型理论中的变量现在具有类型的注释（与无型λ-微积分的未固定术语变量不同）。 键入的变量呈现为“x：σ”; 直观的读数是'变量x有σ'。 判断的直观读数“t：σ→τ”是术语T是将σ的参数转换为τ型参数的函数。 给定术语变量的赋值，一个有键入规则：

（是：σ→τ）（n：σ）：τ

和

（λx：σ[是：τ]）：σ→τ

以上两项规则将类型分配给应用程序和抽象条款。 类型理论的组合是根据这些形成规则建立的一组术语。

上面的类型理论术语的定义足以排除诸如XX的术语。 当然，“xx”不是一个类型的术语，因为它没有分配给它的简单原因。 什么意思是没有σ可以分配给x，使得“xx”可以以法律方式注释以制作键入的术语。 我们不能分配给x类型变量，因为那么左手x的类型将无法成为函数类型（即，形状'σ→τ'的类型）。 此外，我们不能分配给X函数σ→τ，因为那么σ将等于σ→τ，这是不可能的。

作为领先示例，考虑分配给组合器I，K和S的类型：

组合子类型[5] ia→又名→（b→一个）s（一个→（b→c））→（（一个→b）→（一个→c））

（请参阅Hindley（1997）的主体类型的表格更广泛的清单。）如果我们读取“→”作为含义和类型变量作为命题变量，则我们识别表格右侧列中的三个熟悉的Tautologies。 使用的语言是微薄的：只有命题变量和含义; 没有其他连接。

该表表明键入的λ-微积分和形式逻辑之间有趣的对应关系。 真的可以将分配给公式的类型，当被理解为逻辑公式时有效？ 是的，虽然“有效性”需要理解而不是古典有效性：

定理如果τ是某个λ术语的类型，则τ是直观的有效性的。

本定理的互动也是：

定理如果φ是一个直观上有效的逻辑公式，其唯一连接是含义（→），那么φ是一些λ-term的类型。

当一个人在某种自然扣除形式主义中识别出衍生性的直觉有效性时，可以看到对应关系。 对于这两个定理的证据，参见（Hindley，1997，第6章）。

在直觉有效性和类型化之间的前两个定理表达的对应关系被称为咖喱豪德 - 德布鲁德对应，在三个逻辑学家独立注意到。 如上所述，相应的对应关系在仅命题直觉逻辑之间，仅限于仅包含含义连接→的片段。 人们也可以将对应关系延伸到其他连接和量词，但最清晰的对应性在于仅含义片段的级别。 有关详细信息，请参阅（霍华德，1980年）。

9.2计算

一个可以以简单的方式代表自然数字，如下：

定义（有序元组，自然数）订购的元组⟨a0，......an⟩λ-术语被定义为λx[xa0 ... AN]。 然后，一个定义对应于自然数N的λ-术语⌜n⌝，例如：⌜0⌝= i，并且每个k，⌜k+1⌝=⟨f，⌜k⌝⟩。

对应于该表示的λ-术语，是：

⌜1⌝≡⟨f，⌜0⌝⟩≡⟨f，i⟩≡λx[xfi]

对应于该表示的λ-术语，是：

⌜2⌝≡⟨f，⌜1⌝⟩≡λx[xfλx[xfi]]

同样，⌜3⌝是λx[xfλx[xfλx[xfi]]]。

可用的各种自然数表示; 这个表示只是一个。[6]

使用由λ - 微积分提供的成分，可以表示所有递归函数。 这表明该模型与其他计算模型的表现形式完全相同，例如图灵机和登记机。 为了更详细地讨论这些不同型号的计算与计算之间的关系，请参阅比较教会图论论文中的进入的图灵和教会方法。

ARITITY N的每个递归函数f的定理，存在λ-术语f *

对于所有自然数字A1，... AN：F（A1，... AN）= Yλ⊢f*⟨ˉa1，...，ˉan⟩=ˉy

对于证明，请参阅附录。

由于递归函数的类是所有可计算（数字 - 理论）功能的类的充分表示，因此由于上面的工作，我们发现所有可计算（编号定义）功能可以忠实地表示在λ-微积分中。

9.3关系

在条目开始时给出的λ-微积分的动机是基于读取λ表达式作为函数的描述。 因此，我们已经理解了“λx[m]'，是给定x的（或通常，这通常不一定地涉及x）。 但没有必要将λ-术语作为函数读取。 一个人可以理解λ-术语作为表示关系，并读取一个抽象术语“λx[m]'作为一个刚刚在案例中屏蔽x的一致关系（或属性）r（参见Carnap 1947，p.3）。 在关系读数上，我们可以理解应用程序项MN作为预测的形式。 一个人可以使用β-转换的原理来理解这些术语：

（λx[是]）一个=是[x：=一个]，

其说，抽象关系λx[m]，v的λx[m]，是通过插入A内部M的所有自由出现所获得的关系。

作为这种λ-微积分方法的具体示例，考虑一阶逻辑的延伸，其中一个人可以使用λ-术语形成新的原子公式，以下列方式：

语法：对于任何公式φ和任何有限序列x1，...，变量的xn，表达式'λx1... xn [φ]'是arity n的谓词符号。 以这样的方式扩展自由和绑定变量的概念（使用功能FV和BV）

fv（λx1... xn [φ]）= fv（φ） - {的x1，... xn}

和

bv（λx1... xn [φ]）= bv（φ）∪{的x1，... xn}

扣除假设是所有等效性的通用闭合

λx1... xn [φ]（t1的，... tn）↔φ[的x1，... xn：= t1的，... tn]

其中φ[x1，... xn：= t1，... tn]表示对于变量XK（1≤k≤n）的术语Tk的同时替换。

一阶结构A的语义A和A变量的元素的分配S，定义

a⊨λx1... xn [φ]（t1的，... tn）[s]当且仅当a⊨φ[的x1，... xn：= t1的，... tn] [s]

根据这种方法，人们可以使用λ基本上处理任何公式，甚至复杂的，仿佛它们是原子的。 我们看到了β-减少的β-减少的原则。 这种方法可以在语义中清楚地看到这种方法遵守λ术语的关系读取：根据一阶逻辑的标准Tarski风格语义，公式（可能是免费变量）的解释表示一组元素在结构中，因为我们改变了将结构元素分配给变量的可变分配。

一个人可以“内化”这种功能方法。 这是在各种财产理论的情况下完成的，正式理论用于推理属性的形而上学物体（Bealer 1982，Zalta 1983，Menzel 1986,1993和Turner 1987）。 这种理论在某些形而上学研究中使用，其中属性是要调查的形而上学实体。 在这些理论中，形而上学关系是（或者是其中）感兴趣的物体; 正如我们在算术的正式理论中添加术语建设符号+和×以构建数字，所以在物业理论中使用λ以构建关系。 这种方法与上述方法形成鲜明对比。 通过使其成为建筑原子公式的配方，将λ添加到一阶逻辑的语法中; 这是一个新的配方化操作员，如∨或→或其他连接。 在财产理论的情况下，λ在算术的正式理论中更像+和×的角色：它用于构造关系（在该设置中，将被理解为一种形而上学对象）。 但与+和×不同，λ绑定变量。

为了阐明在此设置中如何使用λ，让我们检查典型应用程序的语法（McMichael和1980）。 通常具有预测运算符（或更准确地说，预测运算符的家庭）PK（k≥0）。 在我们有玛丽和约翰和二进制关系的语言中，我们可以正式表达：

约翰喜欢玛丽：爱（约翰，玛丽）

John Loves Mary的财产：λ[Loves（John，Mary）]（请注意λ没有变量;我们可能会称之为“空中束缚”。这些属性可以理解为命题。）

约翰喜欢它的物体x的属性：λx[loves（约翰，x）]。

玛丽被某种东西所喜爱的财产：λ[∃x（喜欢（x，mary））]（另一个例子是空中绑定，viz，命题）

John喜欢X的属性的预测是：P1（λx[Loves（John，X）]，Mary）。

约翰喜欢玛丽的财产的（0-ary）预测：P0（λx[Loves（John，Mary）]）。

对象x和y的属性x爱y：λxy[loves（x，y）]。

对象X的属性x本身喜欢：λx[loves（x，x）]。

对象x和y的属性的预测认为x爱约翰和玛丽（按此顺序）：p2（λxy[loves（x，y）]，约翰，玛丽）。

我们使用β-转换原理的这些λ-术语，例如：

pn（λx1，... xn [一个]，t1的，...，tn）↔a[的x1，... xn：= t1的，...，tn]

正式地，预测操作员PK是（k + 1）的谓词符号。 第一个参数旨在是K参数的λ-术语，其余的参数旨在是λ-term的主体的参数。 上面的β-原则表示，当L的主体保持这些术语时，β-术语L至n术语的预先持平。

事实证明，在这些理论中，我们可能会或可能无法完全致力于β-转换的原则。 实际上，在某些财产理论中，β-转换的全部原则导致悖论，因为当β-转换的完整原理到位时，人们可以重播罗素风格的参数。 在这种设置中，通过要求λ-术语的主体不包含其他λ-术语或量子器来限制λ-公式的形成。 有关进一步的讨论，请参阅（奥利亚，2000）。

在λ-微积分中制定的属性理论的原因之一是特定的哲学重要性是微积分的超人性性质（参见第1.2节）。 如果它不识别必需的共同延伸属性，即，在每个可能的世界上完全相同的对象，则才可识别属性概念。 Bealer，Zalta，Menzel和Turner的理论描述的性质和关系恰好具有这种特征。 换句话说，理论是超倾向财产理论。 近年来，在形而上学的性质的超负力概念（Nolan 2014）中看到了兴趣的重大兴趣，并且在λ-微积分中制定的相应财产理论也可能会经历兴趣的兴起。

在数学的基础上，达尔塔和oppeNheimer（2011）争辩于λ-术语的关系解释的概念优先级。