古典逻辑（二）

定理5.让α，β是我们的字母表上的非空性字符序列，使得αβ（即β之后的β）是公式。 然后α不是公式。

证明：由定理1和引理3，如果α包含左括号，则匹配αβ中最左侧括号的右括号位于αβ的末端，因此匹配的右括号是β。 因此，α具有比右括号更多的左括号。 通过定理1，α不是公式。 所以现在假设α不包含任何左括号。 通过引理2，αβ由一系列零或更多的一系列，然后通过三元结缔组织通过条款（3） - （5）之一来制备原子配方或配方。 如果后一级配方是通过条款（3） - （5）之一生产的，那么它就以左括号开始。 由于α不包含任何括号，因此它必须是一系列一串偶联标记。 但是α不含任何原子公式，因此通过引理4，α不是公式。 左侧的唯一案例是αβ由一系列的一串机构标记组成，然后是原子配方，以t1 = t2或pt1 ... tn。 同样，如果α刚刚由一元标记组成，则它不是一个公式，因此α必须由启动αβ的机构标记组成，然后自身，t1 =自身，或谓词字母p，以及一些（但不是全部）的那样术语T1，...，Tn。 在前两种情况下，α不包含原子公式，通过该等类别不重叠的政策。 由于P是N个地方的谓词字母，通过谓词字母是不同的，P不是任何M≠N的M-PLACE谓词字母。 因此，由P组成的α的一部分，随后是术语而不是原子公式。 在所有这些情况下，那么，α不含原子配方。 通过引理4，α不是公式。

我们最终能够展示我们语言中没有两栖利用。

定理6.让θ是L1K =的任何公式。 如果θ不是原子，则在（2） - （7）中仅存在一个且仅应用于构造θ的最后一个条款。 也就是说，θ不能由两个不同的子句产生。 此外，没有由条款（2） - （7）产生的配方是原子的。

证明：通过条款（8），θ是原子的，或者由三个条款（2） - （7）产生。 因此，θ中的第一个符号必须是谓词字母，术语，一元标记或左括号。 如果θ中的第一个符号是谓词字母或术语，则θ是原子的。 在这种情况下，θ不是由（2） - （7）中的任何一个产生的，因为所有此类配方开始于谓词字母或术语以外的东西。 如果θ中的第一个符号是否定符号“¬”，则是由子句（2）产生的Θ，而不是由任何其他条款（因为其他条款产生以尺寸符或左括号开始的公式）。 同样，如果θ以通用量词开始，则它由子句（6）生成，而不是由任何其他子句生成，如果θ从存在量级开始，则它是由子句（7）生成的，而不是由任何其他条款产生。 剩下的唯一案例是θ从左括号开始的位置。 在这种情况下，它必须由（3） - （5）之一，而不是由任何其他条款产生的。 我们只需要排除θ产生的可能性超过（3） - （5）中的一个。 举例，假设θ由（3）和（4）产生。 然后θ是（χ1＆±2），θ也是（χ3×4），其中ψ1，χ2，χ3和ψ4本身是公式。 也就是说，（ψ1＆ψ2）是相同的公式（ψ3∨ψ4）。 通过定理5，ψ1不能是χ3的适当部分，也不能ψ3是χ1的适当部分。 所以ψ1必须与ψ3相同。 但是，“＆”必须与“∨”是相同的符号，这与所有符号不同的政策相矛盾。 所以θ不是由条款（3）和条款（4）产生的。 类似的推理负责其他组合。

此结果有时被称为“独特可读性”。 结果表明，每个配方由原子公式通过各种条款以恰好一种方式生产。 如果θ由条款（2）产生，则其主要连接是初始“¬”。 如果θ由条款（3），（4），或（5）产生，则其主要连接分别是引入的“＆”，“∨”或“→”。 如果θ由条款（6）或（7）产生，则其主要连接是初始量化。 对于乏味的细节，我们深表歉意。 我们包括它们以指示语法的精度和严谨程度。

3.扣除

我们现在引入Defuctive System，D，用于我们的语言。 如上所述，我们将一个论点定义为正式语言中的非空句子集合，其中一个被指定为结论。 如果参数中有任何其他句子，则它们是其场所。[1] 按照惯例，我们使用“γ”，“γ'”，“γ1”等，以围绕句子的范围，并且我们使用字母“φ”，“ψ”，“θ”，“θ”，大写或小写，有或没有下标，以在单个句子上进行范围。 我们为γ和γ'的联轴写入“γ，γ”，以及γ°的γγ的“γ，φ”。

我们在⟨γ，φ⟩的形式中写下一个论点，其中γ是一组句子，房屋，φ是单句，结论。 请记住，γ可能是空的。 我们写入γίφ以指示φ从γ压下，或者换句话说，在d中的参数⟨γ，φ⟩，我们可以写入γίdφ以强调演绎系统D.我们写入⊢φ或⊢dφ表示φ可以从空的房屋集推导出（在d）中。

D中的规则被选中以匹配关于语言中逻辑术语的英语模拟的逻辑关系。 再次，我们通过递归来定义推动性关系。 我们从一个假设开始：

（AS）如果φ是γ的成员，那么γ⊢φ。

因此，我们具有{φ}⊢φ; 每个前提都是从自身的情况下进行的。 我们接下来为每个结缔组织和量化呈现两个子句。 条款表明如何“介绍”和“消除”句子，其中每个符号是主要的连接。

首先，回想一下，“＆”是英语连接“和”的模拟。 直观地，如果已经推断出θ，则可以在表单（θ＆ψ）中推断出句子。 相反，可以从（θ＆ψ）中推断θ，一个人可以从（θ＆ψ）中推断出ψ：

（＆i）如果γ1⊢θ和γ2⊢ψ，那么γ1，γ2⊢（θ＆ψ）。（＆e）如果γ⊢（θ＆ψ）那么γίθ; 如果γ⊢（θ＆ψ）那么γ⊢ψ。

名称“＆i”代表“＆-trotoduction”; “＆e”代表“＆-imination”。

由于，符号“∨”对应于英语“或”，（θ∨ψ）应该从θ压下，并且（θ∨ψ）也应该从ψ：

（∨i）如果γ⊢θ然后γ⊢（θ∨ψ）; 如果γ⊢ψ然后γ⊢（θ∨ψ）。

消除规则有点复杂。 假设“θ或ψ”是真的。 假设φ也遵循θ，并且φ遵循ψ。 一个可能是，如果θ为真，则φ是真的。 如果代替ψ是真的，我们仍然具有φ是真的。 无论哪种方式，φ必须是真的。

（∨e）如果γ1⊢（θν），γ2，θχφ和γ3，φ，则γ1，γ2，γ3⊢φ。

对于下一个条款，回想一下，符号“→”是英语“如果...然后......”的模拟。 如果一个人知道或假设（θ→ψ）并且也知道，或者假设θ，则可以结束ψ。 相反，如果一个人从假设θ推断出ψ，则可以得出结论（θ→ψ）。

（→i）如果γ，θ⊢ψ，那么γ⊢（θ→ψ）。（→e）如果γ1⊢（θ→ψ）和γ2⊢θ，则γ1，γ2⊢ψ。

这种消除规则有时被称为“Modus Ponens”。 在一些逻辑文本中，简介规则被证明为“扣除定理”。

我们的下一个条款是否定符号“¬”。 潜在的想法是句子ψ与否定否则不一致。 他们不能既是真的。 我们叫一对句子ψ，¬ψ矛盾的对立。 如果可以从假设θ推断这样的一对，则可以得出θ是假的，或者，换句话说，可以结束¬θ。

（¬I）如果γ1，θν和γ2，θ⊢¬ψ，则γ1，γ2⊢¬θ。

通过（AS），我们有那个{a，¬a}⊢a和{a，¬a}。 所以通过¬i，我们有那个{a}⊢¬¬a。 但是，我们还没有交谈。 直观地，¬¬¬θ对应于“不是这种情况”。 人们可能认为最后相当于θ，并且我们有规则对此效果：

（DNE）如果γ⊢¬¬θ，则γ⊢θ。

名称DNE代表“双否定消除”。 此推断存在一些争议。 它被哲学家和数学家拒绝，他们不认为每个有意义的句子是真实的或不正确的。 直觉逻辑没有制定问题所讨论的推断（例如，戴梦[2000]，或者在直觉逻辑或直觉逻辑的历史记录），但再次，古典逻辑。

为了说明到目前为止呈现的演绎系统D的部分，我们表明了⊢（a∨¬a）：

{¬（a∨¬a），a}⊢¬（a∨¬a），by（aS）

{¬（a∨¬a），a}⊢a，by（AS）。

{¬（a∨¬a），a}⊢（a∨¬a），由（ii），来自（ii）。

{¬（a∨¬a）}，由（¬i），from（i）和（iii）。

{¬（a∨¬a），¬a}⊢¬（a∨¬a），by（aS）

{¬（a∨¬a），¬a}⊢¬a，by（aS）

{¬（a∨¬a），¬a}⊢（a∨¬a），由（∨i），来自（vi）。

{¬（a∨¬a-a）}，由（¬i），from（v）和（vii）。

（a），由（¬i），来自（iv）和（viii）。

⊢（a∨¬a），by（dne），来自（ix）。

原理（θχ-θ）有时被称为排除中间的法律。 它在直觉逻辑中无效。

让θ，¬θ是一对矛盾的对立，并让ψ完全是任何句子。 通过（AS），我们具有{θ，¬θ，¬ψ和{θ，¬θ，¬ψ}。 因此，（¬i），{θ，¬θ}。 所以，由（达内）我们有{θ，¬θ}⊢ψ。 也就是说，任何一对矛盾的对立面都是如此。 一些逻辑管理员介绍规则以编码类似的推理：

如果γ1⊢θ和γ2，则对于任何句子，γ1，γ2⊢ψ

推理有时被称为EX FALSO QuodLibet，或者更加多种，爆炸。 有些人称之为“消除”，但也许这延伸了一点的“消除”的概念。 我们不会正式包括Ex Falso QuodLibet作为D的单独规则，但如下所示（定理10），它的每个实例都可以在我们的系统D中衍生。

一些逻辑学家对象前往ex falso quodlibet，在地面上，句子ψ可能与γ中的任何房屋无关。 例如，假设一个人从一些关于某些人的人性和事实开始的一些场所，然后推断出“克林顿有婚姻性关系”和“克林顿没有婚外性关系”。 一个人可能会得出结论，房屋γ有问题。 但我们应该被允许从γ中推断出任何东西吗？ 我们应该被允许推断出“经济声音”？

少数少数逻辑学家称为拨号师，认为一些矛盾实际上是真实的。 对于他们来说，Ex Falso QuodLibet不是真实保留。

从Ex Falso QuodLibet排出的演绎系统称为Paraconsistent。 大多数相关的逻辑都是帕拉克灭士。 请参阅相关性逻辑，滞后逻辑和Dialetheism上的条目。 或者见Anderson和Belnap [1975]，安德森，Belnap和Dunn [1992]，并为有关逻辑的较大概述，和Tennant [1997]; 和牧师[2006A，B]，用于拨式主义。 涉及有关逻辑后果性质的深层哲学问题。 对于哲学百科全书的一篇文章来说，避免哲学问题，但空间考虑因素排除了对这个问题的更全面的治疗。 简而言之，请注意，推理Ex Falso QuodLibet在经典逻辑系统中批准，本文的主题。 必须建立演绎系统和语义之间的平衡（参见下面的§5）。

下一条D是量子的条款。 设θ是公式，v变量和t一个术语（即变量或常数）。 然后将θ（v | t）定义为替换为θ中的每次自由发生的结果的结果。 因此，如果θ是（qx＆∃xpxy），则θ（x | c）是（qc＆∃xpxy）。 最后一次发生x不是自由的。

表单中的句子∀vθ是英语“对于每个v，θ保持”的类似句子。 因此，应该能够从∀vθ推断出任何闭合术语T的θ（v | t）。 回想一下，我们系统中唯一的封闭项是常量。

（∀e）如果γ⊢∀vθ，则γ⊢θ（v | t），用于任何闭合术语t。

这里的想法是，如果∀vθ是真的，那么无论T是什么，那么θ应该保持t。

通用量化的引入子句有点复杂。 假设句子θ包含关闭术语T，并且已经从一组房屋γ推导出θ。 如果闭合术语T不发生在γ的任何成分中，则无论哪个对象T可以表示，θ将保持。 也就是说，∀vθ遵循。

（∀i）对于任何闭合术语T，如果γ⊢θ（v | t），则γ⊢∀vθ提供了t不在γ或θ中。

该规则（∀i）对应于数学中的共同推断。 假设一个数学家说“让n是自然数”，并继续表明n有一个特定的属性p，而不假设n（除了它是自然数之外）。 然后，她提醒读者n是“任意”，并且得出的p持有所有自然数。 术语T不会发生在任何前提下的条件是保证它确实是“任意”的保证。 它可能是任何对象，所以我们对所有对象的结论都有所结论。

存在量词是英语表达式的类似“存在”，或者只是“有”。 如果我们建立（或假设）给定对象t具有给定属性，那么它遵循有一些属性的东西。

（∃i）对于任何闭合术语T，如果γ⊢θ（v | t）那么γ⊢∃vθ。

∃的消除规则并不是那么简单：

（∃e）对于任何闭合术语T，如果γ1⊢∃vθ和γ2，θ（v | t）φφ，则γ1，γ2⊢φ，条件是在φ，γ2或θ中不发生t。

这种消除规则也对应于共同的推理。 假设数学家假定或某种方式得出结论，有一个特定的属性P.然后她说“让n成为这样的自然数，让pn”，并继续建立一个句子φ，这没有提到数字n。 如果φ的推导没有调用任何关于n的n（除了它具有给定属性p的假设以外的假设），那么N可能是具有属性p的任何数字。即，n是属性p的任意数字。它无关紧要。 由于φ没有提及n，因此在断言中，有些东西具有属性。添加到（∃e）的规定是保证T是“任意”。

最终项目是身份标志“=”的规则。 介绍规则是一个简单的规则：

（= i）γ⊢t= t，其中t是任何闭合项。

这个“推断”对应于所有与自己相同的真实主义。 消除规则对应于如果A与B相同的原则，则B的任何真实也是如此。

（= e）对于任何闭合的术语T1和T2，如果γ1⊢t1= T2和γ2⊢θ，则通过用T2替换T1的一个或多个发生来从θ获得θ1。

规则（= e）表示在我们语言的表现力资源中存在一定的限制。 例如，假设哈里与唐纳德相同（因为他恶作剧的父母给了他两个名字）。 根据大多数人的直觉，它不会遵循这个，“迪克知道哈利是邪恶的”那个“迪克知道唐纳德是邪恶的”，因为迪克可能不知道哈里与唐纳德相同。 这样的上下文，其中相同的不能被安全地互相替换，称为“不透明”。 我们假设我们的语言L1K =没有不透明的背景。

一个最终条款完成了Deftuctive System D的描述：

（*）那就是所有人。 仅当θ从上述规则从γ的成员遵循θ时，才γ⊢θ。

同样，此子句允许通过归纳用于建立论证的规则进行证明。 如果参数的属性包含（AS）和（= i）的所有实例，以及其他规则保留属性，那么D中推动的每个参数都会享受有关的财产。

在继续为L1K =的模型理论之前，我们会暂停注意Defuctive系统的一些特征。 为了说明严谨的水平，我们从一个引理的，如果句子不包含特定的闭合项，我们可以对我们证明这一切的句子进行小的变化而没有问题。 我们允许自己在这里扩展一些先前符号的自由：对于任何条款t和t'，以及任何公式θ，我们说θ（t | t'）是用t'替换θ中的所有自由出现t的结果。

LEMMA 7.如果γ1和γ2仅在其中γ1包含θ的情况下不同，则γ2包含θ（t | t'），然后对于不包含t或t'的任何句子φ，如果γ1⊢φ则γ2⊢φ。

证明：证明通过诱导在φ证明的步骤数量上进行。 对该证据至关重要的是，每当θ不包含T或T'时θ=θ（t1'）。 当φ证明的步骤数是一个时，这意味着应用的最后（且仅）规则是（AS）或（= i）。 然后，由于φ不包含t或t'，如果γ1⊢φ，我们只需将相同的规则（（aS）或（= i））应用于γ2以获得γ2⊢φ。 假设φ的证明存在n＞1步，并且该引理7具有少于n步的任何证据。 假设应用于γ1的第n条规则是（＆i）。 然后Φ是ψ＆χ，γ1⊢φ＆χ。 但是，我们知道证明的先前步骤包括γ1⊢ψ和γ1⊢χ，并且通过诱导，我们具有γ2⊢ψ和γ2‖，因为既不ψ也不包含t或t'。 因此，我们只需将（＆i）施加到γ2以获得γ2⊢ψ“。 现在假设应用于γ1⊢φ的证明的最后一步是（e）。 然后，在φ证明的先前步骤中，我们知道γ1⊢φ＆ψ的某些句子ψ。 如果ψ不包含T，则我们只是将（＆e）施加到γ2以获得所需的结果。 唯一的并发症是ψ含有t。 然后我们将具有γ2⊢（φ＆ψ）（t | t'）。 但是，由于（φ＆ψ）（t | t'）是φ（t | t'）和ψ（t | t'），并且φ（t | t'）只是φ，我们只需施加（e）即根据需要获得γ2⊢φ。 其他规则的案例是相似的。

定理8.弱化规则。 如果γ1⊢φ和γ1⊆γ2，则γ2⊢φ。

证明：再次，我们通过诱导诱导用于到达γ1⊢φ的规则数。 假设n＞0是自然数，并且定理适用于使用少于n规则导出的任何参数。 假设γ1⊢φ使用完全n规则。 如果n = 1，则规则是（AS）或（= i）。 在这些情况下，通过相同的规则γ2⊢φ。 如果应用的最后规则是（＆i），则φ具有形式（θ＆ψ），并且我们具有γ3θ1，γ1=γ3，γ4。 我们将诱导假设应用于θ和ψ的扣除，以获得γ2⊢θ和γ2⊢ψ。 然后将（＆i）应用于结果以获得γ2⊢φ。 其他大多数情况都是如此。 只有在规则（∀i）和（∃e）中仅出现轻微的并发症，因为我们必须注意规则的条件。

假设应用于获取γ1⊢φ的最后规则是（∀i）。 所以φ是形式的∀vθ的句子，我们具有γ1⊢θ（v | t），并且在γ1或θ中的任何成分中都不会发生。 问题是T可能发生在γ2的成员中，因此我们不能只调用诱导假设并施加（∀i）。 因此，让T'是γ2中任何句子中的术语。 让γ'是γ2中替代T'的结果。 然后，由于T不发生在γ1，γ1⊆γ'中。 因此，诱导假设给出了我们γ'⊢θ（v | t），我们知道γ'不包含t，所以我们可以申请（∀i）以获得γ'⊢∀vθ。 但是∀vθ不含T或T'，因此通过引理7γ2⊢∀vθ。