古典逻辑（四）

通过（AS），γN，θn（x | ci），∃xθn⊢θn（x | ci）。 因此，（→i），γn，θn（x | ci）⊢（∃xθn→θn（x | ci））。 由此和（1），我们具有γn⊢¬θn（x | ci），由（¬i）。 设是在θn或γn的任何成分中不会发生的术语。 通过均匀取代T对于CI，我们可以将γn⊢¬θn（x | ci）的衍生转变为γn⊢¬θn（x | t）。 通过（∀i），我们有

γn⊢∀v¬θn（x | v）。

通过（AS），我们具有{∀v¬θn（x | v），θn}θn和（∀e）我们具有{∀v¬θn（x | v），θn}} n-θn。 所以{∀v¬θn（x | v），θn}不一致。 让φ是语言的任何句子。 通过EX FARSO QuodLibet（定理10），我们具有{∀v¬θn（x | v），θn}φ和{∀v¬θn（x | v），θn}⊢¬φ。 因此，用（2），我们具有（∃e）的γn，∀v¬θn（x | v）φ和γv-θn（x | v）⊢¬φφ。 通过切割（定理11），γn⊢φ和γn⊢¬φ。 所以Γn是不一致的，与假设相矛盾。 所以Γ'是一致的。

应用Lindenbaum Lemma（定理13），让γ“是包含γ'的最大一致的一组句子（扩展语言）。 所以，当然，γ“包含γ。 我们现在可以定义一个解释M，使得m满足γ的每个成员“。

如果我们没有在语言中具有身份的标志，我们会让M的域是新常量{C0，C1，...}的集合。 但是，在CI = CJ中可能存在一个句子，I≠J，INγ“。 如果是这样，我们不能在解释的领域中拥有CI和CJ（因为它们是不同的常数）。 所以我们定义了m的域d是集合{ci | 没有J＜I，使得CI = CJ处于γ“}。 换句话说，常量CI在M的域中，如果γ“不会将其声明为与列表中的早期常数相同。 请注意，对于每个新的常量CI，恰好有一个J≤I，使得CJ在D中，句子CI = CJ处于γ“。

我们现在定义了解释函数I.让A在扩展语言中的任何常量。 通过（= i）和（ξi），γ“⊢∃xx= a，∃xx=a∈γ”。 通过γ'的构造，在γ中存在形式（∃xx= a→ci = a）中的句子。 我们有CI = A在γ中。 如上所述，在D中恰好存在一个CJ，使得CI = CJ处于γ“。 让我（一）= cj。 请注意，如果CI是域D中的常量，则i（CI）= CI。 这是D中的每个CI表示自身。

让P是k的零地方谓词字母。然后，如果p是γ“并且i（p）是误的，则i（p）是真实的。 Let Q是K中的一个地方谓词字母。然后i（q）是常量{ci | ci在d中，句子qc处于γ“}。 让R是k中的二进制谓词字母。然后i（r）是一组常量{⟨ci，cj⟩| ci在d，cj在d中，句子rcicj在γ“}中。 三处谓词等被解释为类似。 实际上，我将非逻辑术语解释为γ“。

此证明中的最终项目是一个引理，即对于扩展语言中的每个句子θ，如果θ在γ中才“，则每个句子θ。 这通过诱导θ的复杂性进行。 从M（即，域D和解释函数I）的定义，θ是原子的情况。 其他案例在满意度定义中遵循各种条款。

由于γίγ“，我们有m个满足γ的每个成员。 通过定理15，将M到原始语言L1K =的限制也满足γ的每个成员。 因此γ是满意的。

对健全的交谈（定理18）是一款简单的推论：

定理21.对于任何句子θ和句子的γ，如果γ⊨θ，则γ⊢dθ。

证明：假设γίθ。 然后没有解释M，使得M满足γ的每个成员，但不满足θ。 因此，设定γ，¬θ不可满意。 通过完整性（定理20），γ，¬θ是不一致的。 因此，存在句子φ，使得γ，¬θ⊢φ和γ，¬θ⊢¬φ。 通过（¬i），γ⊢¬¬θ-θ，和（dne）γ⊢θ。

我们的下一个项目是定理9，声音（定理18）的推论，完整性：

推论22.紧凑性。 句子的集合γ是满足的，如果γ的每个有限子集是满足的。

证明：如果m满足γ的每个成员，则M满足γ的每个有限子集的每个成员。 对于逆转，假设γ不可满足。 然后我们表明γ的一些有限子集是不可取的。 通过完整性（定理20），γ是不一致的。 通过定理9（和弱化），有一个有限子集γ'νγ，使得γ'不一致。 通过推论19，γ'不满足。

合理和完整性在一起需要一个参数，如果且才有有效，并且只有当它是满足时，才能一致的句子。 所以我们可以在模型 - 理论和校样观念之间来回来回，将一个的属性转移到另一个。 紧凑性在模型理论中保持，因为所有衍生仅使用有限数量的房屋。

回想一下，在完整性证明（定理20）中，我们使简化假设是非逻辑常数的集合k是有限的或可恶劣的无限的。 我们生产的解释本身就是有限或可恶劣的无限。 因此，我们有以下几点：

推理23.Löwenheim-Skolem定理。 让γ是语言L1K =的令人满意的一组句子。 如果γ是有限的或可恶劣的无限，则γ具有型号，其域是有限的或可恶劣的无穷大。

通常，设γ是L1K =的可满足的一组句子，并且让κ是γ的尺寸的较大句子，并且可恶劣地无限。 然后γ具有域的模型，其域位于大小κ。

有一个强大的推论版本23.让m1 =⟨d1，i1⟩和m2 =⟨d2，i2⟩是语言l1k =的解释。 将M1定义为每个常数C的d1⊆d2，i1（c）= i2（c）的M2的子模型，并且i1是I2到D1的限制。 例如，如果R是k中的二进制关系字母，则对于D1中的所有A，B，对于I1（R），如果且仅在I2（R）中，则该对⟨a，b⟩处于I1（R）中。 如果我们在非逻辑术语中包含了函数字母，我们还需要在M2中的解释下关闭D1。 请注意，如果M1是M2的子模型，则M1上的任何可变分配也是M2上的可变分配。

例如，如果两个解释M1 =⟨d1，i1⟩，m2 =⟨d2，i2⟩是等同的，如果其中一个是另一个的子模型，并且对于语言的任何公式和子模型上的任何可变分配s，m1，s∈θ如果且仅在m2，s∈θ。 请注意，如果两种解释是等同的，那么它们满足相同的句子。

定理25.向下向下Löwenheim-Skolem定理。 让m =⟨d，i⟩是语言l1k =的解释。 让D1是D的任何子集，并且让κ是k的最大尺寸，D1的大小，可燃地是无穷无尽的。 然后有一个子模型M'=⟨d'，我的m使得（1）d'不大于κ，并且（2）m和m'是等效的。 特别地，如果非逻辑术语的集合k是有限的或可恶劣的无限的，则任何解释都有一个等效的子模型，其域是有限的或可恶劣的无限的。

证明：完整性，这个证明很复杂，我们用草图休息内容。 向下Löwenheim-skolem定理调用首选的公理，实际上相当于选择的公理（参见所选的公理的条目）。 因此，让C是D的POWERSET上的选择功能，因此对于每个非空子集e⊆d，C（e）是e的成员。 我们规定，如果E是空集，则C（e）是C（d）。

让S在M上成为可变分配，让θ是L1K =的公式，并且让V是一个变量。 定义θ上的V-Witness，写入WV（θ，s），如下所示：让q成为所有元素c∈d的集合，使得在m上有一个可变分配s'，其中在每个变量上与除可能v之外的每个变量相一致，例如m，s'əθ，s'（v）= c。 然后wv（θ，s）= c（q）。 请注意，如果m，s⊨∃vθ，则q是可以在θ中用于v的域的元素集。 实际上，如果q是非空的，则m，s⊨∃vθ才有。 因此，如果m，s⊨∃vθ，则wv（θ，s）（即，c（q））是可以在θ中v的域的所选元素。 从某种意义上说，它是验证m，s⊨∃vθ的“证人”。

如果E是域D的非空子集，则如果对于所有变量U，S（U），则将变量分配S定义为E-赋值。 也就是说，如果s为每个变量分配e的元素，则s是电子分配。 定义SK（e），e的Sklem-hull，成为集合：

e∪{wv（θ，s）|θ是l1k =，v是一个变量，并且s是e-赋值}。

也就是说，E的Sklem-Hull是设置e，每次e-assignment都会与每个配方的每一个V-hitn度一起。 粗略地，这个想法是从e开始，然后投入足够的元素以使每个存在量化的公式真实。 但是，我们不能用Sklem-Hull休息内容。 一旦我们将“证人”扔进域名，我们需要处理SK（e）作业。 实际上，我们需要一个是自己的Sklem-Hull，并且还包含给定的子集D1。

我们定义了一系列非空集E0，E1，...如下：如果D的给定子集D1为空，并且在k中没有常数，则让E0为C（d），选择功能应用于整个域; 否则，让E0成为D1的联合和K的I常数下的表示。对于每个天然数N，EN + 1是SK（EN）。 最后，让D'是集合的联盟，让我'是对D'的限制。 我们的解释是m'=⟨d'，我。

显然，D1是D'的子集，因此M'是M的子模型。Letκ是k的最大尺寸，D1的大小，可恶劣的无穷大。 计算揭示了D'的大小是最多的κ，基于最多的κ-许多公式，因此，每个阶段的最多κ-许多证人。 顺便提及，这种计算依赖于最多κ尺寸的结转联盟本身至多Κ。 这也依赖于首选的公理。

最终项目是显示m'等同于m：对于每个公式θ和m'上的每个变量分配s，

m，s⊨θ，如果且仅在m'，s⊨θ。

证明通过诱导对θ的复杂性进行。 不幸的是，空间限制要求我们将此步骤作为锻炼。

紧凑型的另一个必论是（推子22）与Löwenheim-Skolem定理相反：

定理26. UpwardLöwenheim-Skolem定理。 让γ是L1k =的任何一组句子，使得对于每个自然数N，存在解释Mn =νdn，即使dn具有至少n个元素，并且Mn满足γ的每个成员。 换句话说，γ是满足的，并且没有有限的上限于满足γ的每个成员的解释的尺寸。 然后对于任何无限的红衣主教κ，存在解释m =⟨d，即d的尺寸为至少κ，m满足γ的每个成员。

证明：向语言添加一个新常量{Cα＜κ}的集合，使C在K中是常数，然后Cα与C不同，如果α＜β＜κ，则Cα是与Cβ不同的恒定。 将由γ组成的句子γ'与集合{¬cα=cβ|αβ}考虑。 也就是说，γ'包括γ与陈述的判断，以效果是任何两个不同的新常数表示不同的物体。 让γ“是γ”的任何有限子集，让m是γ“中发生的新常数的数量。 然后通过将γ中的每个新常量解释为域DM的不同成员，将解释MM扩展到新语言的解释M'm。 通过假设，有足够的DM成员来做这件事。 人们可以解释其他新常量。 所以mm是m'm的限制。 通过假设（和定理15），M'm满足γ的每个成员。 M'm也满足γ“的{¬Cα=Cβ|αβ}的构件。 所以M'm满足γ的每个成员。 通过紧凑，存在解释m =⟨d，即m使m满足γ'的每个成员。 由于γ'包含{¬cα=cβ|αβ}的每个成员，因此M的域D必须至少κ大小，因为每个新常数必须具有不同的表示。 通过定理15，M到原始语言L1k =的限制满足γ的每个成员。

结合，向下和向上的证明Löwenheim-Skolem定理表明，对于任何满足的句子，如果γ的模型没有有限的界限，那么对于任何无限的红衣主教κ，就有一个模型γ域具有完全κ的尺寸。 此外，如果m是任何域是无限的任何解释，那么对于任何无限的红衣主教κ，则存在一个解释m'，其域具有正常κ，使得m和m'是等效的。

这些结果表明了L1K =等一阶语言表现力资源的弱点。 没有可达的一组句子可以保证其型号都是可恶劣的无穷无尽的，也可以任何可满足的句子保证它的型号是不可数的。 因此，从某种意义上说，一阶语言不能表达“可恶劣无限”的概念，至少不是在模型理论中。 （请参阅二阶和高阶逻辑的条目。）

让A在一阶语言L1K =中成为任何一组句子，其中k包括算术的术语，并且假设AS的每个成员都是真的数字。 我们甚至可以让L1K =中的所有句子的集合，这是真正的自然数。 然后是一个有不可数的模型，确实是任何无限基数的模型。 这种解释是有时被称为意外的人，或非标准算术模型。 让B成为真实数字的任何一组一阶句子，让C是集合理论的任何一阶公务化。 然后，如果B和C是满足的（在无限解释中），则每个都具有可恶劣的无限模型。 也就是说，任何一阶，可满足的集合理论或实际实际的实际数字，具有（意外）模拟自然数的大小。 尽管这是一个句子（似乎）说出宇宙是不可数的，但在大多数设定理论中可以证明。 这种情况，被称为Skolem Paradox，已经产生了很多讨论，但我们必须将读者推荐给其他地方的读者（参见Skolem的Paradox和Shapiro 1996的条目）。

6.一个正确的逻辑？

当然，逻辑与正确推理有关，或至少正确的演绎推理。 联系的细节是微妙的，有争议的 - 见Harman [1984]对有影响力的研究。 很常见的是，如果他们没有逻辑地推断，或者给出的（演绎）论点是糟糕的，并且必须缩回，如果显示无效，则众所周知。

一些哲学家和逻辑学者认为，有一个单一的逻辑系统是唯一正确的，其在特征有效性的作用。 其中，一些，也许大多数是最有利于古典的一阶逻辑，就像一个真正的逻辑一样。 参见，例如，Quine [1986]，Resnik [1996]，Rumfitt [2015]，Williamson [2017]，以及一些其他人。

应该赋予古典，一阶逻辑这个角色可能不是令人惊讶的。 它具有或多或少直观的规则，很简单。 正如我们在第5节所见，经典的一阶逻辑具有有趣和重要的元理论属性，例如健全和完整性，这导致了许多重要的数学和逻辑研究。

然而，如上所述，经典的主要元定理性质，主要的一阶逻辑导致正式语言和模型 - 理论语义的表现局限性。 关键概念，如精密，可数性，最小的闭包，自然数等，不能表达。

掌握[1985,5]曾经评论过：

作为逻辑学家，我们通过说服逻辑是一阶的逻辑，然后说服他们几乎没有现代数学的概念可以真正按一阶逻辑捕获的逻辑。

和王[1974,154]：

当我们对集合理论或古典分析感兴趣时，Löwenheim-Skolem定理通常被视为一种缺陷......一阶逻辑...... [W]帽子建立[通过这些定理]不是一阶逻辑是唯一可能的逻辑，而是，当我们在感觉剥夺了[the]不可数的概念时，我们是唯一可能的逻辑......

其他对古典的批评，也已经提出过了古典的一阶逻辑。 有能力处理某些悖论的问题（例如，罗素的悖论上的条目），它的表观对信仰的显而易见（参见逻辑的条目（逻辑的规范状态），有些人认为它有一些与之不匹配的论据我们通常认为我们认为的方式（参见例如相关性逻辑的条目）。

那些对古典一阶逻辑至关重要的人提供了两个主要选择，作为一个真正的逻辑。 一个是提出一些其他逻辑作为一个真正的逻辑。 牧师[2006A]描述了一个可能用于在一个真正逻辑中定居的方法。

另一个主要选项是简单地拒绝有一个单一的逻辑，符合一个真实逻辑。 其中一个实例是一种逻辑虚无主义，一个没有正确逻辑的论点。 另一个是逻辑多元化，本文认为，各种不同的逻辑都有资格，或者至少在各种情况下都有正确的，或者甚至是真正的逻辑。

当然，这不是一个详细追求这项问题的地方。 有关多元化的例子，请参阅BEALL和RESTALL [2006]和SHAPIRO [2014]，以及逻辑多元和逻辑虚无主义的地形概述的逻辑多元化的进入。

我们关闭了一些主要替代品到古典的一阶逻辑的简短草图，为此百科全书提供了对其他工作和条目的引用。 另见Shapiro和Kouri Kissel的下半部分[2022]。

6.1竞争对手到古典一阶逻辑

近似值

近年来，一些工作已经完成了“近似”古典逻辑。 这个想法是尽可能接近经典逻辑，以保持一些好处，同时消除了古典逻辑的一些限制，比如更接近直观的推断或申请模糊和悖论的东西。

例如，Barrio，Pailos和SzMuc [2020]显示，我们可以在称为ST-Shierarchy（ST为严格宽容的ST，来自Cobreros，EGRE，Ripley和Van Rooij的某些东西中的古典逻辑[2012A，b]）。 这允许他们避免在层次结构的每个级别的某些经典问题，如一些悖论，同时在考虑完整层次结构时保持经典逻辑强度的许多好处。

Dave Ripley [2013]提供了他认为一些悖论的“古典逻辑”的多序贯微积分。 值得注意的是，他声称至少解决了sorites和骗子悖论（参见Sorites悖论和骗子悖论的条目）。 系统保守地扩展了古典逻辑。 里普利声称这就是使它经典的原因。 但是，系统不传递，没有剪切规则。

当然，关于这些新逻辑是否真正古典的一些问题，但它是信息丰富的工作。

扩展

扩展经典一阶逻辑的一种方法是将额外的运算符添加到底层的正式语言中。 模态逻辑添加了指定必要性和可能性的运算符。 所以，我们可以说一个命题可能是真实的，也不是真实的，而不是真实。

W. V.O Quine [1953]曾经认为，量化器对模态运算符中的变量结合的量词并不相干，但是对此事的意见已大大变化（例如，巴尔卡纳[1990]）。 现在有一个开发模态逻辑的繁荣行业，以捕获各种方式和时间运算符。 查看模态逻辑上的条目。

以上速刷的所有正式语言都只有一种变量。 这些有时称为一阶变量。 语言的每个解释都有一个域，这是这些一阶变量的范围。 根据给定的解释，这是语言的。 二阶变量范围在该域中项目的属性，集，类，关系或函数上。 三阶变量范围在属性，类中，无论是什么在二阶变量范围内的关系。 它从那里开始。

如果它具有二阶变量和一阶变量，则正式语言被称为二阶 第三顺如果它有三阶，二阶和一阶变量，并且没有其他变量等。如果至少是二阶，则正式的语言是更高的顺序。

如上所述，说经典的一阶逻辑是当代逻辑理论的范式并不夸张。 大多数教科书根本没有提到高阶语言，大部分剩余的休息都会给它散发态度。

已经提出了许多不同的演绎系统和模型 - 理论语义，用于二阶和高阶语言。 对于语义，模型理论的主要附加功能是指定高阶变量的范围。