非良好的集合理论（一）

这个条目大约是两种圆形：物体圆形，其中一个物体被认为是某种意义的自身的一部分; 和定义圆形，其中集合在其自身上定义。 这两种圆形的实例有时是有问题的，有时也不是。 我们主要对本条目中的对象循环感兴趣，特别是当一个人试图在集合理论中模拟它们时看起来有问题的实例。 但我们还应讨论循环定义。

术语非良好集合是指包含自己作为成员的集合，并且更一般地是集合的无限序列的一部分，其是前述集合的元素。 因此，它们以简洁的方式表现出物体圆形。 讨论在集合理论的历史中，这种套装非常古老，但由于基础公理（FA），非良好的套装被淘汰了Zermelo-Fraenkel设定理论（标准理论）。 发生在这种情况下，有此Axiom FA的替代品。 此条目尤其涉及其中之一，这是由Marco Forti和1983纸的Furio Honsell首次制定的Axiom。 目前标准称为这一原则的反基础公理（AFA），在1988年彼得·阿克尔撰写的一种有影响力的书籍中的处理之后。

使用AFA的吸引力是它给出了一组用于建模各种圆形现象的工具。 随着我们将看到的，这些工具与重要的循环定义相关联。 我们也应关注在大型情况下的数学和潜在的直觉，其中一个来自于拟合在拟谈中的工作。 合并概念和结果来自类别理论，煤炭地板将我们带到了诸如经纪和策划等概念; 这些都是一个有道的双重剪报和诱导的概要。

此条目的的主题也有与博弈论的关系（通用Harsanyi型空间），语义（尤其是情况 - 理论账户，或者其他人“被允许成为本身的一部分），分形集和其他自我相似的集合，递归分析，类别理论和集合理论的哲学方面。

1.集合理论中的循环现象

1.1流

1.1.1函数的减少

1.2无限的树木

1.3 SUPERSETS

1.3.1术语和历史

2.基础和反基础公理

2.1集理论背景

2.2基础公理

2.2.1集合的迭代概念

2.3反基础公理

3.使用AFA

3.1双刺激

3.2没有AFA

3.3扩展图

3.4 ZFA中的集合圆形

4.比较基础和反基金

4.1集合，类别的类别

4.2算子的代数

4.3仿函数的CoolgeBras

4.4同工

4.5概念比较

参考书目

学术工具

其他互联网资源

相关条目

1.集合理论中的循环现象

很难以一般的方式说明定义通函。 在此条目中，我们完全涉及各种各样的数学定义。 考虑等式x =½x+ 1.这是数字2的圆形定义吗？ 从某种意义上说，它就恰当是：一号已经在本身定义。 但是，这个等式没有什么问题，所以人们可能想知道为什么这在与x = x + 1或x = x x = x的相同类方程。 在设置的理论设置中，我们经常使用集合和类的循环定义和特性。 例如，杂散有限组的集合HF可以表征

（1）HF是所有X的集合，使得X是HF的有限子集。

通过一点工作，可以说明（1）定义标准集理论ZFC中的唯一集合。 （1）更多的是表征而不是教科书定义。 换句话说，如果用（1）作为推定定义呈现（1），则通过提供一个集合的不同定义d来理解的第一步是“伸直”循环性，然后检查满足D的每个设置满足定义HF的属性，以及副与否。

比循环定义更容易思考循环对象。 即便如此，它对阅读此条目将是有用的，以保持循环定义。 最引人注目的物体圆形形式将是具有本身作为元素的集合; 更糟糕的是设置x，使x = {x}。 对于在标准集合理论中的背景的那些方面，这一组通过公理排列出来首先排除，并且在第二个中，目前尚不清楚为什么人们想要改变公理以承认它们。 如果一个人确实采取了改变成熟理论的公理的激烈步骤，那么改变了什么？ 此条目是对此事的延长讨论和相关的。

1.1流

可以使用流说明此条目中的许多思想。 数字流是订购对，其第一坐标是数字，其第二坐标再次是数字流。 第一个坐标称为头部，第二个坐标。 给定流的尾部可能与它不同，但再次，它可能是相同的流。 例如，考虑其头部为0的流s，其尾部再次是s。 因此，S的尾部是S本身的尾部。 我们有S =⟨0，s⟩，s =⟨0，χ0，s⟩等。该流S展示了物体圆形。 它是自然的，“解开”其定义为：

（0,0，...，0，...）

将解开的形式作为无限序列理解是自然的; 标准地，无限序列被认为是其域是自然数的集合n的函数。 因此，我们可以将解开的形式占用恒定的函数。我们是否希望将上述物流拍摄为此函数是我们希望在此条目中以一般方式探索的问题。 请注意，由于我们定义了S为一个有序对，因此从对的方式遵循普通数学的方式，它本身不会是恒定的序列0。

定义流的一种方法是与它们的方程系统。 例如，这里是这样的系统：

（2）x≈0，y⟩y，z⟩z，x⟩

我们应该评论≈析分在这里。 我们关注在集合理论中建模各种类型的普通数学对象，以及我们想要模型的一种对象将是方程式系统。 这是一个不寻常的事情。 在预期到来的事情中，我们使用≈签到的公式我们想解决。 所以在我们讨论上面的x =½x+ 1中，我们宁愿在x≈x + 1.这方面是'x'这里是一个符号，但无论我们采取符号如何，它几乎都不会是符号x与表达式的符号相同的情况'½x+ 1'或与它相关的任何内容。 对于对其的方程或系统的解决方案，我们将使用“匕首”来指代解决方案。 因此，对于这个等式，x∈= 2; 2满足方程的原因是2 =½（2）+ 1（这里我们使用=而不是≈）。

返回等式（2），我们将其采用它来定义流x†，y和z。 这些满足方程式：

x∈=⟨0，⟩y=⟨1，⟩z=⟨2，x†⟩

然后这些流具有解开的形式。 例如，y∈的解开形式是（1,2,0,1,2,0，......）。

“zipping”两个溪流的自然操作。 也称为“合并”，它是由

（3）ZIP（S，T）=⟨头，拉链（T，尾（S））⟩

所以到zip两个流s和t one从s的头部开始，然后开始再次汲取相同的进程，但是这次与t第一和s秒的尾部。 例如，如果x∈，y∈和z是上面等式（2）中系统的解决方案，则我们可能希望考虑例如zip（x†，y）。 在解开的形式中，这是

（0,1,1,2,2,0,0,1,1,2,2,0，...）。

但请注意，我们对拉链的定义不受递归工作，因为人们可能期望; 一方面，流没有“基本情况”。

我们甚至可以询问以Zip编写的方程式的求解系统。 容易看出，所有常量流都满足x = zip（x，x）等等式。 一个人

x = zip（head（x）+ 1，x）

没有任何解决方案。 但如果我们做对的话，我们可以定义非常有趣的流。 例如，考虑

（4）x≈⟨1，邮政编码（x，y）⟩y≈⟨0，邮政编码（y，x）⟩

系统具有唯一的解决方案。 x∈的解开形式开始为

（1,1,0,1,0,0,1,1,0,0,1,0,1,1,0,1,0，...）

y†的开始

（0,0,1,0,1,1,0,0,1,1,0,1,0,0,1,0,1，...）。

其中的第一个是着名的序列，thue-morse序列t（实际上是x∈=尾部（t）。）[1]

1.1.1函数的减少

我们一直小心地强调流之间的差异，因为我们最初谈到它们和他们的解开表格作为自然数的职能。 在这一点上，我们想更密切地看待这件事。

在我们转向细节之前，让我们考虑被解释为自然数上的函数的平行事物。 任何教授某种类型的（无限）序列的人都说，说出整数或实数的序列，在某些时候可能需要说出实际序列。 当然，这肯定不是在基本演示中经常进行：通常一个人会给例子而不是形式定义，或者说明通过以某种方式或其他方式使用它们的序列。 在任何情况下，都会发生在数学的通常设定理论上建模中，实际数字的序列将被视为从一组自然数到实数的函数。 因此，我们有一种物体，序列，函数的减少，函数。 当然，然后将函数减少到一组有序对，订购对设置某种形式，自然数量为另一个形式的组，以及以自己的方式的实际数字。 关于这种减少，我们应该始终询问是否有必要或愚蠢，以及它是否对第一个使用数学对象的人有用。 当我们转回序列时，所有这些都值得记住。

让n∞是自然数的一组，让NN是N到N的一组功能。还原采用两个功能

φ：n∞→nnψ：nn→n∞

定义如下：对于φ，我们首先将流s送到函数fs：n→n∞。 这次我们使用递归：

fs（0）= sfs（n + 1）=尾巴（fs（n））

然后从f得到一个函数φ（s）：n→n by g（n）= head（fs（n））。 这定义了φ，通过名称解开我们提前辐条的精确定义。 在另一个方向上，我们需要无限的方程式。 给定功能f：n→n，考虑

（5）x0 =⟨f（0），x1⟩x1=⟨f（1），x2⟩... xn =⟨f（n），xn +1⟩...

然后这个系统有一个解决方案，我们采取ψ（f）= x0†。 然后可以表明该组合物在一个方向上，ψ⋅φ是N 1和其他组成φ的同一性是NN上的标识。 在普通的术语中，我们可以从流中传递到数字上的功能，我们也可以相反。

此时，我们可以提出关于减少的问题。 介绍思想的第一个问题涉及实体的本体学境：

让A成为抽象对象的集合（从自然数到自然数来说，从自然数到自然数），并假设一个人认为存在中存在的对象。 让B成为抽象对象的不同集合。 假设A和B以自然的方式对应，而且一切都说关于B中的对象可以很好地说在A中的记者，也许使用不同的语言。 应该有人相信B中的物体也存在吗？

询问N个关于N的流和函数与询问其他类型的数学对象的减少没有什么不同。 任何对其的讨论都会带来在本入口中超出我们目标的数学哲学中的问题。 但是，在此问题上有两个额外的点。

首先，在设定理论中的标准建模[2]将让我们相信从本节开始，我们一直在谈论不存在的事情：正如我们从字面上定义它们，那么没有任何数字溪流 我们在第2.2.1节的时间内讨论这一点，当我们谈论集合理论的基础公理时。 这一点是该公理以防止我们拥有它们的确切形式的方式禁止对象级圆形。 因此，如果一个人想要模拟流的直观概念，我们介绍了它，那么人们需要说出类似的东西：“通过流，我们表示数字上的函数。 我们采用特殊符号来使它看起来像流是一对某种的对，但深下它们只是数字上的功能。“

继续有关函数减少流的问题，我们可以询问是否存在使用流的概念差异而不是函数。 当然，这些代表不同的观点，因此它应该有用都有可用的。 要看到差异，让我们返回拉链流的问题。 根据功能f，g：n→n，压缩版本

邮政编码（f，g）（n）= {f（n / 2）

g（（n-1）/ 2））如果n是偶数

如果n是奇数

将方程式（4）将公式（4）转换为通过递归的两个序列的定义更难以。[3] 当我们使用一种代表而不是另一个表示时，我们可以开始看到某种差异。 这将我们带来了我们的第二个点，减少了职能的流：值得探索的概念差异可能隐藏在这种减少的表面下。

此时，我们完成了我们对流的讨论。 当然，我们将在后面的部分中重新审视它们，以说明各种要点。 我们还广泛地预示了本条目的要点：

通过改变设定理论的常用公理，可以以更靠近一个关于它们的直觉的方式模拟圆形定义的流和其他对象。 特别地，可以在相对一致的集合理论中使用对象级圆形，并且可能有一个人想要这样做的原因。

在改变的理论中，我们还在自己定义的集合上找到了不同的结果。 我们已经看到了这样的收藏，HF来自（1）。 当一个人改变设定理论时，循环定义的状态发生了变化，这导致对几个问题的审查更广泛。

还有一个更深入的概念问题，远远超出了与自上而下的与自上而下的与自下而下的处理有关的理论。

1.2无限的树木

我们希望从溪流移动到一个更复杂的例子，无限的树木。 我们制作的一些要点将与我们所看到的流的东西密切相关，有些则会提出新的问题。

以下是我们将调用树木的一类对象：[4]

单独的变量x和y是树。

如果t是树，则添加标记的单个节点•作为其只有其只有子树的新root作为树。

如果s和t是树，则将标记为*的单个节点添加为一个新的root，作为左子树和t，因为右子树再次给出树。

树是通过应用任意次数（包括无限应用程序）来获得的树。

树木可以由树系统（方程）指定。 这是一个这样的系统：

（6）s≈* / \图特≈•

|

su≈* / \ xy

同样，我们使用≈Qistation在我们想要解决的变量中，我们在解决方案中使用匕首的上标变量。 在这种情况下，该系统的唯一解决方案可能会被描绘为

s†= * / \•* // \ * xy / \•* // \ ... xyt†=•

|

u†= * / \ xy

重新定义对对和三元组的定义是有用的：

单独的符号x和y是树木。

如果t是一棵树，那么⟨•，t⟩是一棵树。

如果s和t是树，那么⟨*，s，t⟩是一棵树。

树木可能是“无限的深”。

然后我们的系统是

s≈⟨*，t，u⟩t≈⟨•，s⟩u≈⟨*，x，y⟩

所以现在我们有一些看起来更像我们用溪流所看到的东西。 但是通过溪流我们有一个解开的形式，所以我们可能想知道未拉德的树木是什么。 在某种程度上，它将是我们已经看到的图片。 特别是，人们可以拍摄一棵树，因为我们已经定义了它们，并给出了如何构建图片的描述。 （当然，完整的施工将永远采取，但是，我们对溪流的工作也是如此。 （一般来说，树系统将是无限的，但如果您在图片中找到常规结构，那么系统可能是有限的。）

另一方面，尽管工作已经上面并继续继续恢复他们，但图片并不完全可观。 对于树木的工作，人们需要更加复杂的定义。 我们不会提出任何一个。

更多“作弊”。 让TR成为我们一直在讨论的树木。 然后我们在TR方面的定义将有：

（7）Tr = {x，y}∪（{•}×tr）∪（{*}×tr×tr）。

现在，集合理论中的标准建模给了我们一个问题：可以在ZF集理论中证明TR没有解决方案。 这在我们的照片和直觉上运行了原因。 标准出路是将等号= IN（7）更改为别的东西。 对于大多数数学的工作，这完全良好，但它是我们在此条目中探索的那种举动。

1.3 SUPERSETS

让我们从溪流和树上转动。 在展示我们刚刚看到的某些类似物之前，在套装的照片中。 要制作混凝土，请考虑集：

x = {∅，{{∅}，∅}}

让我们称之为x。 我们想绘制这套的照片，所以我们从一个我们认为x本身的点开始。 由于x有两个元素，我们画添加两个孩子：

xyz

再次，我们代表成员绘制箭头。 我们需要y和z是{{∅}，∅}。 我们不添加任何Y的孩子，因为它是空的。 但我们希望将两个孩子添加到z，一个用于w = {∅}，一个用于∅。 所以我们有

xy←z↓w

我们通过将箭头从W到Y置于y，因为∅∈{∅}。

xy←z↓w

现在我们想忘记节点的身份。 我们可以在四个套装中进行交易，我们用于数字（仅需一种方式），或者完全可以实现问题。 我们会得到以下图片：

12←3↓4←↓

顺便提一下，在建立这个图表中，我们允许自己分享我们来到∅的次数。 可以避免使用不同的节点来避免这样做。 最终结果是树：

↓

图表是一对（g，→），其中→是g上的关系（来自g的一组有序对）。 这个想法是，我们希望将图形视为集合的符号，就像方程式为流的符号一样。 这是由装饰的概念解释的：图G的装饰d是域为g以及与属性的函数

D（g）= {d（h）：g→h}。

例如，让我们为树状图中的节点引入名称，然后找到其装饰：

12345↓6

由于6没有孩子，D（6）必须是∅。 类似地，D（5）和D（2）也是∅。 d（4）= {d（6）} = {∅}。 d（3）= {d（4），d（5）} = {{∅}，∅}。 和d（1）= {d（2），d（3）} = {∅，{∅}，∅}}。 注意这是我们启动的集合x。 这不是偶然的，鼓励你考虑为什么这是真的。 相关点：对于等式（8）中的图形，在我们使用作为图形节点所涉及的集合，您应该检查身份函数是装饰。

但是，与循环图类似的示例会变得更有趣



x

让D成为这个图表的装饰。 然后我们将有d（x）= {d（x）}。 所以对于D（x）写ω，我们有ω= {ω}。 此设置Ω是对象圆形的最明显的示例：是本身成员的集合。 （实际上，ω是它自己的只有成员。）

最后，我们希望考虑一个示例，其中Harks在第1.1节中回到流系统（2）。