许多值逻辑（一）
许多值逻辑都是非古典逻辑。 它们与古典逻辑类似，因为它们接受了真实性功能的原则，即复合句子的真实性由其组件句子的真相值确定（并且当其一个组件句子被另一个具有相同真相值替换的句子替换时仍然不受影响）。 但是，它们与古典逻辑不同，因为他们没有将真实值的数量限制为两个：它们允许更大的真理度。
就像在模态逻辑的语义中的“可能的世界”的概念一样，可以重新解释（例如，作为动态逻辑的语义中的时态逻辑的语义中的“时刻”，或者是动态逻辑的语义中的“状态”），不存在对真理学位的标准解释。 如何理解它们取决于实际的应用领域。 然而，它是一般的用法，假设有两个特定的真理度，通常由“0”和“1”表示。 这些特殊的真理程度分别是传统的真理价值“falsum”和“verum” - 但有时也喜欢“绝对是假”和“绝对是真”，特别是在古典逻辑“分裂”中的传统真理价值的案例中的一系列真理程度。
许多值逻辑作为技术工具将其真实性视为理论，并打算适合为特定应用选择它们。 这是一个相当困难的哲学问题，讨论这种“真理度”或“真理价值”的（可能的非技术性）性质。 感兴趣的读者可以咨询专着Shramko / WANSING（2011）或参加真理价值。
用于多价逻辑（MVL）系统的正式语言，分别遵循命题和谓词逻辑的两个标准模式：
在命题语言的情况下，有一个命题变量与连接和（可能也）真理常数一起，
在一阶语言的情况下，有对象变量以及谓词符号，可能还有对象常量和功能符号，以及量子，连接和（可能也）真实度常量。
像往常一样逻辑，这些语言是语义上以及句法创立的逻辑系统的基础。
1.语义
1.1标准逻辑矩阵
1.2代数语义
1.3游戏语义
2.证明理论
2.1希尔伯特型计算
2.2绅士型搜索结石
2.3 Tableau Calculi
3.多价位逻辑的系统
3.1Łukasiewicz逻辑
3.2吉尔逻辑
3.3基于T-Norm的系统
3.4三价系统
3.5 DUNN / BELNAP的4值系统
3.6产品系统
4.许多值逻辑的应用
4.1语言学应用
4.2逻辑应用程序
4.3哲学问题的应用
4.4硬件设计应用
4.5申请人工智能
4.6数学应用
5.许多值逻辑的历史
参考书目
专着和调查论文
其他作品引用
学术工具
其他互联网资源
相关条目
1.语义
多种值逻辑系统有三种语义。
1.1标准逻辑矩阵
1.2代数语义
1.3游戏语义
我们反过来讨论这些。
1.1标准逻辑矩阵
定义许多值逻辑系统S最合适的方式是为其语言修复特征逻辑矩阵，即修复：
真理度数，
解释命题连接的真理学位函数，
真实度常量的含义，
量化器的语义解释，
另外，
指定的真理学位，形成了一组真理学位的子集，并充当传统真理价值“verum”的替代品，
并且偶尔也是反指定的真理学位，它形成了一组真理学位的子集，并作为传统真理价值“假山”的替代品。
命题语言的良好形式的公式A根据一些估值α（将该组命题变量映射到真理学位集）下面有效）IFF它在α下具有指定的真理度。 A是逻辑有效的，或者在所有估值下有效的Tautology IFF。
在一阶语言的情况下，这种良好的公式A在语言IFF的解释α下有效计数它在这种解释下具有指定的真理程度，以及来自对象变量的话语宇宙的宇宙宇宙的所有对象分配。 作为逻辑有效的IFF的计数在所有解释下都有效。
喜欢在古典逻辑中，这样的解释必须提供
一个（非空的）话语宇宙，
语言对象常量的含义，
谓词字母的含义和语言的功能符号。
一些设定型良好的公式的模型是估值α或解释α，使得所有a∈Σ都在α下有效。 该Σ需要一种方法，即每个模型的σ也是A的模型。
1.2代数语义
对于许多值逻辑的系统S存在第二种语义，其基于（类似）代数结构的整个特征类k。 每个这样的代数结构必须提供必须由特征逻辑矩阵提供的所有数据。
公式A对来自k的代数结构的有效性的概念被定义为似乎这种结构形成逻辑矩阵。 这里的逻辑有效性意味着K的所有结构的有效性。
形成这种特征性K的代数结构对于一些系统S的MVL通常可能来自两个不同的来源。 可以通过区分一些类别的代数结构的逐帧考虑来确定第一源。 然而，如果MVL的系统S是在语法或单个特征矩阵的情况下确定，则这种代数结构通常由S的（句法或语义）Lindenbaum代数和经常在这种情况下确定在代数完整性证据中也发挥着至关重要的作用。 K中的代数结构具有类似于古典逻辑的布尔代数的类似作用。
对于MVL的特定系统，具有例如MVL。 以下代数结构的以下特征类：
对于无限值Łukasiewicz逻辑的MV-Algebras类，
对于无限的vödel逻辑，所有Heyting代数的类别且另外满足PRELINITY（X→Y）∪（Y→x）= 1，
对于Hajek的基本T-Norm Logic BL，即所有T-Algebras的类，即通过真实单元间隔与左连续T-NOM T形成的所有这些代数结构以及其定义为IT的剩余操作（x，y）= sup {z |t（x，z）≤y}。
对于这些示例中的前两个，历史上，由特征矩阵确定的逻辑，以及稍后确定的相应类别的代数结构。 对于第三个例子，情况不同：BL被设计为所有连续T-NURMS的逻辑，并且从这种外部学方法发现，发现了满足前列性的所有可定剩余遗漏格子的类别。
然而，从哲学的角度来看，通常最好对使用单一特征逻辑矩阵的MVL系统具有语义基础。 但是，从正式的角度来看，两种方法都同样重要，而代数语义结果则成为更普遍的方法。
1.3游戏语义
有多种方式有哪些逻辑和游戏可以与之相关。 例如，对话逻辑，例如，为古典以及直觉逻辑提供游戏 - 理论语义：如果指出这种公式的支持者在可能的攻击中，将公式计数有效，则允许对对手进行赢得策略。
在模糊集和多价逻辑之间的关系的背景下，Robin Giles提供了一种朝着游戏导向的逻辑有效性的观察。 从1975年开始，他提出了一系列论文吉尔斯（1975,1976,1979），并在吉尔斯（1988年）中，通过基于方便的对话解释，通过正式系统进行了一般性地治疗模糊谓词。 他已经在其他论文中使用了这种对话解释，例如Giles 1974，这涉及主观信仰和物理学的基础。 主要思想是让“一句话代表信仰，通过表达赌注的形式表达它”。 该妊娠涉及具有不同可能的已知概率结果的分散实验的实际结果。 在这个设置中，“句子ψ被认为是从句子φ1，...，φn遵循的时候，就在接受φ1，...，φn，...，φn可以同时投注ψ而不担心损失”。
以这种方式获得的（正式）语言与Łukasiewicz的无限值逻辑L∞密切相关：实际上，如果一个系统一致，如果一个分配给句子φ真值1-⟨φ⟩，则具有⟨φ⟩的风险值断言φ。 他甚至增加了“那个对话解释，Łukasiewicz逻辑完全适合于第一个由L.A.Zadeh（1965）描述的”模糊集理论“的制定; 实际上，声称l∞与模糊设定理论完全作为经典逻辑与普通集合理论有关“。
最近研究了这些对话游戏的不同版本和概括。 这些发展的各个方面是讨论，例如，在Fermüller（2008）和Fermüller/ Roschger（2014）中。 这种方法不仅能为例如e.g提供游戏语义。 Gödel逻辑和产品逻辑。 还有一些桥梁通过设计单程计算，为多价逻辑设计，CF。 Fermüller/ Metcalfe（2009）。
还有一种与M-ValueŁukasiewicz逻辑相关的进一步类型的对话游戏：推荐人正在询问信息，并且允许回答对手置于达M次。 Mundici（1992）介绍了这种“带谎言的乌贼游戏”。
2.证明理论
逻辑Calculi的主要类型对于MVL系统来说都是可用的：
2.1希尔伯特型计算
2.2绅士型搜索结石
2.3 Tableau Calculi
然而，上述一些仅适用于有限的受价系统。 在Metcalfe / Olivetti / Gabbay（2009）中介绍了广泛类无限值逻辑的本领域。
2.1希尔伯特型计算
这些结石以与经典逻辑的相应结石相同的方式形成：一些一组公理与一组推理规则一起使用。 派生的概念是通常的概念。
2.2绅士型搜索结石
除了通常类型的搜索结算外，研究人员还开始讨论MVL系统的“超高效”计算。 Hypersequents是有限的多项，即普通顺序的有限无序列表。
对于有限的有价值的系统，特别是M值的系统，还存在与广义顺序合作的顺序计算。 在M值案例中，这些是套装套的序列。
2.3 Tableau Calculi
Tableaux的树结构在这些计算中保持不变，如Tableau Calculi用于古典逻辑。 节点的标签变为更通用的物体，即签署的公式。 符号公式是一对，由标志和形成良好的公式组成。 标志是真实学位，或一组真理度。
Tableau Calculi与签名公式通常仅限于有限的MVL系统，因此可以以有效的方式处理它们。
3.多价位逻辑的系统
MVL的主要系统通常是包括均匀定义有限值的家庭以及无限值的系统。 以下是列表：
3.1Łukasiewicz逻辑
3.2吉尔逻辑
3.3基于T-Norm的系统
3.4三价系统
3.5 DUNN / BELNAP的4值系统
3.6产品系统
3.1Łukasiewicz逻辑
系统LM和L∞由逻辑矩阵定义，该逻辑矩阵具有一些有限集
wm = {公里-1|0≤k≤m-1}
真实单元间隔内的理性或整个单位间隔
w∞= [0,1] = {x∈ℜ|0≤x≤1}
作为真理学位集。 学位1是唯一指定的真理学位。
这些系统的主要连接是一个强大的和弱的结合，分别由真实度函数给出
u＆v =最大{0，u + v-1}，u∧v=分钟{u，v}，
否定连接¬确定
¬u= 1-u，
和一个含义连接→真实度函数
u→v =分钟{1,1-u + v}。
通常，还使用两个分离连接。 这些通过通常使用常规摩根法律来定义＆和∧。 对于一阶ŁukAsiewicz系统，一个增加了两个量词∀，∃的方式，即∀xh（x）的真相度是h（x）的所有相关真理度数的最小程度，以及∃xh（x）的真实度是H（x）的所有相关真理程度的高度。
3.2吉尔逻辑
Systems Gm和g∞由具有一些有限集的逻辑矩阵定义
wm = {公里-1|0≤k≤m-1}
真实单元间隔内的理性或整个单位间隔
w∞= [0,1] = {x∈ℜ|0≤x≤1}
作为真理学位集。 学位1是唯一指定的真理学位。
这些系统的主要连接是由真理学位函数决定的结合∧和分离∨
u∧v=分钟{u，v}，u∨v=最大{u，v}，
含义连接→具有真实度函数
u→vu≤v1u＞vv
和否定连接〜具有真理度功能
~uu = 01u≠00
对于一阶Gödel系统，一个增加了两个量子，∃，以这样的方式，即∀xh（x）的真相度是H（x）的所有相关真理度数的最小值，并且∃xh（x）的真实程度是H（x）的所有相关真理程度的高度。
3.3基于T-Norm的系统
对于具有真实学位集的无限值系统
w∞= [0,1] = {x∈ℜ|0≤x≤1}
自20世纪80年代中期以来模糊集理论的影响发起了一整类MVL这种系统的研究。
这些系统基本上由（可能是非幂等）的强结合连接＆t，其具有相应的真理度函数，即单位间隔中的二进制操作T，其是关联，交换，非减少和具有1度为中立元素：
t（u，t（v，w））= t（t（u，v），w），t（u，v）= t（v，u），u≤v→t（u，w）≤t（v，w），t（u，1）= u。
对于所有具有SUP-PRESTATION属性的T-NUME
t（u，supivi）= supit（u，vi），
有一种标准的方法来引入相关的含义连接→T，具有真实度函数
u→电视=支持度{z|t（u，z）≤v}。
这种含义连接通过关键伴随条件与T-Norm T连接
t（u，v）≤w⇔u≤（v→tw），
其中对于每个T，每个T唯一地确定→T，每个T为每个T.
这种语言进一步丰富了否定连接，-T，由真理度函数决定
-tu = u→t0。
这会强制语言也具有真实度常量0_以表示真实度0，因为然后-T成为可定义的连接。
通常，作为两个进一步的连接（弱）结合∧和一个真实度函数的分离函数。
u∧v=分钟{u，v}，u∨v=最大{u，v}，
对于作为连续功能的T-Nums（在两个变量的实际功能的标准连续性感）上，这些额外的连接甚至可定义。 合适的定义是
最小{u，v} = t（u，（u→电视）），最大{u，v} =分钟{（（u→电视）→电视），（（v→tu）→tu）}。
这种T-Norm相关系统的特殊情况是无限值的ŁukAsiewicz和Gödel系统l∞，g∞以及具有通常的算术产品的产品逻辑作为其基本T-Norm。
从分析的角度来看，对于T-Norm T，它们的支持属性是该二进制函数t的左连续性，即，一元函数ta（x）= t（a，x）的每个一个属性是留下的。 并且这种T-Norm T的连续性可以通过代数可分性条件来表征
u＆t（u→电视）=u∧v。
所有T-Norms的班级都非常大，现在没有真正理解。 即使对于具有Sup-Prevation属性的T-Norms，结构理解远非完整，但更好地为普通案件：Jenei（2004）给出了对最近的艺术状态的讨论。 足够很好地理解仅是连续T-NURMS的进一步子类：它们被ŁukasiewICZT-NOM，产物T-NOM和GödelT-Norm的同构异构拷贝分开，即Min-操作，如例如， 在Gottwald（2001）中。
实际上，人们能够为某些特定类的T-Norms执行基于T-Norm的系统。 作为基本结果，Hájek（1998）给出了所有连续T型规范的逻辑BL的公理化。 除了先前提到的代数语义外，这种逻辑已经被哈杰克猜测，并证明了Cignoli / Esteva / Godo / Torrens（2000），作为另一个代数语义的所有T-Norm基结构的类别谁的T-Norm是一个连续的功能。 基于这项工作，Esteva和Godo（2001）劝导了所有T-Norms的逻辑MTL的公理化，这些逻辑MTL具有Sup-Preservation属性，而JENEI / Montagna（2002）证明这确实是足够的公理化。 和Esteva / Godo / Montagna（2004）提供了一种将每个单个连续T-NOM的逻辑公开的方法：它们提供了一种算法，它给出了每个特定连续T-NOM T的AXIOM模式的有限列表，如果添加到逻辑BL在所有连续的T-NURMS中，产生特定T-NUM的逻辑的足够公正的T.
基于T-NARM的系统的公理化以及基于T-Norm的量子的问题是最近的研究问题。 主要焦点由以下两个方面给出，这些方面涉及这些T-Norm基础系统的表现力的修改：（i）通过形成具有额外否定运算符的系统或基于多个T-Norm的联合操作来加强这种表现性; （ii）改进这种表现性。 通过从语言中删除真实度常量0_，但是将连接到基本词汇的含义，以及（iii）将基本T-norms修改为非换向“伪t规范”，从而导致逻辑非换向连接连接。 这些发展的调查由Gottwald /Hájek（2005），Gottwald（2008），Cintula /Hájek（2010年）提供。
2011年近乎完全介绍了本领域的陈述是专着Cintula /Hájek/ Noguera（2011年）。 和P.Hájek对这些发展的特定贡献在蒙塔纳（2015年）书中荣获。
