代数（一）

1.小学代数

1.1公式

1.2法律

1.3词问题

1.4笛卡尔几何

2.抽象代数

2.1半群

2.2组

2.3戒指

2.4字段

2.5应用程序

3.通用代数

3.1概念

3.2公式逻辑

3.3 Birkhoff的定理

4.线性代数

4.1矢量空间

4.2联想代数

5.数学的代数

5.1代数几何形状

5.2代数数字理论

5.3代数拓扑

5.4代数逻辑

6.免费代数

6.1免费龙眼和团体

6.2免费环

6.3免费组合结构

6.4自由逻辑结构

6.5免费代数分类

参考书目

学术工具

其他互联网资源

相关条目

1.小学代数

基本代数处理数值术语，即常量0,1,1,1.5，π，变量x，y，......和组合，其中包括+， - ，×，÷，√等的操作，以形成x + 1的术语，x×y（标准缩写xy），x + 3y和√x。

术语可以在其自身中使用，例如πr2，或用作诸如x + y = y + x的法律的等式中，或者作为约束，或者作为2x2-x + 3 = 5x + 1或x2 + y2 = 1的约束。

法律总是如此; 虽然它们具有与约束相同的形式，但它们仅限于受到的限制，因为它们的变量的每一个估值都是解决方案。 约束x2 + y2 = 1具有形成形状的溶液的连续液，在这种情况下是半径的圆形。约束2x2-x + 3 = 5x-1具有两个溶液，x = 1或2，并且可以在词问题的解决方案中遇到确定两种曲线的交叉点，例如抛物线Y = 2×2-x + 3和y = 5×1线。

1.1公式

公式是手动或机器计算值的术语。 尽管物理对象的一些属性将自己引入直接测量，例如长度和质量，其他诸如区域，体积和密度，并且必须在适当的公式的帮助下从更容易观察的值计算。 例如，由平方英尺的公式LW给出长度为W英寸范围的矩形L英寸的区域，半径R球的体积是4πr3/ 3，并且由m / v给出质量m和体积V的固体密度。

可以组合公式以提供更多的公式。 例如，通过将上述公式代替在上述公式中，可以通过将上述v的球体积的体积代替为固体的v作为固体密度来获得质量m和半径r的密度。 然后得到的公式m /（4πr3/ 3）是所需的密度式。

1.2法律

法律或身份是持有其变量所有适用价值的方程式。 例如换向法

x + y = y + x

保持x和y的所有实际值。 同样是联合法

x +（y + z）=（x + y）+ z

保持x，y和z的所有实际值。 另一方面，虽然法律X /（y / z）= zx / y保持x的所有数值，但它仅适用于y和z的非零值，以避免分割的非法运行为零。

当法律保持其变量的所有数值时，它也适用于这些变量的所有表达式值。 在前段的最后一个法律中设置x = m，y =4πr3和z = 3产生m /（4πr3/ 3）= 3m /（4πr3）。 左手侧是前面部分的密度配方，因此从上述法律的这种情况下，其右手侧是密度的等效公式，其意义上是它给出与左手侧相同的答案。 这种新密度公式通过乘法替换两个分区中的一个。

1.3词问题

如果Xavier在四年内每年的年龄是三次，他多大了？ 我们可以通过将其正式化为等式3x = x + 4来使用代数来解决这个词问题，其中x是Xavier现在的年龄。 左手表达了三次Xavier现在的年龄，而右手侧在四年的时间表达了他的年龄。

解决这些等式的一般规则是，任何解决方案都是通过向两侧施加一些操作而获得的等式的解决方案。 在这种情况下，我们可以通过从两侧减去x来简化方程，以给出2x = 4，然后将两侧除以2给出x = 2。 所以Xavier现在已经两岁了。

如果Xavier是yvonne的两倍，并且她年龄的一半广场，每个人多大了？ 这比前面的三个方面更复杂：它具有更多未知数，更多的等式和更高程度的术语。 我们可能会在Xavier的年龄和Y为Yvonne的年龄而接受x。 两个约束可以形式化为等式x = 2y和x = y2 / 2，后者是2或二次的。

由于两侧两侧等于X，因此我们可以推断2Y = Y2 / 2。 它是令人诱人的y y y y y y，但如果是y = 0怎么办？ 事实上，Y = 0是一种解决方案，其x = 2y = 0，对应于Xavier和Yvonne都是新生儿。 将该解决方案设置为一侧，我们现在可以通过y划分y除以y而不是零的解决方案。 这产生y = 4，在这种情况下x = 2y = 8。 所以现在我们有第二种解决方案，其中Xavier是八岁和yvonne四。

在没有任何其他信息的情况下，这两个解决方案都是合法的。 如果问题进一步指明，Yvonne是一个幼儿，或者Xavier比Yvonne年长，我们本可以排除第一个解决方案。

1.4笛卡尔几何

平面中的线条，圆和其他曲线可以使用笛卡尔坐标表示代数，以其发明人Rene Descartes命名。 这些被定义在称为原点的平面中的分辨点，表示为O.每个点由其到o的右侧和上方的右侧指定，作为一对数字写入。 例如，这对（2.1,3.56）指定O的右侧的点2.1单元，水平测量，垂直测量3.56个单位; 我们呼叫2.1 x坐标和3.56该点的y坐标。 坐标可以是否定的：这对（-5，-1）对应于O和1个单元的点5个单元。 点O本身与（0,0）协调。

行。 给定变量X和Y中的等式，当设置X到2和Y至7时，将诸如（2,7）的点是在该等式的方程式的解决方案使得等式为止。 例如，等式Y = 3x + 5具有溶液（0,5），（1,8），（2,11）等。 其他解决方案包括（.5,6.5），（1.5,9.5），等等。 所有解决方案的集合构成通过（0,5）和（1,8）的独特直线。 然后我们调用y = 3x + 5该行的等式。

圆圈。 通过Pythagoras的定理，两个点（x，y）和（x'，y'）之间的距离的正方由（x'-x）2+（y'-y）2给出。 作为一个特殊情况，点（x，y）到原点的距离的平方是x2 + y2。 因此，距离原点的距离R处的那些点是x和y的求解，对等式x2 + y2 = r2。 但是这些点正是形成在O的半径R圈的那些。我们用这个圆圈识别这个等式。

品种在X和Y中的任何多项式的根部在平面中形成曲线，称为多项式的一维品种的一定程度。 因此，线为1，表示为多项式轴+ + C，而符合在（x'，y'）的圆圈的圆形是2，表示为多项式（x-x'）2+（y-y'）2-R2。 一些品种可以含有没有点，例如x2 + y2 + 1，而其他品种可以包含一个点，例如具有原点的x2 + y2作为其一个根。 然而，一般而言，二维品种将是曲线。 这种曲线可以自身穿越，或者具有尖端，甚至分成两个或更多个未彼此连接的组件。

通过添加到与第三维度对应的变量x和y第三变量z，空间，二维平面一般地推广到三维空间。 传统的方向使第一维度从西到东方跑到东部，南到北部的第二个维度，下面的第三个维度。 点是三元组，例如，点（2,5，-3）是原产地的2个单位，它的北部5个单位，3个单位。

飞机和球形。 这些是平面空间和飞机上圆圈的对应物。 诸如Z = 3x + 2Y的方程不是直线而是平面，而是平面，在这种情况下，通过点（0,1,2），（1,0,3）和（1,1,5）的独特平面。 并以原点为中心的半径R球体由x2 + y2 + z2 = r2给出。 在X，Y和Z中的多项式的根部形成了多项式的空间的表面，多项式的程度为一维品种。 因此，平面为1度和2度的球形。

这些方法通过添加更多的变量来概括为更高的维度。 虽然我们经历的几何空间受到物理上的限制为三维，但概念上没有限制抽象数学空间的尺寸的数量。 正如一条线是二维平面的一维子空间，并且一个平面是三维空间的二维子空间，每个都具有等式，所以是一个超平面的四维空间子空间，也是如此可指定等式，例如w = 2x-7y + z。

2.抽象代数

基本代数修复了某个域，通常是实际或复数，并与在该域中保持的方程式工作。 摘要或现代代数通过修复某些方程式并研究这些方程式是身份的那些域来反转此图片。 例如，如果我们采取的所有标识符，可以使用与整数保持的添加，减法和乘法和常数0和1所表达的所有身份，那么那么那些方程式相同地保持的代数是具有身份的换向环。

从历史上看，现代代数术语来自van der waerden的经典文本的第一个名称的标题，于1955年为第四版重命名为“代数”。第1卷处理的团体，戒指，一般领域，矢量空间，顺序顺序和真实的领域，虽然第2卷主要被认为是线性代数，代数（作为兼容乘法的矢量空间），表示理论，理想理论，整体代数，代数功能和拓扑代数。 在一方面，现代代数已经远远超出了这一课程，另一方面，这种相当大的材料已经超过了毕业博士学位中的常识。 数学的学生，典型的计划太短暂，无法允许掌握所有这些材料，并同时关注其专业领域。

摘要代数的核心特征是熟悉法律未能持有的域名存在。 一个引人注目的例子是乘法的换向，这就像我们在引言中所指出的那样，不需要保持任意组的乘法，即使是如此简单的一个群体为三个字母的六个排列。

2.1半群

我们从集合x上的二进制操作的概念开始，即函数f：x2→x，使得f（x，y）是x的所有元素x，y的x的元素。如果它达到f（f（x，y），则据说这种操作是关联的，z）= f（x，f（y，z））所有x，y，z在x中。

半群与关联操作一起设置，称为半群的乘法，并注意到xy而不是f（x，y）。

元素的产品XX自身具有表示为X2。 同样XXX表示X3等。

例子

在连接的操作下，给定字母上的所有非空词集合。

在功能组合的操作下，在SET X上的所有功能F：x→x。

矩阵乘法下的整数n×n矩阵集，用于固定正整数n。

单词uv的级联UV，V是关联的，因为当一个单词被切成两个时，无论切割的位置如何，两个部分的串联是原始字。 Al和Gebra的串联与代数和RA相同，示出了X = Al，Y = GeB，Z = Ra的级联的级联的关联性。

两个功能的组成f⋅g和g通过推理是关联的

（f⋅（g⋅h））（x）= f（（g⋅h）（x））= f（g（h（x）））=（f⋅g）（h（x））=（（f⋅g）⋅h）（x）

对于X中的所有X，Whencef⋅（g⋅h）=（f⋅g）⋅h。

Hemigroup H是Hemigroup G的子集G，当H是G的子集并且G限制为H的G的乘法与H的乘法相当于G.G的子项，是G的子集H，使得对于所有x，XY是在H.

例子

给定字母表中所有非空词的半群具有均匀长度的子群; 然而，奇数长度的单词不形成属性群，因为两个奇值单词的串联不是奇数长度。

在功能组合下的集合X上的所有功能F：x→x的半群具有亚副群，内容或一对一的功能，样品或函数，以及施法或置换。

当它满足所有X的F（x，y）= f（y，x）为x中满足f（x，y）= f（y，x），换流的半群是一个换向的semigroup，它是一个换向的半群。 到目前为止，所有的例子都是非容态半群。 以下说明了换向案例。

例子

此外，该组正整数。

此外的所有整数集。

在连接下一封信字母表上的一组词。

在任何操作和XOR下的位（二进制数字）的集合{0,1}。

在任何设定的理论操作交叉口，联合，对称差异下，设置了固定集X的设置2x的子集。

在载体添加下平面的右上象限中的一组载体。

同样但省略原点。

载体添加下的所有三维载体集。

在多项式添加下的一个变量x中的多项式组多项式。

矩阵下的整数M×N矩阵的组成，用于固定正整数M，n。

x的元素x是f（x，y）= y为x的所有y的f（x，y）= y的左标识，当f（y，x）= y为x中的所有y时的右标识。f的标识是f的一个元素，该元素是f的左标识和右标识。 操作f可以只有一个标识，因为当x和y是它们都等于f（x，y）。

一条单oid是一个半群，其包含一个乘以半群的标识，记者1。

例子

连接的身份是空字。 因此，当允许空字时，在连接下的单词形成一条单个子。

添加的身份为零，或在载体添加的情况下的原点。 因此，如果它包含零，则操作是oboud的任何上面的memigroups的例子都会形成monoid。

组合的身份是标识函数1x：x→x定义为1x（x）= x的x，x中的所有x，何处设置x上的所有功能的半群形成一条单个子。

当它是G的副群时，一元H是副蛋白的副胚筒。

2.2组

当两个元素x，monoid满足xy = 1时，我们说x是y和y的左逆x。 x的左和右逆逆的元素y被称为x的倒数。

一个组是一个有逆的元素。

传统上，组的基数传统上称为其订单。 当n是gn = 1的最小正整数时，据说一个组元素g是指数n。

例子

另外的整数的monoid，因为每个整数x都有反向-x。

在操作XOR下的位（二进制数字）的集合{0,1}，因为每个位是它自己的逆：0xor0 = 1xor1 = 0。 这只是整数Mod N（例如3 + 4 = 2（MOD 5））的整数MOD（ULO）N的monoid {0,1,2，...，N-1}的情况n = 2的情况n = 2。 这里0是它自己的逆，而非零是n-m的m的倒数。

在组成下的双突出物或释放F：X→X的乳房SX，因为每个置换都具有逆F-1。 当x有n个元素sn是订单n !. 如果才能且仅在n≤2时，sn是abelian。

平面的旋转绕组成下的一点，因为每次旋转都可以逆转。 该组称为圆组，表示（2）。

在组成下的三维空间的旋转的旋转，再次是因为每次旋转都可以反转。 该组表示（3）。

常规N-GON的常规N-GON的对称（旋转和反射），其中心通过可逆性再次将N-GON携带进入本身。 该组称为Dihedral Group DN，并且是订单2N。 像Sn一样，如果n≤2，则dn是abelian; 特别是d3 = s3。

组G的子组是在反转下封闭的G的亚屈曲。 自然数和甚至整数的单个子均为未添加的整数的蛋解质，但只有后潜水管是一个亚组，与自然数不同。

阿贝斯集团是一个常规的小组。 阿比越组的群体操作通常被称为添加而不是倍增，并且雅中组有时称为添加剂组。

循环组是具有元素G的组G，使得G的每个元素是用于一些正整数I的形式Gi。 循环组是abelian，因为gigj = gi + j = gjgi。 另外的整数组，以及任何正整数n的整数mod n，全部表格循环组，在每种情况下为一个发电机。 所有循环组都与其中一个同构。 当组是订单3或更多的，例如-1，并且对于每个非零元素的主要顺序组是一个发电机时，始终存在其他发电机。

2.3戒指

戒指是借助于具有第二操作的亚太的亚太组，称为环的倍增。 零湮灭，意思是0x = x0 = 0。 此外，乘法在两个参数中分发了添加（组操作）。 也就是说，x（y + z）= xy + xz和（x + y）z = xz + yz。

例子

整数的添加剂组随着整数乘法的操作而扩展。

具有整数系数的一个可变X中多项式的添加剂组，其具有多项式乘法。

整数N×N矩阵的添加剂组，用于固定正整数N，扩展了矩阵乘法。

A和B的形式A +b√2的数量组是整数的，因为（a +b√2）（c +d√2）= AC + 2BD +（BC + AD）χ2。

整数MOD N对于n≥2，因为（x + aN）（y + bn）= xy +（xb + ya + adk）n。

发明内容除了最后一个示例中，整数（除了给出矩阵大小的整数N）可以由任何Rational，实际或复数号替换。 当用真实替换整数时，第四个例子只变得真实的环，因为即使B是零A也可以是任何真实的。 然而，当用Rational号码替换时，环包括理性，但大于那个，因为χ2是不合理的，但它不包含例如√3。