代数（三）
4.线性代数
4.1矢量空间
兄弟姐妹到群体，戒指和田地是任何给定领域的传染媒介空间，构成线性代数宇宙。 传染媒介空间为两个相反的方法提供了两个相反的方法：公理或抽象，以及合成或混凝土。 公理方法将田地（扭曲，何种群体）作为先决条件; 首先将R模块的概念定义为带有给定环R的标量乘法的Abelian组，然后将向量空间定义为R-模块，其中R是字段。 合成方法通过熟悉的矢量空间的熟悉的表示，作为实际的n个元组，以及来自M维的线性变换，与实际的M×N矩阵为n维矢量空间。 对于包括无限尺寸的矢量空间的全部性，不需要限制为有限数量，而是可以是任何基本数字。
这种经典文本作为Mac Lane和Birkhoff所采用的抽象方法，具有一定的纯粹呼吁，理想地适合数学专业。 具体方法具有能够将小学生或少量替代微积分或更少的替代，以便为需要仅需要有限维矩阵代数的科学家和工程师提供服务课程，这享有巨大的实际适用性。 在其他领域的线性代数，特别是有限领域，用于编码理论，量子计算等，抽象方法往往更适合。
对于任何字段F，达到同构，在任何给定的有限尺寸的f上都有一个矢量空间。 这是抽象方法的定理，但是在具体方法中的表示是一种立即后果（定理用于相关两种方法）。
具体方法的另一个直接结果是F的有限维向量空间的二元性。对于任何维度的每个向量空间V，任何维度都应对应于V的功能的双空间V *被定义为线性变换F：V→F，查看字段F作为一维矢量空间。 该功能在环形添加（f + g）（f）= f（u）= f（u）和f f的乘法（xf）= f（u））下形成矢量空间，并且通过f的任何标量x，并且我们将v *保持该空间。 在向量空间上的此操作延伸到线性变换F：U→V AS F *：V *→U *定义，使得F将每个功能G：v→f映射到g⋅f：U→F. 重复该操作产生矢量空间，在有限尺寸案例中，是对v的同义，即v≅v**，使操作有影响。 有限维矢量空间的二元性的本质在于其与线性变换的逆转存在于其有关的性质。
通过将来自U到V的线性变换视为M×N矩阵，通过具体方法容易地可视化这种二元性。 二元性仅在留下矩阵乘法本身的同时丢失矩阵。 然后，该操作是一种涉及将映射 - M×N矩阵线性地将N维空间U线性变换为M维的映射到N×M矩阵线性地转换为线性变换为线性变换为M-尺寸空间V * n维空间U *。
4.2联想代数
可以添加，减去矢量空间V上的线性变换F：V→V→乘以量子，在每种情况下，并因此形成矢量空间。 当空间具有有限尺寸N时，线性变换将表示为n×n矩阵。
此外，它们可以被组成，它们形成配备有双线性关联操作的矢量空间，即组成。 在有限尺寸的情况下，组合物只是通常的矩阵产品。 与此类产品提供的矢量空间构成关联代数。 达到同构，所有关联代数都以这种方式出现了有限或无限的尺寸，提供了令人满意和富有富有的表征代替公理表征的概念，这里没有给出。
相关代数的众所周知的例子是真实的，复数和四元数。 与矢量空间不同，许多给定维度的许多非异形关联代数大于一个。
一类感兴趣的物理学家的联想代数是克利福德代数。 通过真实（作为欧几里德空间的Real）克利福德代数（作为欧几里德空间）通过允许任何数量类似于I =√-1的正式数量E互相邻接到实际领域的复杂数和四元度。 这些数量的共同特征是，每个特征是e2 = -1或e2 = 1。 鉴于有很多低维的联想代数，其中只有克利福德代数出现。 真实的形式形成唯一的一维克利福代数，而由E2 = 1定义的双曲线平面，由E2 = -1定义的复杂平面是两个二维夹具代数。 双曲线仅是真实场的直接方形，这意味着其产品是环形的，（a，b）（c，d）=（ac，bd），与由（a，b）（c，d）=（AC-BD，AD）定义的复杂平面不同+ BC）。 两个四维夹轴夹层代数是2×2矩阵和四元数。 虽然2×2矩阵包含零分配（产品为零的非零矩阵），因此只形成一个环，但四元数不含零除数，因此形成分割环。 不像复杂数字，但四元数不形成字段，因为它们的乘法不是换向。 然而，复杂的乘法使得复杂的平面成为换向分割环，即场。
5.数学的代数
许多数学分支从代数的角度受益。 代数几何和代数组合学中的每一个都有一个致力于它的整个期刊，而代数拓扑，代数逻辑和代数数字理论都有强大的追随者。 许多其他更多的数学领域同样受益。
5.1代数几何形状
代数几何形状从引言中提到的形状，例如线Y =轴+ B，圆圈x2 + y2 = r2，球形x2 + y2 + z2 = r2，圆锥形截面f（x，y）= 0 f是x和y的二次多项式，二次曲面f（x，y，z）= 0再次二次，等等。
在左侧收集这些方程的两侧方便，使右侧始终为零。 然后，我们可以限定形状或变化以由多项式的根或零组成，或者更通常是一组多项式的常见零。
普通的分析或笛卡尔几何形状是通过真实的。 代数几何形状更常见于复杂数字，或者更常见于任何代数封闭的场。 以这种方式可定义的品种称为染色体。
然而，有时代数闭合是不希望的，例如，当在代数几何形状的边界和数字理论的边界处工作，其中场可能是有限的或者理性的。
许多种对象的特点是其地图持不变的结构。 POSETS通过单调函数转换，离开订单不变。 代数通过同态转换，留下代数结构不变。 在代数几何品种中，通过常规n-ary函数f：→a，定义为在n变量中是本地有理的多项式的函数。 本地Rational意味着在F的域的每个点存在，其中F的邻域是两个多项式的比率，其中的分母在该邻居中是非零。
此概念概括为常规功能F：→am被定义为常规N-ary函数的M元组。
在AN和AM中分别给出了两个品种V，V'，从v到V的常规功能是从V到V'的函数称为品种的常规功能。 然后定义仿射品种的类别作为其目的，所有仿射品种以及其态度所有常规功能。
多项式是连续的，人们期望品种之间的常规功能也是连续的。 品种形状出现难度，在那里可以有奇皮斯，交叉口和奇点的其他症状。 这里所需要的是一个合适的拓扑，可以判断连续性。
诀窍是不在仿射空间中，但它的投射空间。 为了用欧几里德三个空间来说明，其相关的投影空间是识别的反双向点的单位球，形成二维歧管。 同等地，这是所有（无知）线路通过原点的空间。 鉴于任意仿射空间，其相关的投影空间是所有这些线的空间，理解为歧管。
适合代数几何学的投影空间的拓扑是Zariski拓扑，而不是由其开放集而定义，而是由其封闭的集合，这被认为是代数集，即那些构成一组共同零的那些集合均质多项式。 那么至关重要的定理是仿射品种之间的常规地图对于ZARISKI拓扑是连续的。
5.2代数数字理论
代数数字理论采用了代数几何形状的这些概括。 特别是一类品种，这对数字理论非常重要的是椭圆形曲线。
代数数字理论的庆祝成功已经是Andrew Wille'证明Fermat所谓的“最后定理” 这仍然是三个半世纪以来的开放问题。
5.3代数拓扑
代数拓扑分析了连接拓扑空间中的孔和障碍物。 拓扑医生是一个想象所有物体的人，这些物体是由不可用但非常柔韧的播出，因此没有看到需要区分咖啡杯和甜甜圈，因为可以转向另一个。 拓扑涉及咖啡杯与n手柄的相似性和差异，具有n个孔的表面，更复杂的形状。 代数拓扑表达了其同型群体和同源群的形状的不变性。
5.4代数逻辑
代数逻辑从Boole在1847小册子中提出了Boole的介绍了。 现代代数的方法开始在20世纪应用于布尔代数。 代数逻辑然后扩大其对一阶逻辑和模态逻辑的兴趣。 一阶逻辑中的中央代数概念是超额的，基本的等价和基本和伪心品种。 在对角关系编码平等和替代关系编码变量方面，Tarski的圆柱代数构成了一阶逻辑的特定抽象制定。 模态逻辑作为一阶逻辑的片段，通过布尔模块进行代数。
6.免费代数
鉴于任何系统如整数算术或实际算法，我们可以为所有明确的术语组写作，例如由常量构建的1+（2/3），并构成明确的语言，以及用于较大的无限语语言允许变量的T [v]从集合V代替一些常量符号，术语（例如x +（2 / y））。 当V仅包含单个变量“x”时，t [{“x”}）通常缩写为t [“x”]或只是通常明确的t [x]。 本次约定与T的Algebraφ延伸到T的术语，其操作符号列表被视为组合术语的操作; 我们写φ[v]并称之为术语代数在V上。
术语代数的这种概念是纯粹的语法，涉及一些语言的操作符号，常数和变量。 术语2 + 3和3 + 2是不同的; 同样X + Y和Y + x是不同的术语。 因此，它们可以被认为是具体的术语。
现在，在诸如整数的宇宙中，某些具体术语在某种意义上是相当于它们总是评估到宇宙的相同元素，而不管其变量的值如何，例如x + y和y + x。 将等同的具体术语收集到每一个的等同类中，将其作为抽象项视为一种抽象项。
作为抽象术语的简单示例，考虑形状AX +的线性多项式，其中A和B是非负整数，例如7x + 3Y。 所有此类多项式的组包括0并且在多项式加法下关闭，缔合和换向操作。 因此，该设定的操作和零多项式因此构成换向长度。
这种长阀是免费代数的一个例子，即两个发电机x和y上的自由换向型。 是什么让它自由的是，它不满足除了换向之外的法律。 然而，它不是免费的，因为它满足了换向法。 两个生成器x和y上的自由ronoid是两个字母表{x，y}上的所有有限字符串。
当作为法律介绍换向时，它将先前不同的弦XY和YX识别为单个多项式; 更一般地识别具有相同数量XS和YS的任何两个字符串。
免费的叔醇和自由换向长度是游离C-algbras的实例，其中C是一类代数。 在这两个例子中，C类别分别是单含量和换向长度的。
免费的C-Algebra是一个生活在语法和语义的前沿的代数。 在语义方面，它是C的成员。在句法方面，它的元素表现得像C的法律，但没有其他法律与其发电机表示。 XY = yx是用两个发电机表示的，因此两个或更多发电机上的免费龙门oid不能被换向，但是一个发电机上的自由旋翼，即一封信字母上的所有有限字符串都形成了换向在一个发电机上。
在句法侧，设定X上的自由C-Algebra B作为由X（被视为一组变量）的术语代数的商使用，使用C.该商的代数共同的操作符号和常数是相同的识别对C的所有代数A具有相同值的术语以及将A中的所有估值分配给X的变量。这只是足够的标识来满足C的每种法律（从而在仍然保留时进行C-Algebra）在某种意义上，原始术语代数的句法精华使以下段落更加精确。
（由于术语代数的概念似乎在地方似乎有点循环，更详细的帐户可以澄清该概念。给定C的语言，这意味着C的代数和x的变量x的运行符号和常数符号，我们首先形成X.代数的底层集，然后将语言的符号解释为该集合中的操作和值。集合本身由使用操作符号的那些变量和常量符号以通常方式构建的术语组成;在那个感觉中，这些元素是句法。但是现在我们通过将这些元素视为语义来改变我们的观点，我们将语言的常量符号和操作符号视为需要在该语义域中解释的句法实体（虽然术语），以便将这组术语转换为代数条款。我们将每个常量符号解释为自己。并且我们将每个n-ary操作符号f解释为n-ary操作，它将任何n术语t1，...，tn作为其n个参数返回，并返回单个术语f（t1，...，tn）。 请注意，F的解释只返回一个术语，实际上并不构建它。 当我们制作代数的底层集时，所有术语建筑就完成了。）
从语义侧，C-Algebra B与B的B型X展示作为变量的子集X被称为X上的自由C-Algebra，或者由X自由产生，当给出任何C-Algebra A，A中的任何估值时x中的变量（即任何功能f：x→a）唯一地延伸到同性恋h：b→a。 （我们说H：B→A延伸F：x→a，当H到X的限制是f时。）
作为一个方便的简写，没有发电机的免费C-algebra也可以称为初始的C-algebra。 初始C-algebra对每个C-代数的一个同性恋恰好。
在进行实施例之前，值得从语义侧定义的免费代数的重要基本属性。
在各个发生器组上的两个自由代数B，B'，具有相同基数的y是同构。
通过证明，挑选任何双孔f：x→y。 这是它的逆f'：y→x，以及分别x和y的两个身份函数，形成在组成下关闭的四个功能系统。 这些功能中的每一个都来自设置为代数的发电机，因此具有对同性恋的独特延伸。 这四种同态也在组成下封闭。 来自B到自身的一个延伸X上的身份函数，因此必须是B上的身份同性恋（因为后者存在并且其对X的限制是X上的身份函数。 同样，G到G的同性恋是身份函数。 因此，B和G之间的同性态以任一顺序构成到标识，这使得它们同构。 但这就是它意味着B和B'是同构。
这一事实允许我们在给定的集合上说自由的代数，认为同构代数在“道德上”相同。 是不是这种情况，我们的商施工将是不完整的，因为它产生独特的免费代数，而上述免费代数的定义允许任何代数正像由商产生的代数是自由产生的。 由于X上的所有自由代数是同构，因此商应施加与任何方式一样好，而且还有一种证明它们存在的方式。 除了Intuition会建议之前，它还确定了除了其基数之外的变量集是无关紧要的。
6.1免费龙眼和团体
拿c是一类长的。 由二进制操作符号确定的术语代数和标识的常量符号可以被视为具有变量的二叉树和叶子处的常量符号的副本。 根据关联性识别树木的效果使树木倾向于忽略应用程序的顺序的单词的效果（但不再颠倒任何参数的顺序）。 这将在字母X上产生单词与身份。 然后，身份定律删除身份，除非仅仅是由身份符号组成的单词，我们将成为空字。
因此，字母x上的有限单词是X上的自由单oid。
N个生成器上的自由蒙湿的另一个表示是无限的树，每个顶点都有n个后代，一个用于字母表的每个字母，每个边缘由相应的字母标记。 每个顶点V表示由沿root到v的路径遇到的字母组成的单词。通过拍摄root是顶点u的子树，u和v的串联是顶点到达的顶点，注意到这树是完整的树，并在这个子树中定位v，好像它是完整的树。
如果我们忽略此树中边缘的方向和标签，我们仍然可以识别root：它是INT的唯一顶点，其中N个边缘在其上，所有其他顶点都具有n + 1，即一个传入边缘和n个输出。
一套的自由换向龙舌兰是那个发电机的发电机就像免费的单个子一样（特别是它们仍然是原子），但这满足了额外的法律uv = Vu。 我们做出进一步的识别，例如， “狗”和“DGO”。 单词中的字母顺序现在是无关紧要的，这一切都很重要，每个字母有多少份。 该信息可以表示为自然数的N组元组，其中n是字母表的大小。 因此，N个发生器上的自由换向长度是NN，下方的N组元组的代数。
