混合逻辑（一）

1.混合逻辑的动机

2.正式的语义

3.翻译

4.亚瑟N.先前和混合逻辑

5.自上文以来的混合逻辑的发展

6.混合逻辑的公理

7.混合逻辑的分析方法

8.量化的混合逻辑

参考书目

学术工具

其他互联网资源

相关条目

1.混合逻辑的动机

在模态逻辑的标准Kripke语义中，真相是相对于一组中的点。 因此，命题符号可能具有相对于不同点的不同的真实值。 通常，这些点被认为是代表可能的世界，时代，困叙态，计算机中的状态，或者其他东西。 这允许我们正式地确定自然语言陈述，其真实值相对于例如符号的时间，如声明

下雨了。

在不同时间显然有不同的真实值。 现在，某些自然语言陈述恰好是一次性，可能的世界或其他东西。 一个例子是陈述

现在是2021年11月15日五点钟。

这是在2021年11月15日的第五点的真实，但在所有其他时候都是假的。 第一种自然语言陈述可以在普通的模态逻辑中正式化，但第二种也不能。

混合逻辑的主要动力是为普通的模态逻辑添加进一步的表现力，其目的是能够正式化第二种陈述。 这是通过添加到普通的模态逻辑来获得的第二种命题符号，称为标称值，使得在Kripke语义中，每个标称相对于恰好一个点是真的。 第二种的自然语言语句（如11月20日的第五点的示例声明）然后使用标称形式形式化，而不是普通的命题符号（将用于将示例声明与多雨天气形式化）正式化。 相对于恰恰是一个点的名称是真实的事实意味着指称值可以被认为是指点的术语，例如，如果a是代表“它是11月15日的五点钟”的标称值，那么该名称可以被认为是指的因此，在2021年11月15日的时间。因此，在混合逻辑中，术语是一种特定的命题符号，而以一阶逻辑为一阶逻辑它是谓词的参数。

大多数混合逻辑涉及进一步的额外机器而不是名义。 此类添加有许多选项; 在这里，我们将考虑所谓的满意度运营商。 添加满意度运营商的动机是能够在特定时间，可能的世界或其他方面进行陈述。 例如，我们希望能够将声明“下雨正在下雨”的正式是真实的，即2021年11月15日，即，这是

在2021年11月15日的五点钟下雨。

这是由公式@AP正式化的，其中名称A代表“它是11月15日2021年11月”，其中P是一个普通的命题符号，代表“正在下雨”。 它是@ap的@a，称为满意度运算符。 通常，如果a是标称和φ是一个任意公式，则可以构建一个名为满意语句的新的公式@aφ。 满意语句@Aφ表示公式φ相对于一个特定点是真的，即标称A指的点。

总而言之，我们现在以符号和满意度运营商的形式为普通的模态逻辑添加了进一步的表现力。 非正式地，名义A有真实条件

a是正确的，相对于点w

如果，只有

A的引用与W相同。

并且满意声明@aφ具有真实条件

@aφ相对于点w是正确的

如果，只有

φ相对于a的引用是正确的。

请注意，由于满意度运算符@a将评估点移动到任何W是什么，因此Point W实际上W并不重要。

值得注意的是，与满意度运营商一起允许我们表达两点是相同的：如果名义A和B是指点W和V，则公式@ab表达W和V是相同的。 以下推理表显示为什么。

@ab相对于一个点是正确的

如果，只有

b相对于a的引用是正确的

如果，只有

b是相对w的真实

如果，只有

B的引用与W相同

如果，只有

v与w相同。

套件上的身份关系具有众所周知的属性反射性，对称性和传递性，其在公式中反映在该事实中

@aa

@ ab→@学士学位

（@ ab＆@ bc）→@ ac

是混合逻辑的有效公式。 也是公式

（@ ab＆@aφ）→@bφ

有效。 这是更换的规则。 注意具有平等（通常称为Leibniz）的一阶逻辑中的公式（A = B＆φ（a））→φ（b）的相似性。

除了标称和满足的运营商之外，在如下，我们将考虑所谓的粘合剂∀和↓允许我们构建公式∀aφ和↓aφ。 粘合剂以两种不同的方式绑定名义上的点数：∀粘合剂量量量化类似于标准一阶通用量化的点，即，相对于w如果且只有标称a指的是什么点，那就是φ是真的相对于w是正确的。 ↓粘合剂将标称绑定到评估点，即，如果φ是相对于w当φ是指w时φ是真实的，则↓aφ是正确的。 事实证明，↓粘合剂是可定义的∀（如下所示）。

2.正式的语义

我们认为的语言是普通的幻像逻辑的语言构建在普通命题符号p，q，r，...以及名义上的名称A，B，C，......并与满意度运算符和粘合剂延伸。 我们将命题连接∧和¬是原始的; 其他命题连接被定义为惯常。 同样，我们拍摄模态运算符◻是原始的，并定义模态运算符◊。 顾名思义，粘合剂绑定名义绑定标称值，并且名称值的概念概念类似于一阶逻辑。 满意度运营商不绑定标称，即公式@Aφ中的自由标称出现是φ中的自由标称出现与φ的发生。 我们让φ[c / a]是公式φ，其中标称c已被替换为标称a的所有自由发生。 如果标称A在∀c或↓c范围内发生在φ内的φ中，则φ中的绑定标称c在φ的适当中重命名。

我们现在定义模型和框架。 混合逻辑的模型是一个三（w，r，v），其中w是非空集，R是W的二进制关系，V是将集合{0,1}的元素分配给每个对的函数，包括W和普通元素命题符号。 该对（W，R）称为帧。 因此，模型和帧与普通模态逻辑相同。 W的元素称为世界，关系R称为可访问性关系。 据说模型（W，R，V）基于帧（W，R）。

模型M =（W，R，V）的分配是函数g，其将W的元素分配给每个标称值。 Assignmment G'是G'如果G'同意G的一个变体，则所有名义上都会保存。 关系M，G，w⊨φ由归纳定义，其中G是分配，W是W的元素，φ是公式。

m，g，w⊨pifffv（w，p）= 1

m，g，w⊨aiff w = g（a）

m，g，w⊨φ∧ψiff m，g，w⊨φ和m，g，w⊨ψ

m，g，w⊨¬φnot m，g，w⊨φ

m，g，w⊨◻φ为w的任何元素v这样的wrv，它是m，g，v∈φ的情况

m，g，w⊨@aφffm，g，g（a）⊨φ

m，g，w⊨∀aφf的任何一个变体g'的g，它是m，g'，w⊨φ的情况

m，g，w⊨aφf，g'，w⊨φ，其中g'是g的变型，使得g'（a）= w。

如果m，g，w⊨φ，则据说公式φ是真的; 否则据说据说是假的。 通过惯例M，g⊨φ表示W和M∞φ的每个元素W的M，G，w⊨φ，意味着每个分配G的m⊨φ表示m，g⊨φ。 如果仅基于所讨论的帧的任何型号M的m⊨φ，则公式φ在帧中有效。 公式φ在一类帧f中有效，如果φ在f中的任何帧中有效。公式φ是有效的，如果φ在所有帧的类中有效。 可满足性的定义留给读者。

请注意，粘合剂↓是可定义的，因为aφ↔∀a（a→φ）在任何帧中有效。

杂交普通模态逻辑实际确实提供更具表现力的事实可以通过考虑公式c◻¬c来看待。 如果帧是不确定的，则检查该公式是否在帧中有效。 因此，逆反应性可以通过杂化逻辑公式表达，但众所周知，它不能用普通模态逻辑的任何公式表达。 实际上可以仅通过将标称值添加到普通的模态逻辑，即由公式C→◻¬c-C添加到普通模态逻辑。 混合逻辑中表达的其他特性的例子，但不是普通模态逻辑，是不对称性的（由C→◻¬◊c表示），反对称（由C→◻（◊c→C）表示）和普遍性（表达◊c）。

请参阅手册章节ARECES和TEN CATE（2006），详细说明了混合逻辑的语法和语义，以及许多其他基本定义。 上面的语法和语义可以以多种方式扩展，特别是可以添加一阶的量化（当然，获得一阶混合逻辑的等效方式是通过将混合逻辑机器添加到一阶模态逻辑中）。 查看Braüner（2014）了解一阶混合逻辑的概述，请参阅Braüner（2011A）的第6章进行更详细的账户，并参见Braüner（2011A）的第7章，以考虑到密封的一阶混合逻辑。

3.翻译

混合逻辑可以转换为具有平等的一阶逻辑，并且（带有平等的一阶逻辑的片段可以转回（一个片段）混合逻辑。 所考虑的一阶语言具有对应于模态逻辑的每个普通命题符号P的1级谓词符号P *，是2位谓词符号R和2个地方谓词符号=。 当然，谓词符号P *将被解释为使得它依赖于对应的模态命题符号P的解释，谓词符号R将使用可访问性关系解释，并且谓词符号=将使用标识来解释谓词符号=对世界的关系。 我们让A，B，C，...系列超过一阶变量。 语言没有常量或函数符号。 我们将识别具有混合逻辑标称的一阶变量。

我们首先将混合逻辑转化为具有平等的一阶逻辑。 给定两个新的一阶变量A和B，翻译STA和STB由相互递归定义。 我们只是给了翻译sta。

站（p）= p *（一）

站（c）=一个= c

站（φ∧ψ）=站（φ）∧sta（ψ）

站（¬φ）=¬sta（φ）

站（◻φ）=∀b（r（一个，b）→机顶盒（φ））

站（@cφ）=站（φ）[c /一个]

站（↓cφ）=站（φ）[一个/ c]

站（∀cφ）=∀csta（φ）

通过交换A和B来获得STB的定义。 翻译是从模态逻辑到一阶逻辑的众所周知的标准转换的扩展。 作为示例，我们逐步逐步逐步翻译成一阶公式：

站（↓c◻¬c）=站（◻¬c）[一个/ c]

=∀b（r（一个，b）→机顶盒（¬c））[一个/ c]

=∀b（r（一个，b）→¬stb（c））[一个/ c]

=∀b（r（一个，b）→¬b= c）[一个/ c]

=∀b（r（一个，b）→¬b=一个）。

得到的一阶公式等同于¬R（a，a），其表明c◻¬c确实对应于易于关系，而不是反义词，cf。 以上。

具有平等的一阶逻辑可以通过下面给出的翻译HT转回混合逻辑。

ht（p *（一））= @ ap

ht（r（一个，c））= @a◊c

ht（一个= c）= @ ac

ht（φ∧ψ）= ht（φ）∧ht（ψ）

ht（¬φ）=¬ht（φ）

ht（∀aφ）=∀aht（φ）

请注意，需要混合逻辑粘合剂∀。 上述观察的历史回到了亚瑟N的作品。之前，我们将稍后返回。

类似地，所谓的一阶逻辑的有界片段可以转换为混合逻辑，但这里只需要粘合剂↓，如纸张，布莱克本和马克思（2001）中所指出的。 界限片段是一阶逻辑的片段，其属性仅在公式∀c（r（a，c）→φ）中发生量子，其中需要变量a和c是不同的。 通过在上面的翻译HT中替换翻译HT中的最后一个条款，可以获得与没有∀粘合剂的混合逻辑的翻译

ht（∀c（r（一个，c）→φ））= @a◻↓繁体中文（φ）。

在Areces，Blackburn和Marx（2001）中，给出了一些有界碎片的独立语义特征。

上面给出的翻译是真实保留。 要正式地说明这一点，人们利用了众所周知的观察，即混合逻辑的模型和分配可以被视为一阶逻辑的模型和分配，反之亦然。 这些真实保存的结果是简单的制定，我们将细节留给读者。 因此，具有粘合剂的混合逻辑∀具有与具有平等的一阶逻辑与具有相等的逻辑逻辑以及没有粘合剂的混合逻辑（但是对于粘合剂↓）具有与一阶逻辑的有界碎片相同的表现力量（注意没有粘合剂的任何公式φ的翻译sta（φ）在有界碎片中）。

上面的翻译可以扩展到一阶混合逻辑，在这种情况下，相关的目标逻辑是具有相等的双排序的一阶逻辑，一个排序的世界和一个单独的个人，请参阅Braüner（2011A）的第6章。 在密集一阶混合逻辑的情况下，采用了三种排序，第三种适用于加重，参见Braüner（2011A）的第7章。

4.亚瑟N.先前和混合逻辑

混合逻辑的历史返回到亚瑟N.先前的混合时态逻辑，这是常规时态逻辑的杂交版本。 旨在进一步调查这一点，我们将给出混合时态逻辑的正式定义。 混合时态逻辑的语言只是上面定义的混合逻辑的语言，不同之处在于有两个模态运算符，即g和h，而不是单个模态运算符◻。 两个新的模态运算符被称为紧张运营商。 混合时态逻辑的语义是混合逻辑的语义，CF。 早些时候，◻◻◻替换为紧张运营商g和h.

m，g，w⊨gφ为w的任何元素v，使wrv，它是m，g，v∈φ的情况

m，g，w⊨hφ为w的任何元素v这样的VRW，它是m，g，v∈φ的情况

因此，现在有两个模态运算符，即沿着可访问性关系的“向前期待”和“向后查看”的模式。 在时态逻辑中，组合W的元素称为时刻或瞬间，并且关系R称为早期的关系。

当然，它很简单地修改STA和HT上方，使得在混合时态逻辑（包括∀粘合剂）和具有平等的一阶逻辑之间获得的翻译。 正在考虑的一阶逻辑是先前被称为一阶的先前逻辑。 鉴于翻译，它遵循先前的前一阶逻辑与混合时态逻辑具有相同的富有敏感性。

现在，先前引入了混合时态逻辑，与他所谓的四个等级的时态逻辑参与有关。 他四种时态逻辑参与的动机是哲学的。 这项四个等级介绍在本书（1968年），第十一章（在新版）之前（2003年）的第章第Xi章）。 此外，请参见之前（1967），第V第6章和附录B.3-4。 有关更一般的讨论，请参阅先前发布的书籍和罚款（1977）。 这些阶段从最早将被视为纯一阶的纯第一阶逻辑可以被视为纯时态逻辑; 目标是能够考虑第四阶段的时态逻辑，因为它包含了第一阶段的早期逻辑。 换句话说，目标是能够将早先的关系的一阶逻辑转换为时态逻辑。 这是在介意之前引入所谓的即时命题的目标：

我将称之为三年级时态逻辑参与，包括将瞬间变量A，B，C等。作为代表命题也是如此。 （2003年，第124页）

在模态逻辑的上下文中，之前称为此命题可能的世界主张。 当然，这就是我们在这里呼叫名义。 此外还引入了粘合剂∀和我们在此呼叫满意度运营商（他使用符号t（a，φ）而不是@aφ进行满意度运算符）。 事实上，先前的第三年级时态逻辑与如上定义的混合时态逻辑相同。 ↓粘合剂稍后介绍。 因此，通过添加到标称，满意度运算符和粘合剂的形式，通过添加到普通时态逻辑进一步表达能力之前先前获得了他的一阶逻辑的表现力。 因此，他从技术角度来看，他明确达到了他的目标。

然而，从哲学的观点来看，它已经争论了他的三年级时态逻辑的本体论进口与前后一级逻辑的本体论进口相同。 例如，∀粘合剂是由一些作者认为直接类似于一阶∀量化，因此可疑; 参见例如Collection Copeland（1996）的纸Sylvan（1996）。 查看Braüner（2002），以讨论先前的第四年级时态逻辑。 另见ØHrstrstrøm和Hasle（1993），Øhrstrstrøm和Hasle（2006），Müller（2007）和Blackburn（2006）。 最后，参见Branner（2011A）第1章的先前四年级的讨论。

Pape Helle（2020）在先前（1967）和事先（1968年）发布之前，在先前作品中指出了先前作品中的混合逻辑想法的痕迹（新版）（新版）（2003年）。 上面提到的纸张ØHRStrøm和Hasle（2006）详述了先前的逻辑工作的详细说明。 有关先前生命和工作的全面叙述，请参阅ØHRStrstrøm和Hasle（1995）的书籍。 纸质Hasle和Øhrstrøm（2016）描述了先前的方法论方法，特别是他对形式化的看法以及象征性逻辑在概念研究中的作用。

5.自上文以来的混合逻辑的发展

在公牛（1970年）中给出了杂交逻辑的第一个完全严格的定义，在纪念期间出现了杂志的特别问题。 公牛介绍了第三种命题符号，其中假设命题符号在分支时间模型中的一个分支（“事件”的“事件”）确切地说。 根据许多作者进一步开发了根据对其解释的限制进行分拣符号的这种想法，参见纸滩Blackburn和Tzakova（1999）的第5节以及Blackburn和Goranko（2001）。

最初由20世纪60年代后期发明的混合逻辑方法在20世纪80年代恢复了来自保加利亚的Solomon Crissy和Tinko Tinchev的20世纪80年代，见通讯和Tinchev（1985）以及通行和Tinchev（1991年）。 这项工作而不是普通的模态逻辑，与更快乐的命题动态逻辑发生了。

20世纪90年代的主要贡献是引入↓粘合剂。 Valentin Goranko在Papers Goranko（1994）和Goranko（1996）中推出了令人沮丧的粘合剂的早期版本。 本文的版本在Blackburn和Seligman（1995）中引入。 从那时起，已经广泛研究了具有↓粘合剂的混合逻辑，参见例如纸张，布莱克本和马克思（2001）在该逻辑的模型 - 理论方面。 对混合逻辑模型理论的综合研究是十个凯特的博士学位（2004）。 纸张，Fervari，Hoffmann和Martel（2018）考虑了具有↓粘合剂的强混合逻辑与所谓的关系变化的模态逻辑之间的关系。