量子理论与数学严格（四）
4数学严格：两条路径
4.1代数量子场理论
1943年，格尔福兰德和尼蒙克在一类重要的规范戒指上发表了一篇重要的论文，现在称为抽象的C * -algebras。 他们的论文受到默里和冯·诺伊曼对运营商戒指的工作的影响，在前一节讨论过。 在他们的论文中，格尔福兰德和Neumark致力于注意抽象规范的* -rings。 他们表明，任何C * -Algebra都可以在希尔伯特空间（不可分离）中的具体表示。 也就是说，存在C * -Algebra的元素的同构映射到希尔伯特空间的界限运算符集中。 四年后，SEGAL（1947A）发表了一份文件，该论文将通过指定建造抽象C * -ALGEBRA的混凝土（HILBERT SPACE）表示的明确程序来完成GFOLAND和NEIMARK的工作。 它被称为GNS构建（格尔福兰，Neumark和Segal之后）。 同年，SEGAL（1947B）公布了量子力学的代数制剂，其基本上受到影响（虽然偏离了来自）von Neumann的（1963年，第III，第9号）代数在前一部分中引用的量子力学的制剂。 值得注意的是，尽管C * -Algebras满足Segal的假设，但其假设指定的代数是一种称为Segal代数的更一般的结构。 每个c * -algebra是一个segal代数，但是，由于Segal的假设不需要定义伴随操作，因此逆转为Fals。 如果SEGAL代数是C * -ALGEBRA的所有自伴元素的同构，那么它是一种特殊或特殊的SEGAL代数。 虽然SEGAL代数的数学理论已经相当突出，但是C * -ALGEBRA是最重要的代数，满足SEGAL的假设。
由Von Neumann和Segal开发的量子力学的代数制剂没有改变量子力学完成的方式。 然而，他们确实在两个相关的背景下产生了大量影响：QFT和量子统计力学。 导致影响的关键差异与适用性领域有关。 量子力学域由有限量子系统组成，意大点是具有有限数自由度的量子系统。 而在QFT和量子统计力学中，特别兴趣的系统 - 即热力学极限中的量子场和粒子系统分别是无限量子系统，意思是具有无限自由度的量子系统。 DIRAC（1927）是第一个认识到无限量子系统对QFT的重要性，这在Schwinger（1958）中被重印。
SEGAL（1959，第5页）是第一个建议使用无限量子系统时代数方法的美丽和力量变得明显。 根据SEGAL（1959，PP.5-6）的说法代数方法的关键优势是，人们可以在抽象的代数设置中工作，在那里可以通过代数上的自动孤立获得自由田的交互领域。不需要单一可实现。 Segal Notes（1959，第6页）该von Neumann（1937）在未发表的稿件中具有类似的想法（现场动态将被表示为代数上的自动形态）。 SEGAL响应于通过HAAG（1955）获得的结果，该优势是，自由田的场理论表示对交互领域的表示是相同的。 郝·Neumann（1938）首次发现了“不同”（一共不平等）表示的哈格提及。 与SEGAL的方法相比，通过与SEGAL的方法形成较为相同的代表的不同方式由Haag和Kastler（1964）呈现，他认为统一的不当表现在物理上等同。 他们对物理等价的概念是基于弱势当量的数学思想（从1960年下降）。
在表现出他和von Neumann之间的重要相似之处，SEGAL提出了一个重要的对比，以便为他的方法提供优势。 根据SEGAL的关键数学差异是冯·Neumann正在使用弱闭合的运营商环（意味着操作员的环相对于弱操作员拓扑关闭），而Segal正在使用均匀封闭的操作员环（关闭关于统一拓扑）。 至关重要，因为它具有以下解释性意义，其依赖于操作考虑：
目前的直观思想大概是唯一可测量的场理论变量是那些可以以有限数量的规范操作员表示的那些，或者均匀地近似; 技术基础是均匀闭合的环（更准确地说，一个抽象的C * -algebra）。 两种近似之间的关键差异从一个事实中产生的，通常，弱近似只是分析意义，而可以在操作地定义均匀近似，如果差异的最大（光谱）值小（Segal），则两个可观察到的可观察到1959，第7页）。
最初，它似乎通过精细纸（Haag和Kastler 1964）证实了SEGAL对von Neumann代数和C * -algebras的相对优点的评估。 除此之外，Haag和Kastler引入了QFT的代数方法的关键原理。 他们还认为，一致不平等的表现彼此“身体相当”。 然而，使用物理等价来表明整个不平等的表现在没有身体上的意义，已经受到挑战; 查看Kronz和Lupher（2005），Lupher（2018）和Ruetsche（2011）。 III型因子Von Neumann代数在数量统计力学和QFT中的代数方法内的突出作用引发了SEGAL评估的进一步怀疑。
代数方法证明在量子统计力学中最有效。 表征许多重要的宏观量子效应是非常有用的，包括结晶，铁磁性，超浊度，结构相转变，Bose-Einstein缩合和超导性。 良好的介绍性演示文稿是SEWELL（1986），并且对于更高级的讨论，请参阅Bratteli和Robinson（1979,1981）。 在代数量子统计力学中，通过指定摘要代数来定义无限量子系统。 然后，可以使用特定状态来指定代数的混凝土表示，作为希尔伯特空间中的一组有界操作者。 在代数统计力学中考虑的最重要类型中，均衡状态是均衡状态，通常被称为“公共典礼”（因为它们首先由物理学家Kubo，Martin和Schwinger引入）。 由于系统的每个可能的温度值τ存在至少一个KMS状态，因此存在连续的KMS状态，因此0≤τ≤+∞。 鉴于一辆同一性组，每个KMS状态对应于定义系统的可观察到的代数的表示，并且这些表示中的每一个对任何其他表示是相同的。 事实证明，对应于KMS状态的每个表示是：如果τ= 0则是类型-i因子，如果τ= +∞那么是II型因子，如果0 <τ<∞然后它是III系数。 因此，III型因素在代数量子统计力学中起主要作用。
在代数QFT中，可观察到的代数与Minkowski时空的有界区域（和包括通过某些限制操作的所有空间的所有空间的区域）相关，这是满足局部结构的标准公理所需的：等渗，地点，协方差，添加性，正光谱和独特的不变真空状态。 在满足这些公理的Minkowski时空上得到的一组代数被称为本地代数的网络。 已经表明，本地代数网的特殊子集 - 对应于各种类型的无界空间区域，如管，单点（仅在一个方向上延伸的管）和楔形的管道 - 是III型因素。 对物理学的基础特别感兴趣的是与有界超空间区域相关联的代数，例如双锥形（前向和向后锥形的交叉点的有限区域）。 由于在过去的三十年中完成的工作，相对论QFT的本地代数似乎是III型von Neuman代数，请参阅Halvorson（2007，PP.79-752）了解更多细节。
解释性调查的一个重要领域是存在连续的可观察物代数的一共不平等表示。 在哲学文献中，对单一不平等的代表的态度差异急剧上。 在（华莱士2006年）中，一同不平等的代表不得被认为是QFT的基本问题，而在瑞斯州（2011年），Lupher（2018）和Kronz和Lulthz和Lulhz和Lulthz和Lupher（2005）均不当以被认为是物理上的重要意义。
4.2威斯曼的公理量子场理论
在20世纪50年代初，理论物理学家被激励为QFT公正。 一个动机，用于公正理论，而不是现在正在讨论的情况下的一个动机是以完全严谨的形式表达理论，以便将该理论的表达标准化为成熟的概念大厦。 另一种动机，更像是在某种程度上的情况下，是为了建立一个战略性的退出，以确定改造应该如何在威胁到由于内部不一致而崩溃的结构。 然后一个人寻找穿透泥潭的现有桩（基本假设），并试图在有利的地方开车其他人。 然后可以将适当支持的上层结构的元件（例如自由场，分散关系等的表征）区分开于那些不值得信赖的那些。 后者不必立即夷为夷为夷为风，并且最终可能从尚未建造的组件上收集索引。 简而言之，理论家希望公务化将有效地与废话中的感觉分开，这将有助于对发展成熟理论的发展来实现实质性进展。 在严谨的数学框架中接地可能是练习的重要组成部分，这是奇特曼QFT的公正化的关键方面。
在20世纪50年代中期，施瓦茨的分布理论被Wightman（1956）使用了QFT的抽象制剂，后来被称为公理量子场理论。 这项制剂的成熟陈述在Wightman和Gården（1964年）和频闪和Wighterman（1964）中介绍。 它在20世纪60年代后期通过Bogoliubov进一步改进，他在装配的希尔伯特空间框架中明确地放置了公理QFT（Bogoliubov等，1975，第256页）。 现在是现在标准的标准在公理方法中提出以下六个假设：光谱条件（没有负极能量或虚物体），真空状态（它存在并且是唯一的），域公理的字段（量子字段对应于操作员值分布），转型法（受限制的不均匀Lorentz组的“限制性”的现场运算符（和状态）空间的单一表示 - “受限”是指倒置，并“不均匀”意味着包括翻译），本地换向（间隔分离区域的场测量不会彼此打扰），渐近完整性（散射矩阵是单一的 - 对于自由多项式代数，该假设有时被削弱到真空状态的循环性字段）。 装配性Hilbert空间通过域Axiom进入公理框架，因此下面将更详细地讨论该公理。
在古典物理学中，字段的特征在于域上的标量（或传染料或卷曲 - 或卷曲 - ）值φ（x），其对应于Spacetime点的某些子集。 在QFT中，该字段的特征在于操作员而不是功能。 可以通过在规范方式中量化功能来从经典场功能获得现场操作员 - 请参见MEDINL（1959，PP。1-17）。 为方便起见，与φ（x）相关联的现场运算符在下面用相同的表达式表示（因为下面的讨论仅涉及现场运算符）。 与QFT相关的现场运算符太奇异被视为现实，因此它们使用称为测试功能的良好表现函数的空间的元素在各自的域中平滑。 有许多不同的测试功能空间（GFOLD和Shilov 1977，第4章）。 首先，用于公理QFT的选择的测试功能空间是Schwartz Spaceσ，其元素具有每个点的所有订单的部分导数的函数空间，使得每个功能及其衍生物的速度比x-n更快地降低为x为x→∞。 后来确定了一些现实模型需要使用其他测试功能空间。 f∈σ的平滑场运算符φ[f]称为量子场运算符，它们定义如下
φ[f] =∫d4xf（x）φ（x）。
测试函数f（x）和现场运算符φ（x）的乘积的积分（现场运算符的域）用于在其域中“平滑”现场操作员; 更具口语描述的是，该领域在空间或时空上“涂抹了”。 它在分别的公理方法内假设，使得量子场运算符φ[f]可以在可分离的Hilbert空间H上表示为未绑定的操作员，并且该{φ[f]：f∈σ}（与之相关的平滑现场运算符集φ（x））在h中具有致密域ω。平滑的现场运算符通常被称为操作员值分布，这意味着对于每一个φ，ωΩφΩ有一个元素σx的空间σx，qual的拓扑双重元素，这可以等同于表达式⟨φ|φ[] ||ψ⟩。 如果ω'表示通过将{φ[f]：fēσs}的所有元素的多项式应用于唯一的真空状态而获得的一组功能，然后上面提到的公理需要ω'在h（渐近完整性）中致密并且那个ω'νω（域Axiom）。 ω的元素对应于{φ[f]：f∈σ}的元素的可能状态。 尽管迄今为止仅考虑了一个字段，但是形式主义可以很容易地概括到具有相关的一组可选的可选的字段运算符φk（x） - cf的可计数数量的字段。 （速度和威斯曼1964年）。
如前所述，通过域Axiom的装配希尔伯特空间框架的适当性进入。 关于这是一个公理，Wightman说：以下（在上面介绍的符号中，这与Wightman使用的略微不同）。
在该理论中的一个更高级阶段，可能需要一个人想要将拓扑引入ω，使得φ[f]变为ω的连续映射为Ω。 这种拓扑可能相当强大。 到目前为止，我们只需要强调，我们只需要在F forφ，ψ固定的f中连续⟨φ|φ[f] ||ψ⟩⟨φ|φ 在一对φ中的连续性，在我们在ω（Wightman和Gårding1964，第137页）上放置合适的强拓扑之前，不能预期。
在Bogoliubov等人。 （1975，第256页），引入了一种拓扑以满足此角色，但它在Ω'而不是Ω上引入。 此后不久，他们断言，不难以表明ω'是关于这种拓扑的完整核空间。 这有助于证明他们在论文中提前申请：
...正是考虑了空间三联体ω⊂h⊂ω*，这为施工的线性运营商一般理论的构建提供了自然基础，以及量子场理论的某些问题的正确陈述（Bogoliubov等，1975，p。34）。
请注意，它们将Triollω⊂h⊂ω*称为装配性Hilbert空间。 在上面介绍的术语中，它们对GFOLAND三态（ω，h，ωx）或（等效）有效地提及相关的装配希尔伯特空间（ω，ωx）。
最后，值得一提的是，代数QFT中场的状态不同于Wightman的公理Qft。 在这两种方法中，一个领域是一种抽象系统，具有无限数量的自由度。 子原子量子颗粒是特殊情况下出现的现场效果。 在代数QFT中，还有一个进一步的抽象：最基本的实体是本地（和准局部）可观察者的代数的元素，该领域是派生的概念。 在有限的时空区域内界定的术语局部装置，并且可观察到的是不被认为属于除空间区域本身之外的实体的财产。 术语准局部用于表示我们采取了所有有界空间地区的联盟。 简而言之，代数方法侧重于当地（或准局部）可观察到，并将领域的概念视为衍生观念; 而公理方法（如上面的特征）将现场概念视为基本概念。 实际上，通过将它们的理论称为“局部量子物理学”，对代数方法的支持者从野外概念中距离距离的代理方法是常见的做法。 这两种方法是相互互补的 - 它们并行发展并通过类比彼此影响（Wightman 1976）。 有关这两种方法之间的密切连接，请参阅HAAG（1996，第106页）。
5哲学问题
5.1语用品与公理学
大多数物理学家使用拉格朗日QFT（LQFT）在某些情况下通过非凡的精确度进行实验验证的预测。 然而，LQFT已被描述为“抓取矛盾的数学思想”，其尚未提供对QFT模型的敏锐数学描述（Swanson 2017，PP。1-2）。 那些批评的促进数学上倾向的物理学家，以寻找数学上严谨的QFT制定。 QFT的公理版本被数学物理学家和大多数哲学家都受到青睐。 具有更大的数学严格，可以证明与任何特定拉格朗日无关的QFT的理论结构。 公理QFT提供明确的概念框架，可以制定精确的问题和解释问题的答案。 QFT有三个主要的公理框架：Wightman Qft，Osterwalder-Schrader Qft和代数Qft。 在Wightman QFT中，公理使用功能分析和操作员代数，并且其公部描述了在固定的Hilbert空间上的协变野间运营商。 Osterwalder-Schrader公理使用功能集成方法来QFT。 代数QFT公理使用C * -algebras来模拟本地可观察。 然而，在构建经验充足的模型方面非常缺乏公理QFT方法。 与在冯·新南希尔伯特空间配方方面具有规范数学框架的量子力学不同，QFT没有规范数学框架。 尽管存在量子力学的规范数学框架，但是对该框架有很多解释，例如，许多世界，GRW，哥本哈根，Bohmian等... QFT有两个需要解释的两个级别：（1）哪个QFT框架应该是这些基本努力的重点，如果有的话，以及（2）如何解释首选框架。 由于（1）涉及有关数学严谨和务实美德的问题，它直接担任本文的重点。 缺乏对QFT的规范制剂威胁要阻碍可能从QFT学习的任何形而上学或认识论教训。
一个看法是，这两种对QFT的方法，数学严谨的公理方法和务实/经验充足的LQET方法，是竞争对手的研究计划（见David Wallace（2006年，2011年）和Doreen Fraser（2009年，2011年））但虽然斯旺森（2017年）认为他们不是对竞争计划。 弗雷泽（2009年，2011年）认为，QFT的解释应基于数学上严格的QFT公理制剂的方法。 相比之下，华莱士（2006年，2011年）认为，QFT的解释应基于LQFT。 （华莱士，2006年，称他的首选QFT框架常规QFT（CQFT）称，但将他的术语改变为华莱士2011年的LQFT）。 斯旺森（2017年）和鸡蛋，林和奥德法迪（2017年）是弗雷泽和华莱士之间辩论的良好概述（对于延长分析，请参阅James Fraser 2016）。 辩论涵盖了QFT中的许多不同的哲学主题，这使得销售更具挑战性，因为对双方的争论（有关辩论的一个观点来说，请参见鸡蛋，林和Oldofedi 2017的争论是更具挑战性的。 一个问题是数学严格与经验充足性建立的内部一致性的作用。 华莱士认为，LQET经验上是足够的，因为它可以描述标准模型的力量。 LQFT具有一系列计算技术，包括扰动理论，路径积分和重新运行组方法。 对LQFT的一个批评是它使用的计算技术不是在数学上严格的。 Wallace认为重修化组方法在数学上严格的地面上扰动QFT，LQET内的方法，并消除了公理QFT的主要动机。
