大型基团和决定性（四）

定理3.12（马丁钢1985）。

假设ZFC，并且有N伐红衣主教，在它们上面有一个可测量的红衣主教。 然后π̰1

n + 1

- 持有。

最后，与伍德林在固定塔上的工作结合，建立了以下结果。

定理3.13（马丁，钢铁和伍德林1985）。

假设ZFC，并且有ω的伍德纳红衣主教，在它们上面有一个可测量的红衣主教。 然后ADL（ℝ）持有。

以这种方式，这两种方法通过可定义的确定和通过大型基本公理的可定义确定和通过大型基本公理的公理 - 被证明与密切相关。 事实上，在随后的工作中，表明连接更深入。 但要充分欣赏这一点，我们必须首先介绍内模范理论的机械。

进一步阅读：有关更多关于的确定，请参阅Kanamori（2003）和Moschovakis（1980）的第27-32节。 有关确定性提供的结构理论的进一步细节，请参阅Cabal研讨会和杰克逊（2010）的卷。

4.可定义的确定性的情况

我们现在处于讨论为可定义的确定性的公理而制作的案例的方面。

4.1基本概念

让我们从一开始就强调，由于任何新公理的案例都必须细腻。 在数学中建立命题的标准方法是通过在一些被接受的一组公理组中证明它。 然而，在日常实践中，数学家隐含地接受的公理似乎是由ZFC耗尽的，我们在这里处理超出ZFC的问题和新的公理。 鉴于案例的性质，因此似乎不太可能对新公理有一个淘汰论点。 相反，它似乎最能希望的是积累证据，直到最终情况变得引人注目。 另一种替代方案是案件在两个同样引人注目但相互不一致的方法之间保持划分。

让我们首先说一些关于这种情况如何进行的一般性。 一些命题具有一定程度的内在符号性。 例如，使用次数的碎片没有矛盾的分解的陈述

2

本质上是合理的，但它在ZFC中不可提供。 这种命题的这种初步支持不是明确的。 例如，没有空间填充曲线的陈述以及使用任何似乎有任何件的球体没有矛盾的分解的陈述，似乎似乎是有神不入的。 但在每一案中，这些陈述被定理推翻了，这些陈述证明了对其青睐的初始合理程度超过这种程度。 然而，虽然这种内在的合格性并不明确，但仍有一些重量。

此外，重量可以累积。 假设我们有两个来自概念上不同的域名的陈述，这些域名是本质上的 - 例如，一个可能涉及大型基本公理的（内部模型），另一个可能涉及简单可定义集的规律性。 如果显示第一个意味着第二个，则第二个继承附加到第一的初始合理性。 如果两个陈述最终会暗示暗示彼此，这将加强每个案例。 希望通过数学结果的积累 - 定理在一阶逻辑中证明，这是对每个人可以同意的事项 - 各种独立的本质上符号陈述将互相加强，以彼此加强到整个整体变得引人注目的那一点。

有些人认为这实际上是可定义的确定性和大型基本公理的公理的情况。 在本节的剩余部分中，我们将以最强大的方式展示案件。

进一步阅读：更多关于内在合理性的概念以及如何在原因结构中的数据，见帕森斯（2008）的第9章。

4.2结构理论

对于肯定的，当我们谈到“结构理论”（在给定水平）时，我们将参考上面推出的规律性，以及贝尔德的财产，以及莱比尤可测量 - 以及均匀化物业。 实际上有更多（如上所述）到结构理论以及我们要说的概括。 我们将专注于两级可定定的确定 - δ̰1

1

-determinacy和Adl（ℝ）。 同样，这只是为了明确，我们要必对某些更高形式的可定定性的决定性概括。

axiom

1

-determinacy（等效地，Borel-Mextencacy）是ZFC的定理，位于Borel Sets的结构理论的核心（实际上，σ̰1

1

-sets和σ̰1

2

设置）。 ADL（ℝ）的一个美德是，它从Borel组升力到L（ℝ）中的集合。 从上面汇总结果我们有：

定理4.1。

假设ZFC + ADL（ℝ）。 然后，L（ℝ）的每组实体都有完美的套装属性，拜尔斯的属性，是lebesgue可衡量的，σ2

1

- 在L（ℝ）中保持均匀。

许多描述性设置理论家认为这些后果是本质上的。 此外，它们已经发现，ADL（Ⅵ）提供的均匀化性质的特定模式是在ZFC中引发的图案的合理延伸。 对于此最后，请考虑第一个ω许多级别，并将v = l的情况与PD的案例进行比较。 在ZFC中，均匀化属性从π̰1传播

1

到σ̰1

2

。 它期望它继续前后Zag Zag是很自然的。 但是，在v = l下它稳定：

这是一个2行的5列，第一行是4个Sigmas，每个都有下面的波浪和1到1的上标，分别是1到4的下标。第五个元素是'...'。 第二行具有4个PI符号，每个符号，下面有一个图标和1的上标的，分别为1到4的下标，没有第五元素。 PI 1,1被缠绕并链接到Sigma 1,2，其也圈出并与Sigma1,3连接，其与Sigma 1,4盘旋并连接到与“...”圈出并连接到“...”。

图4：v = L下的均匀化。

相比之下，PD提供了似乎是正确的外推的内容：

这是一个2行乘5列，第一行是4个Sigmas，每个都有下面的波浪和1的上标的，分别是1到4的下标，第五个元素是'...'。 第二行具有4个PI符号，每个符号下面有一个下面的波浪和1到1的上标，分别为1到4，第五列具有'...'。 PI 1,1被圈出并链接到Sigma 1,2，其圈环并与PI 1,3连接，其与Sigma 1,4盘旋并连接到“...”

图5：PD下的均匀化。

同样，这种“周期性现象”在L（Ⅵ）中的较高水平发生。

人们可能会授予这些确实是ADL（ℝ）的富有成效的后果，因此是ADL（ℝ）持有的证据。 然而，人们可能担心，也许有具有分享这些富有成效的后果的公理，但与ADL（ℝ）不相容。 作为回应，人们可能会注意到，这种反对意见从不在物理学的类似情况下提出，其中众多不相容的理论可以在其实证后果方面同意。 但是有一个更强大的反应，即人们可以制造。 与物理学的情况相比 - 其中一个人永远希望表明只有一个理论只有一个理论与所需的经验后果 - 在设定理论中，这实际上是这种情况; 更精确地，任何具有这些富有成效后果的理论 - 即将结构理论提升到L（ℝ）-must意味着ADL（ℝ）。 这种显着的事实在以下定理中体现了：

定理4.2（伍德林）。

假设L（ℝ）中的所有集合都是lebesgue可衡量的，具有Baire的属性，σ2

1

- 在L（ℝ）中保持均匀。 然后是ADL（ℝ）。

摘要：有一个“良好的理论”（一个抬起结构理论的理论），所有良好的理论都意味着ADL（ℝ）。

4.3大型红衣主教

拍摄大型基本公理（由研究它们）的人进行了一定程度的内在合理性。 正如我们上面所说的那样，大型基本公理暗示可定义的确定形式，因此后者继承了对前者的考虑因素。

定理4.3（马丁，钢铁和伍德林）。

假设ZFC并且有ω的伍德纳红衣主教，所有这些都是可测量的。 然后是ADL（ℝ）。

事实上，事实证明，大型基本公理的某些内模具的存在足以证明可定义的确定性。 由于（可以说）（可以是）更合理的内容，因此（可以说）（可动地）加强案例。 所以可定义的确定性是这种内模具存在的富有成效的结果。

但是，就像前一小节一样，人们希望有一些保证，没有不相容的公理，这些公理是分享这种丰富的结果。 值得注意的是，结果是可定义的确定性的壳体结构实际上是相当于主张围绕大型红衣主教内部模型的公理。 我们讨论了对此连接所知的内容，从粗体粗体可定定的确定和向上进行。 应该强调的是，我们这里的担忧不仅仅是一致性力量，而是彻底的等价（超过ZFC）。[12]

定理4.4（伍德林）。

以下是等同的：

δ̰1

2

-determinacy。

对于所有x∈ωΩ，有一个内模拟m，使得x∈m和m⊧“有伍德林红衣主教”。

定理4.5（伍德林）。

以下是等同的：

PD（原理图）。

对于每个n＜ω，有一个细结构，可迭代的内模型m，使得m⊧“有n伍德红衣主教”。

定理4.6（伍德）。

以下是等同的：

日常生活（ℝ）。

在L（ℝ）中，对于序列的每个集合，存在内部模型M和α＜ωl（ℝ）

1

这样S∈m和m⊧“α是伍德林红衣主教”。

定理4.7（伍德）。

以下是等同的：

ADL（ℝ）和ℝ♯存在。

m♯

ω

存在并且是可迭代的。

定理4.8（伍德林）。

以下是等同的：

对于所有B，VB⊧ADL（ℝ）。

m♯

ω

存在并完全迭代。

概述：大型基准公理足以证明可定义的确定性，并且大型基本公理的内模具是为了证明可定定的确定性。 事实上，通过一系列深度结果，这两个对新公理的概念性不同的方法最终被视为等同于根本。

4.4通用绝对性

大型基本公理具有富有成效的结果，即它们意味着可定定的确定性的公理，因此照亮了可定义的真实组织结构理论。 事实上，关于L（ℝ）的问题，ADL（ℝ）似乎“有效地完成”。 让我们试图在通用绝对方面确切这项精确。

此区域的激励结果如下：

定理4.9（Shoenfield）。

假设ZFC。 假设φ是Σ1

2

句子和b是一个完整的布尔代数。 然后

V⊧φIFFvbΦ。

换句话说，σ1

2

- 外部模型的方法不能改变。 在这样的情况下，我们说φ是慷慨绝对的。 由于我们建立独立性的主要方法（不留下可解释程度）是外模具的方法，这解释了为什么没有已知Σ1

2

在ZFC的可解释程度下呈现的陈述，已知与ZFC无关。

大型主要公理的富有成果的结果是，他们在大量陈述方面将我们放在这种情况下（参见Larson（2004年）的结果）。

定理4.10（伍德）。

假设ZFC并且有一个适当的伍德琳红衣主教。 假设φ是一个句子，b是一个完整的布尔代数。 然后

L（ℝ）v⊧φffl（ℝ）vb⊧。

在这种情况下，当然是ADL（ℝ）。 同样，人们可能担心一个人可以具有这种富有成效的后果而没有ADL（ℝ）。 这由以下定理解决：

定理4.11（伍德）。

假设ZFC并且有一个适当的强烈难以接近的红衣主教。 假设L（ℝ）的理论是慷慨的绝对的。 然后是ADL（ℝ）。

摘要：有一个“良好的理论”（一个冻结L（ℝ）的理论）和（授予适当类别的强烈难以进入的红衣主教）所有良好的理论暗示ADL（ℝ）。

4.5重叠共识

我们已经讨论了ADL（ℝ）的两个恢复结果。 首先，通过其结构后果（定理4.2）来暗示ADL（ℝ）。 其次，ADL（ℝ）由暗示ADL（ℝ）（定理4.11）的大型红衣主教所追随的通用绝对恢复。

这些恢复结果不是孤立的出现。 用于建立它们的技术被称为核心模型诱导。 这种技术已经过去旨在表明许多其他强理论意味着ADL（ℝ）。 这甚至适用于彼此不相容的理论。 例如，考虑以下内容：

定理4.12。 （伍丁）

假设ZFC +在ω1上有一个ω1密集的理想。 然后是ADL（ℝ）。

定理4.13。 （钢）

假设ZFC + PFA。 然后是ADL（ℝ）。

这两个理论不相容。 还有很多其他的例子。 事实上，这些例子如此普遍存在，这种技术是一般的，有理由认为ADL（ℝ）在于所有足够强大，自然理论的重叠共识。

摘要：ADL（ℝ）在众多强大理论的重叠共识中，因此它继承了每个的考虑因素。 此外，有理由相信ADL（ℝ）在于所有足够强烈的“自然”理论的重叠共识。

4.6超越L（ℝ）

即使在L（ℝ）之外，也可以推动上述大部分情况。 为了解释这一点，我们需要介绍一个普遍的拜尔德真实套装的概念。

对于红衣主教Δ，一个设定的a⊆是Δ-普遍的拜尔德，如果对于所有部分令的基数δ，则存在树S和T在ω×λ（对于一些λ），使得a = p [t]，如果g⊆是V-通用，然后p [t] V [g] =ℝv[g] - p [s] V [g]。 如果是Δ-普遍的拜尔德，则可以普遍地拜尔，适用于所有δ。 关键是，普遍的Baire集在通用扩展V [G]中具有规范解释。 让γ∞是普遍拜尔德的真实集合的集合。 该系列具有强大的关闭特性。 例如，伍德琳表明，如果有一个适当的伐木生物主教和Aγγ∞那么（1）L（a，ℝ）⊧+和（2）p（ℝ）∩γ∞。 这里的AD +是一种（潜在的）加强专为形式L的模型（P（ℝ））的广告（见Woodin（1999））。

对于κ一种无限的常规基数，让H（κ）是所有集合x的集合，使得X的传递闭合的基数小于κ。

定理4.14。 （伍丁）

假设有一个适当的伍德琳和一个γ∞。 假设g⊆ℙ是v-generic。 然后

（H（ω1），∈，a）v≺（h（ω1）V [g]，∈，AG）。

也就是说，我们对“投影in-in-a”的通用绝对是普遍的拜尔德。 实际上，一个有“Σ2

1

（γ∞） - engeric绝对“：

定理4.15。 （伍丁）

假设有一个适当类的伍德纳红雀，让φ是表格的句子

∃a（h（ω1），∈，a）⊧。

假设g⊆ℙ是v-generic。 然后

V⊧φIFFFV[g]⊧φ。

强大的大型基本公理暗示众所周知，许多人超越L（ℝ）是普遍的拜尔德。 让我们呼叫绝对Δ2

1

如果有σ2

1

在所有通用扩展中定义互补的真实集合的公式。 伍德明表明，如果有一个适当的可测量的伐木主教，那么绝对是Δ2

1

一套真实普遍拜托。[13] 这是一个精确的感觉，其中CH是一个不幸的选择对于大型红星行程 - 大型基本公理程序的程序有效地解决了所有问题的所有问题（以上述意义上面）的复杂性。[14]

4.7摘要

上述每个参数都有两个部分。 在第一部分中，人们认为有一个“良好”的理论（一个有一些富有成效的后果）。 在许多情况下，该理论明确包括（或只是）ADL（ℝ）。 在第二部分中，人们表示所有这些理论包括ADL（ℝ）。

我们希望强调第二部分 - 恢复定理。 如果没有恢复定理，人们可能会想知道是否有不相容的公理，具有相同的富有成效的后果。 与物理学的情况相比，其中一个人永远希望表明数据逻辑地意味着理论，在搜索新公理的情况下，这实际上是可能的。 它是密封案件的恢复定理。

也许最强大的论证有利于可定定的决定性的公理是最后一个。 为结果表明，来自概念上不同的域的新公理的方法之间存在深度的连接，并且显着地，ADL（ℝ）是每个图像的一部分。 简而言之，ADL（ℝ）在于所有方法的重叠共识，涉及沿着天然路径攀爬可解释性的层次结构。

进一步阅读：更多关于本节主题的信息，请参阅Koellner（2006,2009B），Maddy（1988A，B），Martin（1998），钢铁（2000）和Woodin（2001A，B，2005A，B）。

5.哲学讨论

让我们回到多元主义的问题。 上述结果是否共同为我们提供了adl（ℝ）的强大外在理由，从而确保在这个水平上的非多元化？

多元化的人肯定会接受上述结果 - 毕竟，它们是数学定理 - 但抵制他们为我们提供了采用ADL（ℝ）的理论原因。 多元主义可能授予结果非常有趣，并且他们表明ADL（ℝ）具有一定的吸引力 - 例如，它渲染L（ℝ）分析师的天堂 - 但他们将作为采用ADL的实际原因，以便采用ADL（ℝ），不是理论原因。 在这个看来，有许多道路可以取V = L，ADL（ℝ）等 - 而且每个都对某些目标相对于某些目标有其优势，没有“事实”是正确的，这是正确的，而不是那种“事实的事实”两种符号中的哪一个是正确的符号。 在这个级别，根据多元主义，没有理论原因在比赛中，没有客观的数学真理。 这是Feferman（1999），Kanamori（2003），Shelah（2003）和许多其他哲学家和数学家的看法。

非多元人认为以上结果是共同提供了非常强烈的理论原因，以便认为ADL（ℝ）持有，另一个不相容的替代品失败。 这是马丁（1998），钢铁（2000），伍德林（2005A），许多哲学家和数学家的看法，以及大多数描述性设定的理论家和内部模型理论家。

正如我们在介绍中提到的那样，一些多元主义和非多元化的人在原因之前采取现实主义，而其他人则在现实主义之前接受理由。 保持这两个版本的重要性是单独分开的，并单独解决它们。

让我们从那些在原因之前开始那些采取现实主义的人。 为了修复想法，考虑接受关于自然数量的现实主义但不是关于自然数的任意子集的多元人，然后在此基础上得出结论，在数字理论中的新公理的情况下可以提供理论原因，但在分析或设定理论的情况下。 当按下这种不对称立场的源事时，在两个域中的现实主义中，多元家通常通过诉诸自然数量“清除”的直觉来响应，而任意自然数量的概念是“固有地模糊”。 为此，非多元主义可能会响应清晰度的概念并不清楚。 澄清的直觉，就像自我证据的直觉一样，是众所周知的含糊不清和主观的，因此休息一个案例的弱点。

让我们现在转向那些在现实主义之前接受理由的人。 这个类别中的人们遵守现实主义的标志，他们只有在一个很好地了解了那种域名的理论原因牵引之后，他们就会对某个域的现实主义结论。 一个多元化的人认为数学的理论证明必须最终追溯到公理，这是不言而喻的，这是由上述外在案例无动于衷的。 同样，对于一个认为数学的理论证明必须最终追溯到基本上证明的公理。 我们给出的案例显然是外在的。 那么，问题归结为外在理由的合法性。